北師大版選擇性必修第一冊(cè)5-2排列問題學(xué)案

§2排列問題［筆記教材］新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀.通過實(shí)例，理解排列的概念，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式..理解排列數(shù)的概念，能利用排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的排列問題..理解排列的概念，能正確寫出一些簡(jiǎn)單問題的所有排列..理解排列數(shù)公式的推導(dǎo)并應(yīng)用..掌握排列數(shù)公式并會(huì)運(yùn)用..進(jìn)一步理解排列的概念，掌握一些有限制條件的排列問題的常用解決方法..能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.知識(shí)點(diǎn)一排列(1)一般地，從〃個(gè)元素中取出且m,〃￡N+)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫作從“個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.(2)排列相同的條件：兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素，且元素的也相同.答案：(1)不同不同(2)完全相同排列順序知識(shí)點(diǎn)二排列數(shù)與排列數(shù)公式答案：一1)(〃一2).….[n—(/??—1)](〃_⑼！，!'C.九A；匚彳=A；；D.—^A；；L1=N；n-m排列數(shù)定義從〃個(gè)不同元素中取出〃且加，〃￡N+)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫作從〃個(gè)不同元素中取出〃2個(gè)元素的排列數(shù)排列數(shù)表示法排列數(shù)公式乘積式M=階乘式A；?=性質(zhì)M=，0!=備注n,mWn答案：B解析：A中，右邊=（〃一2）（〃一1）〃=人?成立；C中左邊=〃X（〃一1）義（〃-2）義???義2=〃乂（及一1）><5—2）><???><2乂1=人；；成立；D中左邊=」一></（"1）\|=,〃=?=A；7成立;經(jīng)驗(yàn)證只有B不一n~m（n~m^1）!（n-m）!定正確..要從a,b,c,d,e5個(gè)人中選出1名組長(zhǎng)和1名副組長(zhǎng)，但。不能當(dāng)副組長(zhǎng)，則不同的選法種數(shù)是（）A.20B.16C.10D.6答案:B解析：不考慮限制條件有Ag種選法，若。當(dāng)副組長(zhǎng)，有A1種選法，故〃不當(dāng)副組長(zhǎng)，有Ag—Al=16（種）選法..由（）,1,2,…，9這十個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于8的有（）A.98個(gè)B.1（）5個(gè)C.112個(gè)D.21（）個(gè)答案：D解析：當(dāng)個(gè)位與百位數(shù)字為0,8時(shí)，有A&A3個(gè)；當(dāng)個(gè)位與百位數(shù)字為1,9時(shí),有AJAJA?個(gè).共A3a3+A}AJA3=21O（個(gè)）.4.化簡(jiǎn)：人〃器（加一鹿）！答案：1ARLLk?（"2—1）!解析：原式=：=1.（加一1）!；石一?（m―〃）?。右弧ǎ。壅`區(qū)警示］不能正確區(qū)分有順序與無(wú)順序問題［示例］為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞路燈全部改裝成彩色路燈.如果彩色路燈有紅、黃、藍(lán)共三種顏色，在安裝時(shí)要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，那么有兒種不同的安裝方法？［錯(cuò)解］從顏色考慮：從三種顏色中任選一種顏色，最多安裝3盞，最少安裝2盞.分類討論：不妨就選安裝兩盞紅燈、兩盞黃燈、三盞藍(lán)燈（這有3種選法）來討論.先排三盞藍(lán)燈，只有1種排法，然后插空，把兩盞紅燈插進(jìn)去，再把兩盞黃燈插進(jìn)去，有A3Ag=240（種）插空方式.所以共有240X3=720（種）不同的安裝方式.［錯(cuò)因分析］導(dǎo)致上述錯(cuò)解的原因如下：錯(cuò)解把同色的路燈看成了可以區(qū)分的元素，事實(shí)上，相同元素在排列中是不考慮其順序的.另外，不同的安裝方式的計(jì)算也有錯(cuò)誤.［正解］安裝時(shí)要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，這說明三種顏色的路燈的分配情況只能是2盞，2盞，3盞的形式.先討論顏色，在選擇顏色時(shí)有3種方法，選好了一種顏色后，安裝時(shí)采用插空的方式.下面不妨就選安裝兩盞紅燈、兩盞黃燈、三盞藍(lán)燈來討論.先排兩盞紅燈、兩盞黃燈，若兩盞紅燈、兩盞黃燈分別兩兩相鄰，有2種排法，則藍(lán)燈有3種排法，共6種不同的安裝方法；若兩盞紅燈、兩盞黃燈分別兩兩不相鄰，有2種排法，再把藍(lán)燈安排進(jìn)去，有10種安裝方法，所以有20種不同的安裝方法；若兩盞紅燈、兩盞黃燈恰有一種顏色相鄰，有2種排法，則藍(lán)燈有6種排法，所以有12種不同的安裝方法.綜上，共有3X（6+20+12）=114（種）不同的安裝方法.［題后總結(jié)］分析題設(shè)中元素對(duì)象的特點(diǎn)，正確區(qū)分有無(wú)順序.知識(shí)點(diǎn)三解決排列問題的常用方法(1)應(yīng)用排列知識(shí)解決實(shí)際問題的步驟解無(wú)限制條件的排列應(yīng)用題，首先必須認(rèn)真分析題意，看能否把問題歸結(jié)為排列問題，即是否有順序.如果是的話，再進(jìn)一步分析，這里〃個(gè)不同的元素指的是什么，以及從〃個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素的每一種排列對(duì)應(yīng)的是什么事情，然后才能運(yùn)用排列數(shù)公式求解.(2)處理比較復(fù)雜的排列應(yīng)用題的常用方法有直接法、間接法、位置分析法、對(duì)象(元素)分析法、插空法、捆綁法等.［重點(diǎn)理解］1.排列定義的理解(1)如無(wú)特別說明，取出的m個(gè)元素都是不重復(fù)的.(2)排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”.(3)由定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列.元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一個(gè)排列.(4)在定義中“一定順序”就是說與順序有關(guān)，在實(shí)際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定.2.排列數(shù)公式及其應(yīng)用的理解〃！(1)排列數(shù)公式:A第=〃(〃_1)(〃-2)???［九一(加_］)］=(〃_m”，其中〃〃￡N+,mWn.(2)注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同.“一個(gè)排列”是指從〃個(gè)不同元素中，任取皿〃個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個(gè)不同元素中，任取〃個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù).符號(hào)A片只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.(3)公式A第二〃?(〃-1>(〃-2)1)適用于具體計(jì)算以及解當(dāng)較小時(shí)的含有排列數(shù)的方程和不等式，在運(yùn)用該公式時(shí)要注意它的特點(diǎn).>7I(4)公式A；，=,「、適用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式.在具體運(yùn)用時(shí)，應(yīng)注意有公因式的先提取公因式，再計(jì)算.(5)常用性質(zhì):①5+1)!=(〃+1)?〃！=(〃+1)?〃?(〃一1)!.②〃為；=(〃+1)!~n\.AI，=〃A；燈.All?=〃2AM+A化］.［自我排查］.判斷正誤.(正確的打“，錯(cuò)誤的打“”)(1)123與3,2,1為同一排列.()(2)一般情況下，在一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn).(J)(3)從1,2,3,4中任選兩個(gè)元素，就組成一個(gè)排列.()(4)用處A,c構(gòu)成的所有不同排列的個(gè)數(shù)為3.().乘積5X6X7X…X20等于()A.AMB.A明C.A兌D.A胡答案：B.下列問題屬于排列問題的是()①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個(gè)人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)小組；④從數(shù)字567,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作哥運(yùn)算.A.①④B.①②C.④D.①③④答案：A.集合P={4r=A%,〃PN+且機(jī)W4},則集合P中共有個(gè)元素.答案：3研習(xí)1排列數(shù)公式的應(yīng)用A9—a5［典例1］(1)計(jì)算：%”=()A.12B.24C.30D.36(2)已知AQ—AN=10,則〃的值為.⑶滿足不等式12的〃的最小值為.⑴［答案］DA［-A17X6X5X4X3X2—6X5X4X352［解析］-a［=5X4X3X2=6=36.(2)［答案］5［解析］由AN+i—AN=10,得(〃+1)/一■(〃-1)=10,解得〃=5.(3)［答案］10［解析］由排列數(shù)公式得，;?；>12,即(〃一5)(〃-6)>12,解得〃>9或“V2.又〃27,所以〃>9,且〃￡N+,所以〃mm=10.［巧歸納］排列數(shù)兩個(gè)公式的選取技巧(1)排列數(shù)的第一個(gè)公式=n(n—1)(n—2)?…?［〃一(［〃-1)］適用于m已知的排列數(shù)的計(jì)算以及排列數(shù)的方程和不等式.在運(yùn)用時(shí)要注意它的特點(diǎn)，從〃起連續(xù)寫出〃2個(gè)數(shù)的乘積即可.nt(2)排列數(shù)的第二個(gè)公式A；?=(lM!用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，應(yīng)注意先提取公因式再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件”〃，機(jī)《N+,加W〃”的運(yùn)用.［練習(xí)1］⑴計(jì)算A%(2)解方程3A4=4AC解：(1)A%=12X11X10=1320.3X8?4X91(2)由3A4=4A夕I得__=門._「，化簡(jiǎn)得/—19元+78=0,解得X1=6,X2=13.又因?yàn)閤W8,且X—1W9,所以原方程的解是x=6.研習(xí)2無(wú)限制條件的排列問題［典例2］（1）由數(shù)字123,4可組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)；（2）某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，則一共可以表示種不同的信號(hào).⑴答案：64［解析］第一類：組成一位數(shù)有Al=4（個(gè)）；第二類：組成二位數(shù)有Al=12（個(gè)）：第三類：組成三位數(shù)有Ai=24（個(gè)）：第四類：組成四位數(shù)有Aj=24個(gè).根據(jù)加法原理，一共可以組成4+12+24+24=64（個(gè)）正整數(shù).（2）答案：15［解析］分三類完成：第1類，掛1面旗，可以表示A4種不同的信號(hào)；第2類，掛2面旗，可以表示A3種不同的信號(hào)；第3類，掛3面旗，可以表示A?種不同的信號(hào).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可以表示的信號(hào)共有A!+A3+A?=3+3X2+3X2X1=15（種）.［巧歸納］1,判斷一個(gè)問題是否是排列問題的思路：排列的根本特征是每一個(gè)排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且與元素的排列順序有關(guān).這就是說，在判斷一個(gè)問題是否是排列問題時(shí)，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個(gè)，若結(jié)果變化，則是排列問題，否則不是排列問題.2.對(duì)無(wú)限制條件的排列問題：（1）靈活確定“元素”和“位置”，可把數(shù)目大的對(duì)象作為元素；（2）任一元素排在任何一個(gè)位置的可能性都相等；（3）若解決問題時(shí)需要分類或分步，則要結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.［練習(xí)2］（2022湖南湘南三校聯(lián)盟聯(lián)考）從4男3女7名志愿者中，選1女2男分別到A,B,C地執(zhí)行任務(wù)，則不同的選派方法有（）A.36種B.108種C.210種D.72種答案：B解析：選1女派往某地有A&A4種方法，選2男派往另外兩地有A3種方法，則不同的選派方法共有AkA，?Aa=108（種）.研習(xí)3“元素分析法”與“位置分析法”［典例3］⑴要排出某班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語(yǔ)課不排在第6節(jié)，則不同的排法種數(shù)為種（用數(shù)字作答）；（2）3名男生，4名女生站成一排，甲不在最左端、乙不在最右端的排法有種.（1）［答案］288［解析］先排數(shù)學(xué)有AI種；再排英語(yǔ)有AJ種；余下的四門課作全排列，得A3AIA才=288.（2）［答案］3720［解析］方法一（元素分析法）：按甲是否在最右端分兩類：第一類：甲在最右端，有Ag種方法；第二類：甲不在最右端，甲有Ag個(gè)位置可選，乙也有Ag個(gè)位置可選，其余5人有Ag種排法，即A&AgA?種方法.故有Ag+AgAgA?=3720（種）方法.方法二（間接法）：無(wú)限制條件的排列方法共有A彳種，而甲在最左端或乙在最右端的排法分別有AR種，甲在最左端且乙在最右端的排法有A?種.故有A彳-2AR+A?=3720（種）方法.方法三（位置分析法）：按最左端優(yōu)先安排分步.對(duì)于最左端除甲外有A1種排法，余下六個(gè)位置全排列有AR種排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有AgA?種.故有人從2一人從鼻=3720（種）方法.［巧歸納］1.排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位置”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位置上或某個(gè)位置上不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置.2.當(dāng)題目中有兩個(gè)約束條件時(shí)，往往考慮一個(gè)約束條件的同時(shí),還需要考慮另一個(gè)約束條件，這就要進(jìn)行正確的分類，有時(shí)分的類較多，用直接法較麻煩，往往采用“間接法”.［練習(xí)3］某電影上映當(dāng)天，一對(duì)夫婦帶著他們的兩個(gè)小孩一起去觀看該影片，訂購(gòu)的4張電影票恰好在同一排且連在一起.為安全起見，影院要求每個(gè)小孩子要有家長(zhǎng)相鄰陪坐，則不同的坐法種數(shù)是()A.8B.12C.16D.20答案：C解析：四個(gè)元素全排列，再除去兩個(gè)家長(zhǎng)和兩個(gè)小孩同時(shí)相鄰的情況，故AN-A當(dāng)A?A8=16.故選6研習(xí)4“捆綁法”與“插空法”［典例4］3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù).(1)全體站成一排，男、女各站在一起；(2)全體站成一排，男生必須排在一起；(3)全體站成一排，男生不能排在一起；(4)全體站成一排，男、女生各不相鄰；(5)全體站成一排，甲、乙中間必須有2人.［解］(1)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，即把3名男生進(jìn)行全排列，有A1種排法，女生必須站在一起，即把4名女生進(jìn)行全排列，有A才種排法，全體男生、女生各看做一個(gè)元素全排列有A之種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有A3A?A3=288(種)方法.(2)［解］捆綁法：把所有男生看做一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列,故有A3Ag=72O(種)不同的排法.(3)［解］不相鄰問題(插空法)：先排女生有A才種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5個(gè)空中，有Ag種排法，故有A3A$=1440(種)不同的排法.(4)［解］對(duì)比(3),讓女生插空：有A執(zhí)￡=144(種)不同的排法.(5)［解］捆綁法：除甲、乙外，從其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之間，與甲、乙組成一個(gè)整體，再與余下的3個(gè)人進(jìn)行全排列，故有（Ag?A辦Aj=960（種）不同的排法.［巧歸納］1.在實(shí)際排列問題中，某些元素要求必須相鄰時(shí)，可以先將這些元素看成一個(gè)整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序，這種方法稱為“捆綁法”，即“相鄰元素捆綁法”.2.某些元素要求不相鄰時(shí)，可以先安排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空當(dāng)，這種方法稱為“插空法”，即“不相鄰元素插空法”.［練習(xí)4］（2022福建長(zhǎng)汀縣龍宇模擬）（多選題）若3男3女排成一排，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.共計(jì)有720種不同的排法B.男生甲排在兩端的共有120種排法C.男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為12（）種D.男女生相間排法總數(shù)為72種答案：BC解析：3男3女排成一排共計(jì)有Ag=720（種）；男生甲排在兩端的共有2Ag=240（種）;男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)A；Ag=240（種）；男女生相間排法總數(shù)為2A認(rèn)1=72（種）.故選BC研習(xí)5含定序元素或相同元素的排列［典例5］（I）7人站成一排，其中甲在乙前（不一定相鄰），乙在丙前，則不同的站法共有種.（2）在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序3和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，問實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（）A.34種B.48種C.96種D.144種⑴［答案］840［解析］方法一：先不考慮甲、乙、丙的順序，7人任意排列，共有A彳種站法.因?yàn)樵谏鲜雠帕兄校緼1種有且僅有一種恰好是符合甲、乙、丙按一定順序排列的，所以符合要求的排法共有左=840（