全國高中數(shù)學聯(lián)賽浙江賽區(qū)預賽試卷

全國高中數(shù)學聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽試卷及答案20XX年浙江省高中數(shù)學比賽試卷一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填入題干后的括號里，多項選擇、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分）1．cos4xsin4xsin2xcos2x化簡三角有理式6的值為（）622sinxcosx2sinxcosx2若p:(xx0,q:x2，則p是q的（）A.1B.sinxcosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx2．A.充分而不用要條件B.必需而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件3．會集P={xxR,x3x63}，則會集CRP為（）A.{xx6,或x3}B.{xx6,或x3}C.{xx6,或x3}D.{xx6,或x3}4．設a,b為兩個互相垂直的單位向量。已知OP=a，OQ=b，OR=ra+kb.若△PQR為等邊三角形，則k，r的取值為（）Akr111,rBk222111rDk222C．kr5．在正三棱柱ABC―A1B1C1中，若1，則CA1與C1B所成的角的大小是( )設an，bn分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且a1b14,a4b41，則以下結論正確的是A．60°B．75°C．90°D．105°．6（）A.a2b2B.a3b3C.a5b5D.a6b67．若xR,則(12x)15的二項式睜開式中系數(shù)最大的項為（）A．第8項B.第9項C.第8項和第9項D.第11項8．設f(x)cosx111，af(loge),bf(log),cf(log12)，則下述關系式正確的選項是5ee（）。A．a(chǎn)bcB.bcaC.cabD.bac9．下邊為某一立體的三視圖，則該立體的體積為（）正視圖：半徑為1的半圓以及高為1的矩形A.俯視圖：半徑為1的圓設有算法以下：若是輸入A=144,B=39,則輸出的結果是（）A.144B.3C.0D.12二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11.2所有實數(shù)解為。xx12.xR,函數(shù)f(x)2sin3cos的最小正周期為.23設P是圓x2y236上一動點，A點坐標為20,0。當P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡方程為.設銳角三角形ABC的邊BC上有一點D，使得AD把ABC分成兩個等腰三角形，試求△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為。1設z是虛數(shù)，wz，且1w2，則z的實部取值范圍為z16.設f(x)k(x2x1)x4(1x)4。若是對任何x[0,1]，都有f(x)0，則k的最小值為17.設p,qR，f(x)x2p|x|q。當函數(shù)f(x)的零點多于1個時，f(x)在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值為.三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）*-*k,,,，設數(shù)列,,,,,,,,*kk11問：（1）這個數(shù)列第20XX年項的值是多少；（2）在這個數(shù)列中，第20XX年個值為1的項的序號是多少.設有紅、黑、白三種顏色的球各10個?，F(xiàn)將它們所有放入甲、乙兩個袋子中，要求每個袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。問共有多少種放法。x2已知橢圓2y21(a1)，RtABC以A（0，1）為直角極點，邊AB、BC與橢圓交于兩a點B、C。若△ABC面積的最大值為27，求a的值。8四、附帶題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）21.設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB上的點。記BDCEAF,,。證明：BCABSDEFSABC。（1）設a0，平面上的點如其坐標都是整數(shù)，則稱之為格點。今有曲線yax過格點（n，m），記1xn對應的曲線段上的格點數(shù)為N。證明：3Nakmn。k1k1n3m進而設a是一個正整數(shù)，證明：a2n(n1)n(3n1)。4k1（注[x]表示不高出x的最大整數(shù)）an3參照答案1、解答為A。分母=(sin2xcos2x)(sin4xcos4xsin2xcos2x)2sin2xcos2xsin4xcos4xsin2xcos2x。2、解答為B。p建立x3，所以p建立，推不出q必然成立。3、解答：D。畫數(shù)軸，由絕對值的幾何意義可得6x3，Px6x3,CRP{xx6,或x3}。4、解答．C.PQQRPR，5、解答：C。建立空間直角坐標系，以A1B1所在的直線為x軸，在平面A1B1C1上垂直于A1B1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸。則A1C1C22B(0,0,1)，CA16、解答：A。1),C1B(CA1C1B0。設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列公比為q,由a1b14,a4b41，得得a23,b2a32,b3a50,b5a61,b6。2422932r，r=10，第11項最大。33x8、解答：D。函數(shù)f(x)cos為偶函數(shù)，在（0，）上，f(x)cosx為減函數(shù)，而527、解答：D.Tr1C152,由TrTr1，Tr2Tr1rrloge1loge,log111,log122loge，elogee0loge2loge1，所以bac。5loge5549、解答：C.依據(jù)題意，該立體圖為圓柱和一個1/4的球的組合體。10、解答B(yǎng)（1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。11、解答201，解得20XX年x20XX年。xx12、解答2sin的周期為4，3cos的周期為6，所以函數(shù)f(x)的周期為12。23x20y13、解答設M的坐標為(x,y)，設P點坐標為(x0,y0),則有x0,y022x02x20,y02y，由于P點在圓上，所以(2x20)2(2y)236所以P點軌跡為(x10)2y29。14、解答如圖，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。在（1）中，設最小的角為x，則2x90,得x45,又x+180-4x90,得x30,所以30x45；在（2）中，設最小的角為x，則3x90,得x30,又180-4x90,得x22.5,所以22.5x3015、解答設zabi1abi當b0，無解；當ab122bib220或ab12b02222bab1a1。2x4(1x)*16、解答k2由于x2x1(x)2,x時x2x1最小值為*xx1*,x時，x4(1x)4取最大值（），所以k的最小值為。*217、解答由于函數(shù)f(x)xp|x|q為偶函數(shù)，由對稱性以及圖象知道，f(x)在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值0或q。18、解（1）將數(shù)列分組：( ),(,),(,,),,(,由于1+2+3++62=1953；1+2+3++63=20XX年，所以數(shù)列的第20XX年項屬于第63組倒數(shù)第7個數(shù)，即為1*-k,),kk1157。---------10分72）由以上分組可以知道，每個奇數(shù)組中出現(xiàn)一個1，所以第20XX年個1出現(xiàn)在第4019組，而第4019組中的1位于該組第20XX年位，所以第20XX年個值為1的項的序號為（1+2+3++4018）+20XX年=*。------------17分19、解：設甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數(shù)為x,y,z，則有1x,y,z9，且xyz(10x)(10y)(10z)（*1）-----------------5分即有xyz50050(xyz)5(xyyzzx)。（*2）于是有5xyz。所以x,y,z中必有一個取5。不如設x5，代入（*1）式，獲得yz10。

----------------10

分此時，y可取1，2，，8，9（相應地z取9，8，，2，1），共9種放法。同理可得y=5也許z=5時，也各有9種放法，但有xyz時二種放法重復。所以可得共有9×3－2=25

種放法。

---------------------17

分20、解：

不如設

AB

的方程

ykx1k0

，則

AC

的方程為

y1x1。kykx12a2k*由x得：(1ak)x2akx0xB2221ak2y1a1yx12a2kk2222由2得：(ak)x2akx0xC2,2akxy21a2進而有ABAC--------5分于是SABC1k(1k)4ABAC2a42a222212(1ak)(ak)a2(k22)a41k2k1令tk12，有k2a4tSABC22at(a21)22a4,---------10分22(a1)a2tt(a21)2a2122a(a1),t由于at時等號建立。at2a21a3,(SABC)max2,-------------14分所以當t=aa1令a32732(a3)(8a3a9)0a3,a2a1816a2132a1a不合題意，舍去)，a3.---------17分a16SBFDBDBFsinB(1).---------5分21、證明由SABCBCBAsinB同理SDECS(1),AEF(1)。

----------10

分

SABCSABC所以，SDEFSABCSBFDSDECSAEF1(1)(1)(1)SABCSABC=(1)(1)(1),等號建立

1或

1或

1。

----20

分所以

SDEFSABC，等號建立，當且僅當，

D與

C重合，或E與

A重合，或

F與

B重合。

-----25

分22、證明（1）考慮地域

0xn,0ym,

且該地域上的格點為nm

個。又該地域由地域

E：0xn,0yax3,以及地域

F：0ym,0x組成。3在地域E上，直線段xk(kN,1kn)上的格點為[ak]個，所以地域E上的格點數(shù)為k1mn[ak3]。

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