《函數(shù)模型的應用實例》設計

《函數(shù)模型的應用實例》教學設計教學目標：知識與技能能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關系式，初步體會應用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實際問題．過程與方法感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會一次函數(shù)、二次函數(shù)模型在數(shù)學和其他學科中的重要性．情感、態(tài)度、價值觀體會運用函數(shù)思想和處理現(xiàn)實生活和社會中的簡單問題的實用價值．教學重點難點：重點運用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的處理實際問題．難點運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的簡單問題．教學過程：一、新課引入：大約在一千五百年前，大數(shù)學家孫子在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何？”這四句的意思就是：有若干只雞和兔在同一個籠子里，從上面數(shù)，有三十五個頭；從下面數(shù)，有九十四只腳。求籠中各有幾只雞和兔？你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎？你有什么更好的方法？原來孫子提出了大膽的設想。分析解答：介紹孫子的大膽解法：他假設砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”。這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數(shù)量與它們頭的數(shù)量之差，就是兔子數(shù)，即：47－35=12；雞數(shù)就是：35－12=23。激發(fā)學生學習興趣，增強其求知欲望．用方程的思想解答“雞兔同籠”問題．二、師生互動，新課講解：例1(課本P102例3)．一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系如圖所示．寫出速度關于時間的函數(shù)解析式；寫出汽車行駛路程關于時間的函數(shù)關系式，并作圖象；求圖中陰影部分的面積，關說明所求面積的實際含義；假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)與時間的函數(shù)解析式，并作出相應的圖象．（km/h）t（h）（km/h）t（h）探索：1）將圖中的陰影部分隱去，得到的圖象什么意義？2）圖中每一個矩形的面積的意義是什么？3）汽車的行駛里程與里程表讀數(shù)之間有什么關系？它們關于時間的函數(shù)圖象又有何關系？本例所涉及的數(shù)學模型是確定的，需要我們利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關系建立數(shù)學模型．此題的主要意圖是讓學生用函數(shù)模型（分段函數(shù)）刻畫實際問題．（1）獲得路程關于時間變化的函數(shù)解析式：（2）根據(jù)解析式畫出汽車行駛路程關于時間變化的圖象．例2（課本P103例4）．人口問題是當今世界各國普遍關注的問題．認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)．早在1798，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：其中表示經(jīng)過的時間，表示=0時的人口數(shù)，表示人口的年平均增長率．下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人）1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達到13億？探索：本例中所涉及的數(shù)量有哪些？描述所涉及數(shù)量之間關系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型需要幾個因素？根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型？對于所確定的函數(shù)模型怎樣進行檢驗，根據(jù)檢驗結(jié)果對函數(shù)模型又應作出如何評價？如何根據(jù)所確定函數(shù)模型具體預測我國某個時期的人口數(shù)，實質(zhì)是何種計算方法？本例中，數(shù)學模型是指數(shù)型函數(shù)模型，它由與兩個參數(shù)決定，而與的值不難得到．本題意在讓學生驗證問題中的數(shù)據(jù)與所提供的數(shù)學模型是否吻合，并用數(shù)學模型解釋實際問題，并利用模型進行預測，這也是此題的難點．借助計算器做出函數(shù)圖象，比較與實際的吻合度．課堂練習（課本P104練習NO：1；2）例3：某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)＝.其中x是儀器的月產(chǎn)量．(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤)分析由題目可獲取以下主要信息：①總成本＝固定成本＋100x；②收益函數(shù)為一分段函數(shù)．解答本題可由已知總收益＝總成本＋利潤，總利潤＝總收益－總成本．由于R(x)為分段函數(shù)，所以f(x)也要分段求出，將問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求最值問題．解(1)設每月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000＋100x，從而f(x)＝.(2)當0≤x≤400時，，∴當x＝300時，有最大值25000；當x>400時，f(x)＝60000－100x是減函數(shù)，f(x)<60000－100×400<25000.∴當x＝300時，f(x)的最大值為25000.∴每月生產(chǎn)300臺儀器時，利潤最大，最大利潤為25000元．點評在函數(shù)應用題中，已知的等量關系是解題的依據(jù)，像此題中的利潤＝總收益－總成本，又如“銷售額＝銷售價格×銷售數(shù)量”等．像幾何中的面積、體積公式，物理學中的一些公式等，也常用來構造函數(shù)關系．三、課堂小結(jié)，鞏固反思：四、布置作業(yè)：A組：1.一個高為H，盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖所示，現(xiàn)以均勻速度往水瓶中灌水，直到灌滿為止，如果水深h時水的體積為V，則函數(shù)V=f(h)的圖象大致是()答案D解析考察相同的Δh內(nèi)ΔV的大小比較．2用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過1%，則至少要洗的次數(shù)是()A．3B．4C．5D．6答案B解析設至少要洗x次，則，∴x≥≈，因此至少要洗4次．3（課本P107習題A組NO：2）4（課本P107習題A組NO：3）5（課本P107習題A組NO：4）（只列出總造價的表達式，并化簡即可）6燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)計算：燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？分析由題目可獲取以下主要信息：①已知飛行速度是耗氧量的函數(shù)；②第(1)問知v，求Q；第(2)問知Q，求v.解答本題的關鍵是給變量賦值．解(1)由題知，當燕子靜止時，它的速度v＝0，代入題給公式可得：，解得Q＝10.即燕子靜止時的耗氧量是10個單位．(2)將耗氧量Q＝