第八節(jié)二次曲面

第八節(jié)一、橢球面二、拋物面

三、雙曲面二次曲面第八章二次曲面空間直角坐標系中的空間曲面用方程F(x,y,z)=0表示.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些項為零)的，則表示的曲面為平面，也稱平面為一次曲面.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是二次(或某些項為一次、零次)的，即方程F(x,y,z)=0為三元二次方程，則表示的曲面稱為二次曲面.即：三元一次方程A

x+By+Cz+D=0

所表示的平面被稱為一次曲面．其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面了解空間曲面形狀的兩種常用方法：（1）截痕法用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．（2）伸縮變形法：

將空間曲面C

：F(x,y,z)=0沿y

軸方向伸縮倍而得到空間曲面C′，則C′的方程為：平面圖形的伸縮變形法圖形C′由圖形C

沿y

軸方向伸縮倍而得到。問題1：如何確定C′的方程？結(jié)論1：將平面曲線

C

：F(x,y)=0沿y

軸方向伸縮倍而得到平面曲線

C′的平面方程為：結(jié)論1：將平面曲線C

：F(x,y)=0沿y

軸方向伸縮倍而得到平面曲線C′的平面方程為：結(jié)論2：將平面曲線C

：F(x,y)=0沿x

軸方向伸縮倍而得到平面曲線C′的平面方程為：結(jié)論3：將空間曲面C

：F(x,y,z)=0沿y

軸方向伸縮倍而得到空間曲面C′的方程為：下面用上述兩種方法研究一些特殊二次曲面的形狀(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓1.橢球面與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))橢球面的伸縮法：（1）將xoy面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面，其方程為（2）再將其沿z

軸方向伸縮倍：即得橢球面也可由下面方法伸縮變形而來（1）將球面得旋轉(zhuǎn)橢球面：即得橢球面：所以，球面是旋轉(zhuǎn)橢球面的特殊情形，而后者又是橢球面的特殊情形。沿z

軸方向伸縮倍：（2）再將旋轉(zhuǎn)橢球面沿

y

軸方向伸縮倍：橢球面的畫法：xyzOabc1．選擇坐標系；2．畫坐標面與曲面的交線；3．畫出輪廓線．橢球面的畫法：xyzOabc1．選擇坐標系；2．畫坐標面與曲面的交線；3．畫出輪廓線．由xoz面上的拋物線：繞z軸旋轉(zhuǎn)，得一旋轉(zhuǎn)拋物面：再將其沿y軸方向伸縮倍：即得橢圓拋物面：2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)當(dāng)z=h>0時，截線是雙曲線當(dāng)z=h=0時，截線是xoy平面上的兩條相交于原點的直線;當(dāng)z=h<0時，截線是雙曲線，但實軸平行于x軸，虛軸平行于y軸.當(dāng)x=h=0時，截線是yOz平面上的頂點為原點的拋物線當(dāng)y=h=0時，截線是xOz平面上的頂點為原點的拋物線，且開口向下.把xOz面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面

.把此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮倍，即得單葉雙曲面.3.雙曲面(1)單葉雙曲面把xOz面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面.把此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮倍，即得雙葉雙曲面.(2)雙葉雙曲面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到)4.橢圓錐面5柱面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面母線平行于z

軸母線平行于z

軸母線平行于z

軸內(nèi)容小結(jié)1.

空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:2.二次曲面斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y