第八章隨機事件及其概率

1概率初步第三部分2

概率論是數(shù)學的一個分支,它研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.概率論的廣泛應用幾乎遍及所有的科學領域,例如天氣預報,地震預報；產(chǎn)品的抽樣調(diào)查；保險費率計算；藥物療效評價;在通訊工程中可用以提高信號的抗干擾性,分辨率等等.3第八章隨機事件及其概率4

在我們所生活的世界上，充滿了不確定性

從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化……，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性.5在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.“太陽從東邊升起”,1、確定性現(xiàn)象

“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象確定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結果一、隨機試驗和樣本空間第一節(jié)隨機現(xiàn)象與隨機事件6在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象.實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2、隨機現(xiàn)象結果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.結果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實例2

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.TH7實例3

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品”.其結果可能為:

正品

、次品.實例4

“過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.8實例5

“出生的嬰兒可能是男,也可能是女”.實例6

“明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨”等都為隨機現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結果9３、隨機試驗隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題什么是隨機試驗?如何來研究隨機現(xiàn)象?10它具有以下三個特征：1.可以在相同的條件下重復地進行;2.每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果;3.進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn).

在概率論中,把對隨機現(xiàn)象的一次觀察或?qū)嶒?，稱為一次隨機試驗.11E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；E5:記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重。隨機試驗的例子12４、樣本空間現(xiàn)代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具.

我們把隨機試驗的每個基本結果稱為基本事件或樣本點，記作e或ω.全體樣本點的集合稱為樣本空間.樣本空間Ω表示.

如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個樣本點組成：

S

={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}13

樣本空間在如下意義上提供了一個理想試驗的模型：

在每次試驗中必有一個且僅有一個樣本點出現(xiàn).如果試驗是測試某燈泡的壽命：

則樣本點是一非負數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認為任一非負實數(shù)都是一個可能結果，故樣本空間為

Ω

={t：t≥0｝14定義

隨機試驗中每一種可能的結果，稱為隨機事件，簡稱事件.記作

A、B、C等.二、隨機事件任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.為了討論問題方便，我們把必然事件和不可能事件也看成是特殊的隨機事件。

每次試驗中都一定出現(xiàn)的事件，稱做必然事件，記作Ω

；任何一次試驗中都不會出現(xiàn)的事件，稱做不可能事件，記作?；15例如，擲一顆骰子一次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)Ω={

1,2,3,4,5,6

}樣本空間：事件B就是Ω的一個子集。事件B:出現(xiàn)奇數(shù)點.B={1,3,5}“擲出點數(shù)小于7”是必然事件;而“擲出點數(shù)8”則是不可能事件.16

三、事件的關系與運算1、包含關系：

A＝B相等:BA“A發(fā)生必導致B發(fā)生”，記為A

B。A

B且B

A.172、事件的和(并):“事件A與B至少有一個發(fā)生”

BA183、事件的積(交)：“事件A與B同時發(fā)生”

記作或BA194、事件的差：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生。思考：何時A-B=?

?何時A-B=A？BAABAB205、不相容事件：基本事件是兩兩互不相容的.BA21(即每次至多發(fā)生其中一個)

(即每次至少發(fā)生其中一個)

B1B2B3B4B6B7B5B8集合的劃分226、對立事件(逆事件)：注意:對立事件必互斥；A但互斥的事件未必為對立事件。23事件運算的規(guī)律事件間的關系與運算與集合的關系與運算是完全相似的，運算規(guī)律也是完全相似的。但要注意，應該用概率論的語言來解釋這些關系及運算，并且會用這些運算關系來表示一些復雜的事件。

可推廣到多個事件。交換律結合律分配律對偶律24例

設A,B,C是三個事件,試表示下列事件：

1）三個事件至少發(fā)生一個:2）三個事件都發(fā)生:3）A發(fā)生而B與C不發(fā)生:7）三個事件至少有一個不發(fā)生:4）三個事件恰好發(fā)生一個：5）三個事件恰好發(fā)生兩個：6）三個事件至少發(fā)生兩個：25第二節(jié)隨機事件的概率26

研究隨機現(xiàn)象，不僅關心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！27

了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，顯然很有實際意義.

對一個隨機事件A，我們用一個數(shù)

P(A)來表示A發(fā)生的可能性大小，稱之為隨機事件A的概率。

那么，怎么來規(guī)定

P(A)的大小呢？

28一、古典概率設某個試驗有有限個可能的結果

假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認為其中某一結果例如ωi

，比任一其它結果，例如ωj

，更有優(yōu)勢，則我們只好認為所有結果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即1/的出現(xiàn)機會.ω1,ω2,…ωn

,一般把這樣的試驗結果稱為“等可能的”.29稱這種試驗為古典概型(等可能概型).

若隨機試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；

(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法

.定義(概率的古典定義)在古典概型下，若基本事件總數(shù)為n，而事件A包含了其中的k個，那么事件A的概率為

30古典概率計算舉例例1隨機地拋二顆骰子，求出現(xiàn)點數(shù)之和為７點的概率。

按假定每個骰子出現(xiàn)１到６點等可能，

解31解例2基本事件總數(shù)：

所以32例3從5雙鞋子中任取4只,問這4只鞋子至少有兩只配成一雙的概率是多少?解E：從5雙不同的鞋子中任取4只排成一排；

A：所取4只鞋子中至少有兩只配成一雙.

33例4全班有50個學生，問至少有2人生日相同的概率為多少？（設一年有365天）解事件總數(shù):有利場合數(shù):概率之大有點出乎意料.可以計算，當人數(shù)超過23時，打賭說至少有兩人同生日是有利的.解例5設想把取出的票依次放在排列成一直線的n個位置上，則共有n!種排法。而第k個位置為有記號票的排法總數(shù)，即總的基本事件數(shù)等于所以抽簽結果與抽簽順序無關。抽簽的公平性35解例6口袋中有編號1,2,…,n的n個球，從中有放回地隨機取球m次，求取出的球中最大號碼為k的概率.36例7

在12000的整數(shù)中任取一數(shù)，求取到的數(shù)（1）能被6或8整除的概率；（2）既不能被6也不能被8整除的概率；（3）能被6整除而不能被8整除的概率.設A—取到的數(shù)能被6整除；解B—取到的數(shù)能被8整除.37例7

在12000的整數(shù)中任取一數(shù)，求取到的數(shù)（1）能被6或8整除的概率；（2）既不能被6也不能被8整除的概率；（3）能被6整除而不能被8整除的概率.38

假定生男生女概率一樣，則在有四個孩子的家庭中，你覺得男女比例最可能的情況是2~2還是3~1？用計算檢驗你的結果。思考題39解例8這是一個幾何概型，xyo設x,y為所取的兩個數(shù)，則樣本空間所以40二、概率的公理化定義定義(概率的公理化定義)如果對任意事件A，都有一個實數(shù)

P(A)，滿足以下條件：

(1)(2)規(guī)范性(3)可列可加性則稱

P(A)為事件A的概率.41三、概率的性質(zhì)

由概率的三條公理，我們可以推導出概率的若干性質(zhì).下面我們給出概率的一些重要性質(zhì).性質(zhì)1(有限可加性)42性質(zhì)2證明由可加性知,移項即得結論.43推論2.對任意事件A,有注若沒有條件則公式應改為性質(zhì)2證明由可加性知,移項即得結論.44性質(zhì)3(對立事件的概率)證明對任何事件A,有

由規(guī)范性及可加性，

Ａ45性質(zhì)4(加法公式)證明對任意兩事件A,B,有由性質(zhì)3得

推論：一般地，46推廣:三個事件的加法公式證明留作練習.一般地,47例9解48解所以所以例1049第三節(jié)概率的乘法公式、全概公式和貝葉斯公式50一、條件概率和概率的乘法公式一般，事件A發(fā)生的條件概率P(A/B)

與普通概率P(Ａ)并不相等．

例如，考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個孩子的性別為(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一樣的。

若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2；

但如果預先知道至少有一男孩(記為事件B），則上述事件的概率P(A/B)應為2/3.

在許多情況下，我們往往要解決已知事件Ｂ已發(fā)生的條件下，求事件Ａ發(fā)生的概率，因為增加了“事件Ｂ已發(fā)生”的新條件，所以稱這種概率為事件Ｂ已發(fā)生下事件Ａ發(fā)生的條件概率，記為P(A/B)。51又如：

某玩具廠的男女職工數(shù)，熟練工人和非熟練工人數(shù)如下表所示。

現(xiàn)從該企業(yè)中任選一名職工，求：（1）該職工為非熟練工人的概率；（2）若已知選出的是女職工，她是非熟練工人的概率．解：記事件Ａ＝“選到的為非熟練工人”；記事件Ｂ＝“選到的為女職工”；則52一般地，條件概率的計算公式如下：

例１某動物活到15年的概率為0.8，活到20年的概率為0.6,現(xiàn)有一只該動物，已活了15年，求它還能活5年及以上的概率。解

設A,B分別表示活到15年和20年,則不難驗證條件概率具有以下性質(zhì)：

53乘法公式由條件概率的定義：P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).

P(AB)=P(A)P(B|A)推廣到三個事件：

P

(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,與次序無關。乘法公式54例２

解55例3

一口袋中放有6個紅球，４個綠球，從中任取二個球（不放回），求取得的第一個是紅球且第二個是綠球的概率.解記Ai為第i個取得的是紅球，56二、全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用.

綜合運用加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

|

A)P(A)>057ΩAB1B2B3B4B6B7B5B858由概率的可加性及乘法公式,有

這個公式稱為全概率公式，它是概率論的基本公式.

59全概率公式

利用全概率公式，可以把較復雜事件概率的計算問題，化為若干互不相容的較簡單情形，分別求概率然后求和．

60例1市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三家工廠的市場占有率分別為30％、20％、50％,且三家工廠的次品率分別為3％、3％、1％，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率.B1、B2、B3分別表示買到設A:買到一件次品；解加權平均一件甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品；61在上面例1中，如買到一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？這就要用到.

在全概率公式的假定下，有

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導致A發(fā)生的每個原因Bk的概率.貝葉斯公式62所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的.例2已知三家工廠的市場占有率分別為30％、20％、50％,次品率分別為3％、3％、1％.如果買了一件商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分別為多少?

0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解63全概率公式可看成“由原因推結果”,而貝葉斯公式的作用在于“由結果推原因”:現(xiàn)在一個“結果”A已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中,到底是哪一個導致了這一結果？

故貝葉斯公式也稱為“逆概公式”。64

在不了解案情細節(jié)(事件A)之前，偵破人員根據(jù)過去的前科，對他們作案的可能性有一個估計，設為比如原來認為作案可能性較小的某丙，現(xiàn)在變成了重點嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個案件，懷疑對象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情細節(jié)后,這個估計就有了變化.P(B1|A)知道A發(fā)生后P(B2

|A)P(B3|A)偏小最大65在實際工作中檢查的指標A一般有多個，綜合這些后驗概率，當然會對診斷有很大幫助，在實現(xiàn)計算機自動診斷或輔助診斷中，這方法是有實用價值的。66下面舉一個實際的醫(yī)學例子，說明貝葉斯公式在解決實際問題中的作用.解67因此，雖然檢驗法相當可靠，但被診斷為患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相當小。當然，醫(yī)生在公布某人患肝癌之前，是不會只做一次或一種檢驗，還會輔以其它檢驗手段。

思考：診斷為無病,而確實沒有患病的概率為多少？68貝葉斯公式在商業(yè)決策及其它企業(yè)管理學科中也有重要應用.有人依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計推斷方法,叫作“貝葉斯統(tǒng)計”.可見貝葉斯公式的影響.69解例3設玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1,一顧客欲購買一箱玻璃杯，由營業(yè)員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機察看4只，若無次品，則買此箱玻璃杯，否則不買.求:(1)顧客買下此箱玻璃杯的概率α；(2)在顧客買下的此箱玻璃杯中，確實沒有次品的概率β.記A:顧客買下所察看的一箱玻璃杯，Bi:箱中有i件次品(i=0,1,2)，

由題設知，

70由全概率公式知

(2)由貝葉斯公式，知

71第四節(jié)隨機事件的獨立性和二項概率公式72一、事件的獨立性設有兩個事件A,B,一般來說,P(A|B)與P(A)是有差異的，但有時事件B的發(fā)生與否并不影響事件A發(fā)生的概率，即P(A|B)=P(A).

顯然P(A|B)=P(A)

這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，例如,將一顆均勻骰子連擲兩次，設73

由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約,且體現(xiàn)對稱性.P(AB)=P(B)P(A|B)若兩事件A、B滿足定義P(AB)=P(A)P(B)則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.P(AB)=P(A)P(B)74解例1

袋中有a個白球b個黑球，分別以A,B記第一次、第二次摸得白球，(1)采用有放回摸球；(2)采用無放回摸球，試分別判斷A,B的獨立性.(1)有放回摸球,所以A,B相互獨立.全概率公式75例1

袋中有a個白球b個黑球，分別以A,B記第一次、第二次摸得白球，(1)采用有放回摸球；(2)采用無放回摸球，試分別判斷A,B的獨立性.(2)無放回摸球,所以A,B不相互獨立.解76請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,

則A、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0,故A、B不獨立.由于互斥,P(AB)=0，即P(AB)≠P(A)P(B)獨立與互斥的關系77A、B獨立證明由獨立的對稱性,可得其余結論.

78對獨立事件，許多概率計算可得到簡化.利用事件的獨立性計算概率79例２三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

將三人編號為1，2，3，所求概率為記Ai={第I個人破譯出密碼}i=1,2,3解123“三個臭皮匠，頂個諸葛亮.”80例３假定人群中血清帶肝炎病毒的概率為0.004，混合100個人的血清，求此血清帶肝炎病毒的概率.

解81例４某彩票每周開獎一次，每一次提供十萬分之一的中獎機會，若你每周買一張彩票，盡管你堅持十年(每年52周)之久，你從未中過一次獎的概率是多少？

解按題設，每次中獎的概率是10-5，于是每次未中獎的概率是1-10-5，

十年共購買彩票520次，每次開獎都是相互獨立的，故十年從未中獎的概率是

這個很大的概率表明十年中你從未中過一次獎是很正常的事。二、二項概率公式稱只有兩種可能結果的試驗（事件Ａ發(fā)生或Ａ不發(fā)生）為貝努利試驗，

例如，有放回地抽取產(chǎn)品是重復獨立試驗；在相同條件下進行若干次獨立射擊也是重復獨立試驗．

若對某試驗重復進行次，每次試驗的結果互不影響，即每次試驗結果出現(xiàn)的概率不依賴于其它各次試驗的結果，則稱這次試驗是重復獨立試驗．

n重Bernoulli試驗中事件A

出現(xiàn)

k

次的概率記為且每次試驗的結果與其他次試驗無關。試驗可重復

n

次每次試驗只有兩個可能的結果：

若將此試驗重復獨立進行次，則稱這n次試驗為n

重伯努利(Bernoulli)試驗：

n重伯努利試驗特點：則例５袋中有3個白球,2個紅球,有放回地取球4次,每次一只,求其中恰有2個白球的概率.解設Ａ表示4個球中恰有2個白球例7例６人群中血型為A型、B型、AB型和O型的概率分別為0.40，0.11，0.03，0.46．現(xiàn)在任選12人，求：（1）有2個人是A型血型的概率；（2）有1個人是AB血型的概率．解可將問題看成12次重復獨立試驗．

例7（1）每次試驗結果僅考慮A型和非A型兩個可能結果，那么，所求概率:

（2）每次試驗結果僅考慮AB血型和非AB血型兩個可能結果，那么，所求概率

:

例７八門炮同時獨立地向一目標各射擊一發(fā)炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標時,目標就被擊毀.如果每門炮命中目標的概率為0.6,求目標被擊毀的概率.解

設i門炮擊中目標為事件Ai,i=2~8,

標被擊毀為事件B,

各炮命中概率p=0.6,則例8設目

伯努利JacobBernoulli1654-1705

瑞士數(shù)學家概率論的奠基人伯努利伯努利(JacobBernoulli)簡介伯努利家屬祖孫三代出過十多位數(shù)學家.這在世界數(shù)學史上絕無僅有.伯努利幼年遵從父親意見學神學,當讀了R笛卡爾的書后,頓受啟發(fā),興趣轉(zhuǎn)向數(shù)學.1694年,首次給出直角坐標和極坐標下的曲率半徑公式,同年關于雙紐線性質(zhì)的論文,使伯努利雙紐線應此得名.此外對對數(shù)螺線深有研究,發(fā)現(xiàn)對數(shù)螺線經(jīng)過各種變換后,結果還是對數(shù)螺線,在驚嘆此曲線的奇妙之余,遺言把對數(shù)螺線刻在自己的墓碑上,并附以頌詞:縱使變化,依然故我1695年提出著名的伯努利方程1713年出版的巨著《推測術》,是組合數(shù)學及概率史的一件大事.書中給出的伯努利數(shù)、伯努利方程、伯努利分布等,有很多應用,還有伯努利定理,這是大數(shù)定律的最早形式.91課外讀物賭徒的謬誤

M：瓊斯先生和瓊斯太太