浙江省嘉興市2023-屆第一學(xué)期期末檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題(解析版)

嘉興市2023-2023學(xué)年第一學(xué)期期末檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題卷第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題,每小題4分,共40分.1.已知集合，，則A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題干可知集合A，B，由集合的交集的概念得到結(jié)果.【詳解】集合，，則.故答案為：D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了集合的交集的求法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位），則A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)，,則=4+3i.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.3.雙曲線的離心率是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程得到參數(shù)a,b,c的值，進(jìn)而得到離心率.【詳解】雙曲線,.故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了雙曲線的方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是A.B.54C.D.108【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖得到原圖，再由四棱錐體積公式得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖得到原圖是如上圖的一個(gè)四棱錐反轉(zhuǎn)之后的圖，正確的圖應(yīng)是三角形VAD為底面，是底邊為6，高為的等腰三角形，點(diǎn)V朝外，底面ABCD是豎直的，位于里面邊長(zhǎng)為6的正方形，且垂直于底面VAD.該幾何體是四棱錐，體積為故答案為：A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了由三視圖還原幾何體的應(yīng)用，考查了四棱錐的體積的求法，思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.5.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比是A.B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到由數(shù)列各項(xiàng)是正數(shù)，可得到首項(xiàng)和公比均為正，進(jìn)而化簡(jiǎn)為，求解即可.【詳解】根據(jù)，，成等差數(shù)列得到=，再根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列得到，因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正，故得到解得或-2（舍去），故得到公比為.故答案為:C.【點(diǎn)睛】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系：①如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項(xiàng)分別抽出來，研究這些項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系；②如果兩個(gè)數(shù)列是通過運(yùn)算綜合在一起的，就要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)列各自的特征進(jìn)行求解．6.函數(shù)的大致圖象是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可代入特殊點(diǎn)，進(jìn)行排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)值大于0，可排除A選項(xiàng)，當(dāng)x<-1時(shí)，函數(shù)值小于0故可排除C和D選項(xiàng)，進(jìn)而得到B正確。故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了已知函數(shù)解析式，求函數(shù)圖像的問題，這種題目一般可以代入特殊點(diǎn)，進(jìn)行選項(xiàng)的排除，或者根據(jù)函數(shù)表達(dá)式得到函數(shù)的定義域，值域的問題，進(jìn)行排除.7.已知直線，，則“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先得出兩直線平行的充要條件，根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍，可得到答案.【詳解】直線，，的充要條件是，當(dāng)a=2時(shí)，化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的，故舍去，最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為：C.【點(diǎn)睛】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．8.已知隨機(jī)變量的分布列如下，則的最大值是-10A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)得到b=a,再由均值的概念得到，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果即可.【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)的到,所有的概率和為1,且每個(gè)概率都介于0和1之間，得到b-a=0,，根據(jù)公式得到化簡(jiǎn)得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)最大值在軸處取，代入得到.故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了分布列的性質(zhì)以及應(yīng)用，分布列的概率和為1，每個(gè)概率值介于0和1之間，或者可以等于0或1，題型基礎(chǔ).9.已知長(zhǎng)方體的底面為正方形，，，且，側(cè)棱上一點(diǎn)滿足，設(shè)異面直線與，與，與的所成角分別為，，，則A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意將異面直線平移到同一平面，再由余弦定理得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意將異面直線平移到同一平面中，如上圖，顯然，，，因?yàn)?，異面直線與的夾角即角，根據(jù)三角形中的余弦定理得到，故，同理在三角形中利用余弦定理得到：，故，連接AC，則AC垂直于BD，CE垂直于BD，AC交CE于C點(diǎn)，故可得到BD垂直于面ACE，進(jìn)而得到BD垂直于AE，而BD平行于.從而得到，故.故答案為：A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了異面直線夾角的求法，一般是將異面直線平移到同一平面中，轉(zhuǎn)化到三角形中進(jìn)行計(jì)算，或者建立坐標(biāo)系，求解兩直線的方向向量，兩個(gè)方向向量的夾角就是異面直線的夾角或其補(bǔ)角.10.已知向量，滿足，，則的取值范圍是A.B.C.[D.[【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題干條件得到題目所表示的幾何意義，根據(jù)橢圓的定義和幾何意義得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)M，為平面中任意一點(diǎn)，點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意，根據(jù)橢圓的定義得到點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，方程為.,即.故答案為：D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量的加法的幾何意義，考查了解決向量問題的數(shù)形結(jié)合的方法，向量的兩個(gè)作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.第Ⅱ卷二、填空題（本大題共7小題，多空題6分，單空題4分，共36分）11.計(jì)算：______，方程的解為______.【答案】(1).2(2).；【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到;方程,即.故答案為：(1).2;(2).【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式以及指對(duì)互化的應(yīng)用，較為簡(jiǎn)單.12.已知函數(shù)的最小正周期是，則______，若，則______.【答案】(1).(2).；【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到周期公式，進(jìn)而求得參數(shù)值；由誘導(dǎo)公式得到再由二倍角公式得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的最小正周期是若,即化簡(jiǎn)得到根據(jù)二倍角公式得到故答案為：(1)；(2).【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式和二倍角公式的應(yīng)用，題型簡(jiǎn)單.13.已知的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為27，則實(shí)數(shù)______，展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是______.【答案】(1).2(2).23；【解析】【分析】將x=1代入表達(dá)式可得到各項(xiàng)系數(shù)之和，按照展開式的系數(shù)的公式得到的系數(shù)之和.【詳解】已知的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為27,將x=1代入表達(dá)式得到展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是故答案為：(1).2；(2).23.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可;(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).14.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于______，的取值范圍是______.【答案】(1).2(2).；【解析】【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求面積，只需求出區(qū)域圖形的面積即可；將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，根據(jù)圖像分析得到最值.【詳解】不等式組表示的可行域如圖，三條直線圍成的三角形，可得C（1，0），可得B（1，4），解得A（0，1）區(qū)域面積為：×4×1＝2．目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像得到過點(diǎn)B時(shí)取得最小值1，過點(diǎn)C時(shí)取得最大值6.故答案為：(1)2;(2).【點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域;(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）;(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解;(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.15.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______.【答案】3；【解析】【分析】將原式子變形得到再由均值不等式可得到最值.【詳解】已知正實(shí)數(shù)，滿足，根據(jù)均值不等式得到等號(hào)成立的條件為：x=2y+2.故答案為：3.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了均值不等式的應(yīng)用，在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16.浙江省現(xiàn)行的高考招生制度規(guī)定除語、數(shù)、英之外，考生須從政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)這7門高中學(xué)考科目中選擇3門作為高考選考科目，成績(jī)計(jì)入高考總分.已知報(bào)考某高校、兩個(gè)專業(yè)各需要一門科目滿足要求即可，專業(yè)：物理、化學(xué)、技術(shù)；專業(yè)：歷史、地理、技術(shù).考生小李今年打算報(bào)考該高校這兩個(gè)專業(yè)的選考方式有______種.（用數(shù)字作答）【答案】27；【解析】【分析】根據(jù)題意，分四種情況討論即可，最終將每種情況的個(gè)數(shù)加到一起.【詳解】根據(jù)題意得到分情況：當(dāng)考生選擇技術(shù)時(shí)，兩個(gè)專業(yè)均可報(bào)考，再從剩下的6門課中選擇兩科即可，方法有種；當(dāng)學(xué)生不選技術(shù)時(shí)，可以從物理化學(xué)中選擇一科，再從歷史，地理選一科，最后從政治生物中選擇一科，有種方法；當(dāng)學(xué)生同時(shí)選物理化學(xué)時(shí)，還需要選擇歷史，地理中的一科，有2中選擇，當(dāng)學(xué)生同時(shí)選擇歷史，地理時(shí)，需要從物理化學(xué)中再選擇一科，也有2種方法，共有4種；最終加到一起共有：15+8+4=27種.故答案為：27.【點(diǎn)睛】（1）解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．17.已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，直線經(jīng)過原點(diǎn)，由上的一點(diǎn)向圓引兩條切線，分別切圓于，兩點(diǎn)，且為直角三角形，則的最小值是______.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義得到，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，故，代入可得到結(jié)果.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線是，故由拋物線的定義可知，故，易知四邊形為正方形，故，因此點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，故，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了拋物線的定義的應(yīng)用，以及圓的定義的應(yīng)用，題型綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.三、解答題（本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理得到，再由三角形的內(nèi)角間的關(guān)系得到，解得，進(jìn)而得到結(jié)果；（Ⅱ）結(jié)合余弦定理得到，代入?yún)?shù)值得到，根據(jù)三角形面積公式得到結(jié)果即可.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理，，整理得，即，而，所以，解得，又，故；（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，，又，，，故，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.19.在數(shù)列、中，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1），（2）整數(shù)的最小值是11.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題干條件得到是等差數(shù)列，可得到前n項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，①②兩式做差可得到，代入不等式得到.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，即，所以是等差?shù)列，又，所以，從而.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，①②①-②可得，，即，而也滿足，故.令，則，即，因?yàn)?，，依?jù)指數(shù)增長(zhǎng)性質(zhì)，整數(shù)的最小值是11.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)的計(jì)算，以及前n項(xiàng)和的計(jì)算公式，應(yīng)用到了通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，題型較為基礎(chǔ).20.如圖，多面體由正方體和四棱錐組成.正方體棱長(zhǎng)為2，四棱錐側(cè)棱長(zhǎng)都相等，高為1.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（Ⅰ）建立空間坐標(biāo)系得到向量，面PCD的法向量，由向量點(diǎn)積的坐標(biāo)運(yùn)算得到結(jié)果；（Ⅱ）分別求得兩個(gè)面的法向量，求出兩個(gè)法向量的夾角，即可得到二面角的大小.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋?，，所以，，即?故，平面.（Ⅱ）平面的一個(gè)法向量是.設(shè)是平面的法向量，則，取.故，二面角的余弦值是.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，平面和平面的夾角。求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長(zhǎng)度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。面面角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，也可以建系來做。21.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)的直線，分別交橢圓于，及，四點(diǎn)，且，探究：是否存在常數(shù)，使得.【答案】（1）（2），使得恒成立.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，再由a,b,c的關(guān)系可得到每一個(gè)參數(shù)值；（Ⅱ）（ⅰ）當(dāng)與其中一條直線的斜率不存在時(shí)，易知，其中一個(gè)為長(zhǎng)軸，另一個(gè)為通徑，可代入驗(yàn)證，求得參數(shù)值；（ⅱ）當(dāng)與斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)的方程為，則的方程，分別聯(lián)立兩直線和橢圓方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理得到參數(shù)值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)所求橢圓的方程為，由點(diǎn)到直線的距離為，故，又，所以，故所求橢圓的方程為；（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，則，（ⅰ）當(dāng)與其中一條直線的斜率不存在時(shí)，易知，其中一個(gè)為長(zhǎng)軸，另一個(gè)為通徑，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，通徑為，此時(shí)，（ⅱ）當(dāng)與斜率存在且不為零時(shí)，不妨設(shè)的方程為，則的方程，聯(lián)立方程，消去可得，設(shè)，，則，所以，將代入，化