《有理數(shù)》綜合復習指導

《有理數(shù)》綜合復習指導一、知識歸納(一)基本概念(1)畫數(shù)軸應體現(xiàn)其“三要素”，即 , , (2) 叫相反數(shù)； 叫絕對值； 數(shù)的絕對值是它本身， 數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；如果a與b互為相反數(shù)，那么 ；如果ab=1，那么a、b的關系是 叫做乘方，乘方的結(jié)果叫 兩個負數(shù)比較大小， 大的數(shù)反而小；數(shù)軸上右邊的點所表示的 左邊的點所表示的數(shù)探索數(shù)的規(guī)律時，首先應從特殊入手，進行歸納、 ，對于獲得的結(jié)論，還要 或 它的正確性(二)基本運算有理數(shù)的運算要注意：有理數(shù)的運算種類、各種運算法則、運算律、運算順序、科學計數(shù)法、近似數(shù)與有效數(shù)字、計算器功能鍵及應用。有理數(shù)的運算律：加法交換律 a+b=b+a加法結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律 ab=ba.乘法結(jié)合律 (ab)c=a(bc)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意有理數(shù).運用運算律有時可使運算簡便.二、易、錯點掃描有理數(shù)常見思維誤區(qū)對正、負數(shù)的理解有誤，如：a—定表示正數(shù)，-a—定表示負數(shù)有理數(shù)的分類問題，易把小數(shù)作為單獨的一類，不知道有限和無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)

化為分數(shù)數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值常見思維誤區(qū)主要是對三概念的理解有誤，應用也容易出錯有理數(shù)的運算常見思維誤區(qū)（1）對幾種運算法則理解不到位；（2）符號易出現(xiàn)錯誤；（3）運算順序、運算性質(zhì)易錯；（4）濫用運算律等錯誤五、思想方法歸納為了深刻理解新的數(shù)學概念，新教材滲透了不少的數(shù)學思想和方法.數(shù)形結(jié)合的思想在學習數(shù)軸后知道了數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，反之數(shù)軸上的點也表示數(shù)，相反數(shù)的幾何意義是：在數(shù)軸上位于原點的兩旁，并且與原點的距離相等的兩點表示的數(shù)叫互為相反數(shù).絕對值的幾何意義是：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值.這種形象與抽象的結(jié)合，加深了同學們對相反數(shù)、絕對值等概念的認識和理解，也為今后的學習奠定了基礎.轉(zhuǎn)化的思想方法第二章中的關于有理數(shù)減法和除法法則分別是減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù);除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，這兩條法則充分體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想，即將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決.分類的思想方法在學習有理數(shù)、絕對值概念時，都體現(xiàn)了分類的思想方法，即分數(shù)正分數(shù)

負分數(shù)有理數(shù)＜分數(shù)正分數(shù)

負分數(shù)有理數(shù)＜正整數(shù)整數(shù)」0、負整數(shù)a(a>0)a=<0 (a=0)—a(a<0)

有了分類思想，根據(jù)“不重不漏”的分類原則去處理問題，能使思維變得更嚴密，考慮問題更全面。例如，若a>0,bVO,則a+b 。就必須討論(1)當|a>b|時，a+b>0；當a|=|b|時，a+b=0；當|a|v|b|時，a+bVO.六、考點解密考點1正、負數(shù)例1下列運算的結(jié)果中，是正數(shù)的是( )A.(-2007)-1 B.(-1)2007 C.(—1)x(—2007) D.(—2007)+2007分析：本題主要考查符號法則，只要簡單的觀察分析一下就能知道結(jié)果解：A,B都是乘方運算，結(jié)果為負，C，D是乘、除運算，C為正，故選C評注：本題主要考查有理數(shù)運算的符號法則，主要考查同學們的觀察能力，分析發(fā)現(xiàn)能力考點2：相反數(shù)與倒數(shù)1例2.-的相反數(shù) ，倒數(shù) ，平方等于 .分析：只要嚴格按照定義去計算即可，但要注意符號變化111解：-的相反數(shù)是；倒數(shù)是-2；平方是4評注：本題重點考查相反數(shù)、倒數(shù)和平方的概念與計算問題，在計算的時候容易出現(xiàn)符號錯誤，應引起同學們的重視！5 V——AHF-JnB考點3：數(shù)軸B例3.如圖1,數(shù)軸上一動點A向左移動2個單位長度到達點B，再向右移動5個單位長度到達點C.若點C表示的數(shù)為1,則點A表示的數(shù)為( )A.7 B.3 C.-3D.-2分析：本題只要按照題目要求，分別將距離轉(zhuǎn)化為數(shù)字，最后就能求出A表示的數(shù)解：由AA向左移動2個單位長度到達點B，再向右移動5個單位長度到達點C，說明A到C的距離是3個單位，又由于點C表示的數(shù)為1,所以A表示的數(shù)是-2，故選D

評注：本題主要考查數(shù)軸的有關知識，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法以及轉(zhuǎn)化的思想，重要注意轉(zhuǎn)化，問題就能迎刃而解考點4：絕對值1例4.-2的絕對值等于()1(A)-2 (B)2 (C)-21(d)2分析：根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)的法則就可以解決問題了111解：因為-2是負數(shù)，所以的絕對值等于2，故選d評注：本題重點考查絕對值與相反數(shù)的有關知識，只要熟練理解與掌握即可，但要注意區(qū)別！考點5：有理數(shù)大小比較例5.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是()A.-2 B.-1 C.0D.p分析：先判斷數(shù)的屬性，在比較其大小解：A,B都是負數(shù)，又由于正數(shù)和零都大于負數(shù)，所以只要比較A,B,又由于兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小，所以-2V-1，故選A評注：本題主要考查有理數(shù)的大小比較問題，只要按照正數(shù)和零都大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小的法則進行考點6：有理數(shù)的運算例6.下列計算結(jié)果為1的是(A)(+1)+(—2) (B)(—1)—(—2)(C)(+1)x(—1) (D)(-2)-(+2)分析：將四個簡單的算式分別計算出結(jié)果，再進行選擇即可/輸入x/平方二^ 否則乘以2/輸出y/解：由于(-1)-(-2)=-1+2=1，故選/輸入x/平方二^ 否則乘以2/輸出y/評注：重點考查加、減、乘、除的運算法則理解和掌握，運算時，要注意符號問題，特別是減法運算易出錯！例7根據(jù)如圖3所示的程序計算，若輸入x的值為1,則輸出y的值為 。分析：只要按照計算程序的一起，分步列式計算即可 祠圖3解：將1輸入列式為：12x2-4=2，結(jié)果不大于0繼續(xù)將-2輸入，列式為：(-2)2x2-4=4，結(jié)果大于0,故輸出y=4評注：本題以計算程序的輸入、輸出為背景，主要考查學生的閱讀與計算能力考點7：定義新運算、新規(guī)則例8.先閱讀下列材料，然后解答問題：從A，B，C三張卡片中選兩張，有三種不同選法，抽象成數(shù)學問題就是從3個元素中選3x2取2個元素組合，記作C2二 二3.一般地，從m個元素中選取n個元素組合，記作：3 2x1m(m-1)?…(m-n+1)m n(n-1)…x3x2x1-7x6x5x4x3-一例：從7個元素中選5個元素，共有C5— —21種不同的選法.75x4x3x2x1問題：從某學習小組10人中選取3人參加活動，不同的選法共有 種.分析：根據(jù)閱讀材料的提示和例子，將新的預示規(guī)則轉(zhuǎn)化為常規(guī)計算即可廠10倉。8“c解：由閱讀可知：10人中選取3人，共有C3= =12010 3倉21評注：本題是一道以新定義、新規(guī)定為背景的閱讀理解題，解題時需要將未知轉(zhuǎn)化為已知,再按照新規(guī)則進行計算即可考點8：有理數(shù)的實際運用例92008年8月第29屆奧運會將在北京開幕，5個城市的國標標準時間(單位：時)在數(shù)軸上表示如圖5所示，那么北京時間2008年8月8日20時應是( )A.倫敦時間2008年8月8日11時 B.巴黎時間2008年8月8日13時C.紐約時間2008年8月8日5時 D.漢城時間2008年8月8日19時紐約 倫敦巴黎 北京漢城-5 0 1 8 9分析：由數(shù)軸顯示的信息，很容易得到北京與其余五個城市的關系解：由于北京東八區(qū)，而和、巴黎在東一區(qū)，相差7個時區(qū)，故選B評注：本題是一道數(shù)軸在實際生活中的應用，重點考查學生對數(shù)軸及時差概念的理解和掌握情況，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分析問題、解決問題的能力考點9：規(guī)律探索例10為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖6所示:按照上面的規(guī)律，擺n個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（ ）A.2+6n B.8+6n C.4+4n D.8n分析：本題的探索規(guī)律可以從兩個方面去分析：第一，可以從'數(shù)”的方面，圖①有8個；圖②有14個；……找規(guī)律；第二，從“形”的方面，后一個圖都比前面圖都6個，從而找出規(guī)律來解：由于圖①有8個；后一個圖都比前面圖都6個，所以應該是2+6n，故選A評注：本題通過觀察組成各種“金魚”圖案之間的關系探索規(guī)律的，這就需要同學們仔細觀察圖形，找出各種數(shù)量之間的變化規(guī)律，從而找到它們的共同的表達式考點10：綜合運用例11.根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11x29； 12x28； 13x27； 14x26； 15x25；16x24； 17x23； 18x22； 19x21； 20x20.（1） 試將以上各乘積分別寫成一個“口2—。2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2） 將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3） 試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論.（不要求證明）分析：通過觀察會發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律，然后排序、驗證，最后猜想結(jié)果解：（1）11x29=202—92；12x28=202—82；13x27=202—72；14x26=202—62；15x25=202—52；16x24=202—42；

17x23=202—32；18x22=202—22；19x21=202—12；20x20=202—02.例如，11x29；假設11x29=^2—o2,因為口2—O2=（口+o）（口一O）；所以，可以令口一o=11,口+。=29.解得，口=20,o=9.故11x29=202—92.（或11x29=（20—9）（20+9）=202—92.⑵這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11x29<12x28<13x27<14x26<15x25<16x24<17x23<18x22<19x21<20x20.⑶①若a+b=40,a,b是自然數(shù)，則ab<202=400.②若a+b=40，則ab<202=400.③若a③若a+b=m，a，b是自然數(shù),則ab<fm、I2丿④若a+b=m,⑤若a⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3==a+b=40.且nnIa1—b1Ra2—每曰僞一b3匕?刁D，貝I」a1b<a2b<a3b<-<ab.11 22 33 nn若a+b=a+b=a+b=???=a+b=m.^且1 1 2 2 3 3 nn1a1—b1|^|a2—b2|-|a3—b3|---1an—bnI，則a1b1<a2b2<a3b3<-<anbn.評注：這是一道以數(shù)字規(guī)律為背景的綜合題，它先通過觀察數(shù)字的規(guī)律，然后歸納、猜想,最后總結(jié)出一般性的規(guī)律以及思維過程，最后再驗證規(guī)律的正確性

再談有理數(shù)的混合運算運算是我們必須掌握的一項基本功，而有理數(shù)的運算則是運算的基本功，它既是《有理數(shù)》一章的學習重點，也是難點?在復習階段，要提高有理數(shù)混合運算的準確性和簡捷性，必須從以下三個方面入手.一、注意符號自從有了負數(shù)，符號就與運算有了不解之緣，在運算時，首先要注意符號的確定TOC\o"1-5"\h\z15 2 1例1?計算：一4+6+3-2.\o"CurrentDocument"4 6 3 2分析：本題是一道有理數(shù)加減混合運算題，在交換加數(shù)的位置時，應帶著該加數(shù)的符號起交換.解:原式=-4\o"CurrentDocument"5 2 3 9 3解:原式=-4—+—+—=———+—=—\o"CurrentDocument"6 3 4 6 4,評注：每個數(shù)都包括它前面的符號，符號與數(shù)是一個有機的整體，在運算時，千萬不要忽略了數(shù)的性質(zhì)符號.“1例2.計算：一14— x[2-(-3)2].6分析：在計算本題中的兩個乘方運算時，要特別注意符號，一14=—1,而不是1，(-3)2=9，而不是一9.1 1 71解：原式=-1—x(2-9)=-1—x(-7)=-1+=：.6 6 66評注：在進行乘方運算時，要特別注意(-l)n與-1n的不同.二、注意運算順序與運算步驟有理數(shù)混合運算的順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減?如果有括號，就先算括號里面的?有理數(shù)的運算步驟是：對于每一個運算，都應先確定結(jié)果的符號，再計算結(jié)果的絕對值?即“符號先判斷，絕對值后計算”94例3.計算：-81=4x9=(-16).分析：這是一道有理數(shù)乘除混合運算的題目，由于乘除是同級運算，應按從左到右的順序依次進行.44 1解：原式=—81xxx（―7）=1.99 1694評注：在計算本題時，如果你禁不住4x9=1的誘惑，來一個從中間開始算起，就違背了運算順序的原則，必將導致失?。∪?、注意運算律的靈活應用有理數(shù)的運算律包括加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、乘法對加法的分配律.

若能靈活、巧妙地運用它們，將使計算過程變得簡捷?在具體運用時，主要有以下幾種技巧：（1）

相反數(shù)結(jié)合；（2）湊整結(jié)合；（3）正、負數(shù)分別結(jié)合；（4）分數(shù)、小