以極坐標(biāo)幅角問題窺視科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性

火星村致地球村的(做客門理系)地球村各國(guó)科技界教育界傳媒界并打假界的五湖四海朋友們們好!們辛苦了淡泊名淡泊利地客廈學(xué)系星移斗轉(zhuǎn)，就地一我火也進(jìn)入了“非線性科學(xué)新時(shí)代”。在我們火星村流傳著一個(gè)家喻戶曉題，那就是“一切滿足存在性和唯一性的線性科學(xué)定解問題都一致地是解析顯式可以解答的”。也許地球村人不相信，并也許稱之為“廣土皇宀火玉猜想”。然而，本著善意違背火星村禁令，告訴地球村人：該命題的確是真命題！因?yàn)橐苍S稱之為“廣土皇宀火玉猜想”題有四個(gè)前提：線性，定解問題，存在性，唯一性；所以必然有命題的結(jié)論?！熬€性科學(xué)舊時(shí)代”顯式解答法去，理論上沒有任何歷史遺留問題的道理。然而地球村卻不但沒有把舊時(shí)代的上述幾類基本問題全部納入高等教育的教科般性變系數(shù)齊次二階常微分方程定解問題沒有解析解答”的（僅僅才二階??！僅僅齊必須，火星村人關(guān)于“解析解答”的概念是：一個(gè)滿足存在性和唯一性條件的線性科學(xué)定解問題的答案滿足“方程或方程組的左邊項(xiàng)只有未知函數(shù)標(biāo)量或未知函數(shù)矢量或未知函數(shù)張量，而方程或方程組的右邊項(xiàng)是與未知函數(shù)無關(guān)的依賴于系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)初始條件或邊界條件的花樣理論聯(lián)系實(shí)際的已知量表達(dá)?！标P(guān)于這個(gè)“解析解答”概念的認(rèn)知，也許我們火星村人跟地球村人不同，所以才長(zhǎng)期導(dǎo)致不相信“也許稱之為廣土皇宀火玉猜想”的那個(gè)命題的確是真命題??！火星村人唯物論辯證法，相信在“科學(xué)發(fā)展觀”偉大辯證法思想光芒的照耀下，地球村遲早會(huì)解決上述舊時(shí)代的歷史遺留問題的。火星村人擔(dān)心地球村人跟我們?cè)谔疹I(lǐng)。“人人更想當(dāng)”和氫彈已經(jīng)太可怕了；如果知道“也許稱之為廣土皇宀。１的“氫原子和氦原子的解析求的水平上），沒辦法揭開“任意多體問題”就沒辦法給出“任意多體問題的系統(tǒng)特征值公式”，沒辦法揭開“任意多體問題的特征值公式”就沒辦法給出“超級(jí)解析組合理論”，沒有這一“超級(jí)解析組合理論”就沒辦法給出提供給計(jì)算機(jī)的算法，沒有提供算法計(jì)算機(jī)就不可能輸出所期盼的數(shù)據(jù)，沒有“計(jì)算機(jī)的輸出數(shù)據(jù)”就不可能擬合出經(jīng)驗(yàn)公式，沒有擬合出經(jīng)驗(yàn)公式就不可能知道最優(yōu)化的組合是什么，不知道最優(yōu)化的排列組合理論就不可能付之于工程實(shí)驗(yàn)，沒有工程實(shí)驗(yàn)就不可能設(shè)計(jì)出“超級(jí)核彈”，沒有“超級(jí)”的發(fā)明那個(gè)橫行霸道的“山姆大叔”就不乖就不守規(guī)矩，“山姆大叔”不乖不守規(guī)矩，地球村就更加不安寧。然而另一方面，如果火星村人告訴地球村人“也許稱之為廣土皇宀火玉猜想”的必須特別，地球村里有個(gè)荒唐的故事！火星村人查遍太多的文獻(xiàn)資料后，發(fā)現(xiàn)整個(gè)地球村的科學(xué)或教學(xué)文獻(xiàn)上，就連最最基本的“二的直角坐標(biāo)(x,y)和極坐 的反變換關(guān)系”都弄得亂七八糟的故事。其實(shí)，地球村人和火星村人的智商在同一個(gè)景潤(rùn)星”的生前就是村人，比如火星村人更加贊賞村里那個(gè)“淡泊名淡泊利的偉大的數(shù)學(xué)家佩雷爾曼的故事”。為了向佩雷爾曼先生深表敬意，在這個(gè)極坐標(biāo)反變換關(guān)系的rcosxrsiny”可以效仿佩雷爾曼先生“無償?shù)厮徒o地球村人完整的嚴(yán)格答就如同這個(gè)偉大的民族踐行實(shí)事求是的唯物辯證法理念，曾經(jīng)地修正的大“探索真理，面對(duì)問題；止于，解決問題”是２征，所以局部的邏輯謬論會(huì)演化或出新的謬論。比如說若藐視無理數(shù)和有理數(shù)之間2 2咱們兩村人都是凡人。孰能無過？知過改之也！火星村人地拭目以待！希望科學(xué)長(zhǎng)足進(jìn)步，不遠(yuǎn)的將來咱們倆村人一村親！祝地球村科技界教育界傳媒界打假界全體同仁身體健康，一切順利 做客于廈門大學(xué)物理系客棧：客棧郵箱：３地球村極坐標(biāo)幅角反變換的瑕疵r002的第一種主值分支”極坐標(biāo)或r0的第二種主值分支”極坐標(biāo)之間兩種映射都滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。一方面若給定任何一種主值分支極坐標(biāo)(r,，則有正變換表達(dá)式xr yrsinx2yx2x2yx2yr1 或r2 0202(x, ，對(duì)于第一種或第二種主值分支極坐標(biāo)，這里的幅角反變換01或02 地球村里“不具有完備性特征”的極坐標(biāo)幅角反變換表達(dá)形式rr x2y arctan”輯關(guān)系是普遍聯(lián)系的，所以這種幅角反變換表達(dá)形式（這里，有的地方寫成tan1yx）接近謬論，誤 地球村里“不具有唯一性特征”的極坐標(biāo)幅角反變換表達(dá)形式rr x2y tan由于tan(tan；該表達(dá)讓人難以在第一象限和第三象限準(zhǔn)確選擇，也難以在地球村里“不具有顯函數(shù)特征”的極坐標(biāo)幅角反變換表達(dá)形式rr x2 cosx2 sinx2４坐標(biāo)(x,y)的極坐標(biāo)幅角的解析表達(dá)式，因此不具有顯函數(shù)特征。r xr x2y tan（其中幅角由直角坐標(biāo)(x,y所處象限給定唯一依賴于直角坐標(biāo)(x,y)的因此也不具有解析式準(zhǔn)確表達(dá)特幾個(gè)概念眾所周知：當(dāng)xy xy0時(shí)，二維平面上的原點(diǎn)極坐標(biāo)(0,)的幅沒有意義（不具唯一性。于是，不失一般性，考慮非原點(diǎn)坐標(biāo)情形第一種主值分支情形第一種第 分支，第一種主值分支；第一種正向分支和反向分當(dāng)xy0時(shí)，若規(guī)定幅 的第一種第 分支范0k0k22k2 (k(xy和第一種第k分支極坐標(biāo)(r,)k之間顯然是一一對(duì)應(yīng)的，表達(dá)為(x,y)(r,)k。特別地，當(dāng)k0時(shí)的分支稱為第一種主值分支。當(dāng)r0時(shí)，稱為第一種主值正向分支；當(dāng)r0時(shí)，稱為第一種主值反向分支。由于(r,)(r,)；于是，不失一般性研究第一種主值正向分支，然后將解答這里，第一種第k分支幅角和第一種主值分支幅角之間相k2 角坐標(biāo)和第一種主值正向分支極坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。第一種可去間斷線；第一種分支切換間斷線定義x0;y0和x0;y0以及y0x0的三條半坐標(biāo)軸線稱為“５第二種主值分支情形第二種第 分支，第二種主值分支；第二種正向分支和反向分

xy0時(shí)，若規(guī)定幅 的第二種第k分支范 (kk2k2，則k，二維平面的直角坐標(biāo)(xy (kk2k2值分支幅角之間相差k2 當(dāng)r0時(shí)，稱為第二種主值正向分支；當(dāng)r0時(shí)，稱為第二種主值反向分支。由于(r,)(r,)；于是，不失一般性研究第二種主值正向分支，然后將解答k分支幅角和幅角之間相差k2 直角坐標(biāo)和第二種主值正向分支極坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。第二種可去間斷線；第二種分支切換間斷線定義x0;y0和x0;y0以及y0;x0的三條半坐標(biāo)軸線稱為“利于問題解決的四條基本引理1xRyR，xy0arctanyy 0x2yx2y證明：1)x0,y0時(shí)；與直角三角形的勾股定理（兩條直角邊x和y x2x2

0,y0６引理1演變?yōu)閍rctan0arcsin0arccos 0/2也顯然成立。3)x0

y0時(shí)，引理1演變?yōu)閍rctanarcsin1arccos 0/又顯然成立（x0x0皆成立的所謂可去間斷點(diǎn)認(rèn)知的1xy02xRyR，xy0x2y(1x)x2x2y證明：1)

0,

xx2yx2y 2顯然成立。2)xx2yx2y2演變?yōu)閍rccos1(1x2

xarccosxx0x03)x0,y0時(shí)，引理2演變?yōu)閍rccos00arccos0x0,y02演變?yōu)閍rccos0arccos0，顯然成立。這里，x0,ya(x,y)1(1x)(1y a(x,y)1(1x)(1ya(x,y)1(1x)(1a(x,y)1(1x)(1y a(x,y)1(1x)(1ya(x,y)1(1x)(1y a(x,y)1(1x)(1ya1xya2xya3xya4xy分別稱為非坐標(biāo)軸點(diǎn)第一象限判別函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)非坐標(biāo)軸點(diǎn)直角坐標(biāo)(xya1(xy1a1(xy0當(dāng)且僅當(dāng)非坐標(biāo)軸點(diǎn)直角坐標(biāo)(xya2(xy)1a2(xy)0７當(dāng)且僅當(dāng)非坐標(biāo)軸點(diǎn)直角坐標(biāo)(xya3(xy1a3(xy0當(dāng)且僅當(dāng)非坐標(biāo)軸點(diǎn)直角坐標(biāo)(xya4(xy)1a4(xy)0證明：a1(xya2(xya3(xy),a4(xy)的定義，甚容易通過直接驗(yàn)證，引理3的性質(zhì)顯然成立。4.1xRyR，x

y0，若(r,01為極坐標(biāo)反變換問題的一種主值正向分支的解答，此意即假設(shè)rcos01 rsin01則有第一種主值第k正向（n0）分支或反向（n1）分(r(nn表達(dá)rr(n)(1)n 11n2k2(n0,1 k證明：

(n ( 1r1

(1)rcos[ k22

1rcos[01 ]r2r(n)sin(n)(1)nrsin[1(1)nk2 (1)nr

1(1)n]rsin2)

xr(n)sin

y；從而(r(n(n 足極坐標(biāo)方程，于是引理4.1成立。證明完畢。同理可以證明如下引理4.2引理4.2：xR,yR，假設(shè)xy0，若(r,02)為極坐標(biāo)反變換問題的第一種主值正向分支的解答，此意即假 rcos02;rsin02則有第二種主值第k正向（n0）分支或反向（n1）分支的(r(nn表達(dá)k８rr(n)(1)n 2k1n2k2(n0,1 k兩種主值問題解答定理第一種主值問題的幅角解答（定理非原點(diǎn)極坐標(biāo)幅角反變換第一種主值問題0012)xRyR，xy0，

tan01tan01xx2,x2y0101(x,y)問題：在第一種主值范圍內(nèi)0101(x,y)（要求1：給出準(zhǔn)確落入機(jī)會(huì)均等的四個(gè)象限的一般性解答表達(dá)形式。要求2：特別丟掉半邊天，第二和第三象限。要求3：特別禁止以文字的形式輔助說明01） 1：xRyR，xy0，則對(duì)于第一種主值分支極坐標(biāo)(r,)0的幅角反變換0101(x,y (x,y) y2xy2xy其中，由1的三種全等的表達(dá)形式的任意一種證明：對(duì)于極坐標(biāo)幅角第一種主值反變換問題，一方面對(duì)于二維平面上的非坐角坐標(biāo)(x,y)

x0

y0茲按照非坐標(biāo)軸點(diǎn)象限位置數(shù)a1(xya2(xya3(xya4(xy的性質(zhì)0101(x,y)a1(x,y)a2(x,y)()a3(x,y)()a4(x,y)(2a1(xy給出第一象限情形，a2(x,y)給出第二象限情形，９ (x,y)1(1x)(1y) (x,y)1(1x)(1y)1(1x)(1y)()4x41(1x)(1y)()1(1x)(1y)(2 yxyxyxy合并同類項(xiàng)整理之，甚容易等價(jià)地得到1。其中，由1另一方面，對(duì)于二維平面上的坐標(biāo)軸點(diǎn)直角坐標(biāo) y)情形，可以直接驗(yàn)證1）當(dāng)(xyxx0y01有0，容易驗(yàn)證定1成立（y0y01都成立；這里，y0是定理1的可去間斷點(diǎn)。2）當(dāng)(xyxx0y01有0，容易驗(yàn)證定1成立（y0y01都成立；這里，y0是定理1的可去間斷點(diǎn)。3）當(dāng)(xyyx0y01有2，容易驗(yàn)證1成立（x0x01都成立；這里，x01的可去間斷點(diǎn)4）當(dāng)(xyyx0y01有2，容易驗(yàn)證1成立（x0x01都成立；這里，x01的可去間斷點(diǎn)。第二種主值問題的幅角解答（定理非原點(diǎn)極坐標(biāo)幅角反變換第二種主值問題02)xRyR，xy0，

tan02tan02xx2y,x2y0202(x,y)問題：在第二種主值0202(x,y)（要求1：給出準(zhǔn)確落入機(jī)會(huì)均等的四個(gè)象限的一般性解答表達(dá)形式。要求2：特別丟掉半邊天，第二和第三象限。要求3：特以文字的形式輔助說明 所處象限的位置 2：xRyR，xy0，則對(duì)于第二種主值分支極坐標(biāo)(r,)0的幅角反變換0202(x,y)問題，有 (x,y)(1 ) xy2xy其中，由1的三種全等的表達(dá)形式的任意一種給出證明：對(duì)于極坐標(biāo)幅角第二種主值反變換問題，一方面對(duì)于二維平面上的非坐標(biāo)軸點(diǎn)角坐標(biāo)(x,y)

x0

y0，茲按照非坐標(biāo)軸點(diǎn)象限位置判別函數(shù)a1(xya2(xya3(xya4(xy)的性質(zhì)0202(x,y)a1(x,y)a2(x,y)()a3(x,y)()a4(x,y)a1(xy給出第一象限情形，a2xy)給出第二象限情形，函數(shù)的定義等價(jià)地表達(dá)為

(x,y)1(14

x)(1y)1(1yx4yx

x)(1y)(yx1(1x)(1y)()1(1yx

x)(1y)

合并同類項(xiàng)整理之，甚容易等價(jià)地得到2。其中，由1另一方面，對(duì)于二維平面上的坐標(biāo)軸點(diǎn)直角坐標(biāo) y)情形，可以直接驗(yàn)證當(dāng)(xyxx0y01有0，容易驗(yàn)證定2成立（y0y02都成立；這里，y0是定理2的可去間斷點(diǎn)。2）當(dāng)(xyxx0y01有0，容易驗(yàn)證定2成立（y0y02都成立；這里，y0是定理2的可去間斷點(diǎn)。3）當(dāng)(xyyx0y01有2，容易驗(yàn)證2成立（x0x02都成立；這里，x02的可去間斷點(diǎn)4）當(dāng)(xyyx0y01有22成立（x0x02都成立；這里，x02的可去間斷點(diǎn)。定理1的三款表述及其全等性第一種主值問題解答的反正切表述推 1：對(duì)于非原點(diǎn)極坐標(biāo)幅角第一種主值反變換問題，有反正切第一種準(zhǔn)確表 (x,y)(1x)yarctan xarctanxy x y x y xy 2xy;,x x y yx xyyx yxyx 01(x,y)yxy

xy

由于arctanz

(x,y)yxyarctan(xy yx yx

y

(x,y)(1x)yarctan 第一種主值問題解答的反正弦表述推 2：對(duì)于非原點(diǎn)極坐標(biāo)幅角第一種主值反變換問題，有反正弦第一種準(zhǔn)確表 (x,y)(1x)yx x2yx2y x y xyx2yx2y xy2x2y x yx2 xx2

(x,y)yxyxyyx2yyx2y

xyyx2xyyx2y

(x,y)yxy

xarcsin(y

(x,y)y

xy

x

y

x2x2y第一種主值問題解答的反余弦表述推 3：對(duì)于非原點(diǎn)極坐標(biāo)幅角第一種主值反變換問題，有反余弦第一種準(zhǔn)確表 (x,y)(1y)y x2yx2y x yxyx2y2arccos x2y x y2x2yxyx2x2

(x,y)y

xy

xyy yxyxxyx

yxx2yyxx2y

(x,y)yxy

xy[

x

x

x xxx2yyx2y01(x,y)(1y)yx2y角角反變換 (x,y) ) (1 ) (x,()x y的1,y2和推3的三種表x y 滿足 x2y)(1 ) yx2yyy第一種主值問題推論1～3的全等性3：xRyR，xy0，對(duì)于第一種主值分支極坐標(biāo)(r,)0 / 01(x, /3/ x x x x y y y y ;x,y ;x,y ;x,y ;x,y x y證明：茲在可去間斷點(diǎn)的意義下證明全等性關(guān)系成立。x)yarctany(1x)y

x xxyxx21） xxyxx2x等價(jià)地表達(dá)為arctanyxx

x x2x2y

x，等價(jià)地表達(dá)為xarctany x xx2x2yx 并注意到arctanz和arcsinz為奇函數(shù)，等價(jià)地表達(dá)yxyx

yx2y茲yx2y2）(1x)yx )(1y)yarccos x2yx2y x2yx2y等價(jià)地表達(dá)為(1x)yx )yy xx2yyyxxx2yyyx2yyy，并注意到arcsinzyx2yxyx2y

xx2y xx2y

x

x

x2yxx2yxx2x2y另外，容易驗(yàn)證三種表達(dá)具有定理中的共同定理2的三款表述及其全等性第二種主值問題解答的反正切表述推 4：對(duì)于非原點(diǎn)極坐標(biāo)幅角第二種主值反變換問題，有反正切第二種準(zhǔn)確表 (x,y)(1x)yarctan xarctanxy x y x y xyx x y xyx y yx xyyx

(x,y)(1x)yxyyx yx

x x由于arctanz

(x,y)(1x)yarctan(xy yx yx

x x

(x,y)(1x)yarctan 第二種主值問題解答的反正弦表述推 5：對(duì)于非原點(diǎn)極坐標(biāo)幅角第二種主值反變換問題，有反正弦第二種準(zhǔn)確表020202(x,y)(1 ) x y xx2yx2y x y xyx2yarcsin x2y x yx2y x yyx2證明：茲由定理2和引理1，取 xyyx2

(x,y)(1x)yxy yyx2yyx2y

x x yx2yx2yxyxy

(x,y)(1x)yxy2xy

xarcsin(y 02(x,y)(1x)y

x x x

x2x2y第二種主值問題解答的反余弦表述推 6：對(duì)于非原點(diǎn)極坐標(biāo)幅角第二種主值反變換問題，有反余弦第二種準(zhǔn)確表xx2 xyxx2

(x,y)(1x)yyxyxx2yxx2y茲由引理2

x x x x xxxx2y

y

x (x,y)(1 )

(

x2y x y (x,y)yx2y xyx2y arccos x2y xyx2y x y

02(x,y)y y xyx2y第二種主值問題推論4~6的全等性4：xRyR，x

y0，對(duì)于第二種主值分支極坐標(biāo)(r,)0 (x,y)(1x)y (x,y)(1x)yarctany(1x)yxx2yyx2y // (x,y)/ x x x x y y y y (x, x0,,, xy0xy0xy0,y證明：茲在可去間斷點(diǎn)的意義下證明全等性關(guān)系成立。y1）(1x)yarctany(1x)yy

x xxx2y xxx2y等價(jià)地表達(dá)為arctany

x ；兩邊同乘以x 并注意到arctanzxyx2yxyx2yyxyx xx2yyx)yx y xx2yyxx2yyx2y

x2yyx2x2yyx2yxx(1x)xx2

x

xxx2y茲由引理1，xxx2y

(1x)x2x

x xx2y另外，容易驗(yàn)證三種表達(dá)具有定理中的共同至此，容易得到rcosxrsiny”問題的一切解的極坐標(biāo)反變換不定方程問題通解第一種極坐標(biāo)反變換定理（廣土皇宀火玉xRyRxy0，對(duì)于k正向或反向分支rcos rsinrcos rsin (1)nx 122k ) y y(n0,1 ky /1(1)n22k3//;;(x0(x (x (x y y y y(n0,1 k

11(1)n22k (x y0 (x y0 (x y0(n0,1; 0 (x y0第一種第k分支反向解。第0分支（k0）特別稱為主值分支。定理有機(jī)部分注釋1.2：式（*1b）和（*1c）x0;y0x0;y0的半坐標(biāo)軸線為“第一種分支切換間斷線”。這里，原點(diǎn)也特別稱為支點(diǎn)。x0;y0x0x0極限y0x0時(shí)，定理結(jié)論也y0y0極限結(jié)果y0x0時(shí)，定理結(jié)論是基于y0y0極限結(jié)果關(guān)于“分支切換間斷點(diǎn)”認(rèn)知的。第二種極坐標(biāo)反變換定理（廣土皇宀火玉xRyRxy0，對(duì)于k正向或反向分支rcos rsinrcos rsin (1)nx k122k ) yxyx2(n0,1 kyx /k1(1)n22k// (x (x (x (x y y y y(n0,1 k

kk1(1)n22k (x y0 (x0,y0) y0 (x y0(n0,1