遞推公式求通項的幾種方法

求通項常見的幾種方法利用遞推公式求通項常見的幾種方法其他方法類型1

這種類型求的方法一般主要采用逐差或累加法。逐差法：化簡得

累加法：例：已知數(shù)列滿足，

①求②證明①解：=3+1=4，=9+4=13②證法1（累加法）：由得

累加得：根據(jù)等比數(shù)列前n項的公式，得證法2（逐差法）由已知得：

∴

類型2這種類型求的方法一般有累乘法，也稱逐商相乘法。步驟：（1）把原遞推公式轉化為（2）利用恒等式即例（2004年高考全國卷Ⅰ）已知數(shù)列滿足，則的通項考題剖析將以上n個式子相乘，得解：由題可得再聯(lián)合已知式，可得當時，即又∴

類型3

這種類型一般主要利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列。步驟：1）設

2）去括號得，

3）與已知遞推式比較，得，即

4）代入1）中式子，得以p為公比的等比數(shù)列例（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項=_______________解法一（構造數(shù)列---待定系數(shù)法）：設再聯(lián)合原遞推式可得，=3令，則再由得，=4即為以4為首項且以2為公比的等比數(shù)列，∴解法二（累加法）：設，則再由，得即

為以4為首項且以2為公比的等比數(shù)列，則累加得：解法三（迭代法）：∴解法四（特征根法）：①找出其齊次遞推關系②得到特征方程x-2=0,特征根為x=2③得到通解為④設特解A是待定常數(shù)⑤代入原遞推關系式，得

A=2A+3，得A=-3⑥得到，為待定常數(shù)。⑦根據(jù)，可得即類型4

（其中p,q均為常數(shù)）這種類型求通項的方法一般有待定系數(shù)法。步驟：1）把原遞推公式轉化為2）去括號得3）聯(lián)合原遞推式，可得4）解出可得是以t為公比的等比數(shù)列5）根據(jù)4），最后可把它化到類型1的形式進行求解例（2006年高考福建卷）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設則

與已知等式比較，得解得，s=1,t=2或s=2,t=1考題剖析方法一

取s=1,t=2,得即是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴（類型1的形式）①根據(jù)累加法，可得（經(jīng)驗證，n=1也滿足）方法二取s=2,t=1,得（類型3的形式）②根據(jù)待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，得方法三綜合聯(lián)立方法一、二的①②，可得方法四（特征根法）①特征方程為解出特征根②得到通解為（，為待定數(shù)）。③根據(jù)初始條件，得④解方程組，得=-1，=1.⑤代入②，得類型5這種類型一般利用與

消去或與

（2006，陜西,理,20本小題滿分12分)已知正項數(shù)列，其前n項和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項。解：由①，可知解之得又②由①-②得當不成等比數(shù)列，∴當滿足，∴則類型6這種類型的一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉化為類型3步驟：1）將原遞推式取倒數(shù)，得2）令,得例（2006年高考江西卷）已知數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項公式?？碱}剖析解：①原遞推式取倒數(shù)，得②用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列（類型3的步驟），設③去括號，化簡，與所求遞推式比較，得則是以公比為的等比數(shù)列。④由③，得類型7

這種類型的一般有下面兩種方法①兩邊同除以，轉化成類型3，進行求解。②兩邊同除以時，就化成類型1，運用累加法或逐差法解決?？碱}剖析例.已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解法一：對已知式兩邊同除以，得令，則用類型3的待定系數(shù)法求解，得∴解法二：對已知式兩邊同除以，得

用類型1的累加法可得，方法1周期性例題剖析解析：這種題一般都是通過求出前幾項，驗證找出其周期性。解：故是周期為3的周期數(shù)列，故類型8步驟：1）構造輔助數(shù)列使方法2數(shù)學歸納法由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利用數(shù)學歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法。推理：證明當n=k+1時命題也成立。例（2002年北京春季高考）已知點的序列是線段的中點，是線段的中點，…，是線段的中點，…(1)寫出之間的關系式(2)設，計算，又此推測的通項公式，并加以證明考題剖析解析：（1）∵是線段的中點∴（2）猜想下面用數(shù)學歸納法證明。(i)n=1時已知結論成立。(ii)假設n=