線性代數(shù)考試題庫及答案(九)

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題三（課程代碼4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）當(dāng)(D )成立時(shí)的值為.行列式主對角線上的元素全為零行列式中有零

階行列式個(gè)元素等于式為零行列式所有零

階子階子式全為已知 均為n階矩陣為單ABC=E( B).B.C.D.設(shè)均為n階可逆矩陣則下列等式成立的是 ( D).A.(A)-1--1 B.)-1--1C. D.4.(B ).

下 列 矩 陣 不 是 初 等 矩 陣 的 是A.B.C.D.設(shè) 是4 維向量組，則(D ).線性無關(guān)至少有兩個(gè)向量成比例只有一個(gè)向量能由其余向量線性表示D.設(shè)A為n矩陣且<則齊次線性方程組Ax=o必 (C ).無解 只有唯一零解 有非零解 D.不能確定4A3，又的通解是(D ).A.B.C.D.AB滿足(DAB.有相同的行列式C.有相同的秩D.有相同的特征值,且這些特征值各不相同設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣則A是正定矩陣的充要條件是(D ).B.A的每一個(gè)元素都大于零C. D.A的正慣性指數(shù)為n設(shè)為同階方陣且=則 (C).A與B相似 B.A與B合同C.A與B等價(jià) 二、填空題（本大題共102分，共20）小題的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。行列式 24 .AA按列分塊為，其中A的第j列，,則6 .，，則

X=

1 1.1 2 已知向量組= -2 .

的秩為

k向量 的長度15= .15向量3) .

在基下的坐標(biāo)為(3，-4，設(shè)

4元齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則矩陣A的秩1 .設(shè) 是三階矩陣A 的特征值，則a=1 .若 是正定二次型，則滿足5 .設(shè)三階矩陣A的特征值為1,2,3360 .三、計(jì)算題（6954）單位矩陣.3 0 0 2 0 0 1解：(1)A-2E=1 1 00 2 01

0 01 0

，E為三階.1 2 3 0 0 2

2 1|A-2E|=-1；

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0(2) 1 1 0 0 1 00 0 1 01 2 1 0 0 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 0 00 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 0 0(A2E)11 1 0. 1 2 已知向量組求：(1)向量組的秩；(2)向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.解：(1)將所給向量按列構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)施初等行變換：1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 22 4 0 40 0 2 40 0 1 2. 2 4 3 2 所以，向量組的秩,,,)2；1 2 3 4(2)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為：,，1 3且有221, 423.討論 a 為何值時(shí)，線性方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求出方程組的通解.解：對方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換：1 2 2 2 1 2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 A

1 1 1 3 a 0 1 1 1 a21 1 1 5 1 0 3 3 3 3 1 2 2 2 2 1 0 0 4 0 0 1 1 1

1 1 1 1 .0 0 0 0 a1 0 0 0 0 a10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 若方程組有解，則rr2a=1時(shí)，原方程組的通解方程組為：x 4x1 4，x,

為自由未知量.x1xx 3 42 3 4x3x401,0,x 4x導(dǎo)出組的同解方程組為：1

4，x,

為自由未知量.xxx 3 42 3 4x 10令3分別取0,1(0,1,1,0T(-4,1,0,1T.4x 4所以，方程組的通解為：(0,1,0,0)T+c(0,1,1,0)T+c(-4,1,0,1)T，其1 2中，c，c.1 21211121121a10a224a08

，討論該向量12 (a2)(a6).a2a=2a=-6a≠2a≠-6.已知矩陣，A的特征值與特征向量；AP解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：|EA41

1 03 0 (2)(，0 2所以，A1 2

1,3

2.對于1 2

1，求齊次線性方程組(EA)xo的基礎(chǔ)解系，2 1 0 1 0 1 1EA4 2 00 1 22，從而 1 0 1

1 1 1A的對應(yīng)于特征值1 2

1的全部特征向量為：c2，(c≠0).1 1 對于32，求齊次線性方程組(2EA)xo的基礎(chǔ)解系，3 1 0 1 0 0 02EA4 1 00 1 00，從而矩 1 0 0

1 1 0A的對應(yīng)于特征值3

2的全部特征向量為：c0 (c0) .1 1 AA設(shè)二次型將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；解：(1)利用配方法，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：f(x,x,x)x22x

2xx2x2

4xx3x21 2 3

1 2 13

2 3 3[x21

2x(x1

x)(x3

x)2](x3

x)22x23 2

4xx2

3x23(x1

xx2

)2x22

2xx2

4x23(xxx)2(x22xxx2)5x21 2 3 2 2 3 3 3=(x1

xx2

)2(x2

x)25x2.3 3yxxx xyy1 1 2 3 1 1 2令yxx ，即xyy，2 2 3 2 2 3yx3 3