八年級數(shù)學上冊三角形的外角

11.2與三角形有關的角

11.2.2三角形的外角第十一章三角形ABCD三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．Z```xxk觀察

BCA1DACB1DACB1D外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角.三個特征:1.∠1的頂點在三角形的一個頂點上;

2.∠1的一條邊是三角形的一條邊;3.∠1的另一條邊是三角形的某條邊的延長線···畫圖并思考：畫一個△ABC，你能畫出它的所有外角來嗎？請動手試一試．同時想一想△ABC的外角共有幾個呢？歸納：

每一個三角形都有６個外角．每一個頂點相對應的外角都有２個．每個外角與相鄰的內角是鄰補角．124

三角形的外角與三角形的內角之間有怎樣的數(shù)量關系?外角A3BCD相鄰內角不相鄰內角思考1相鄰的內角：z```xxk不相鄰的兩內角：探究？三角形的外角與內角的關系：如圖△ABC中，則

∠ACB+∠ACD＝180°

ABCD？？

結論：

三角形的外角與它相鄰的內角互為鄰補角1、即三角形的外角與它相鄰內角的和為180°結論1、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。ACBD2、如圖,∠ACD是△ABC的一個外角,試說明∠ACD=∠B+∠A你能說出三角形的外角與每一個不相鄰的內角之間的關系嗎?Z```xxk∵∠ACD=∠B+∠A∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B結論2、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。探究？ABCD證明：△ABC中∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形內角和定理）∠ACB+∠ACD=180°（平角定義）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代換）證明外角定理：∠ACD=∠A+∠BD解：過C作CE平行于ABABC12∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A

（兩直線平行，內錯角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠BE三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和１、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。２、三角形的一個外角大于任何一個與他不相鄰的內角。三角形外角性質3、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。2、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；1、三角形的一個外角與它相鄰的內角互補；三角形的外角與內角的關系：

321ABC564思考

已知：如圖，∠1、∠2、∠3是△ABC的三個外角求證：∠1+∠2+∠3=360°結論：三角形的外角和等于360°通常把一個三角形每一個頂點處的一個外角的和叫做三角形的外角和。ABC123三角形的外角和360°∠1＋∠2

＋∠3

＝?從哪些途徑探究這個結果三角形的外角和

對于三角形的每個內角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的三個外角相加所得的和，叫做三角形的外角和。ABC123∠2＋∠ABC=180°∠3＋∠ACB=180°三個式子相加得到∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=540°而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°∠1＋∠2＋∠3＝360°∠1＋∠BAC=180°解：解：過A作AD平行于BC∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAD∴

∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAD=360°兩直線平行，同位角相等D∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAD判斷題：1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（）2、三角形的外角和等于它內角和的2倍。（）3、三角形的一個外角等于兩個內角的和。（）4、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。（）5、三角形的一個外角大于任何一個內角。（）6、三角形的一個內角小于任何一個與它不相鄰的外角。（）

160°110°練一練：1、求下列各圖中∠1的度數(shù)。50°

45°

1

35°

120°

1

160°55°練習：

求各圖中∠1的度數(shù)100

o60

o1

探究2如圖,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,求∠BPC的度數(shù)。

解：連接AP并延長到點E∵∠BPE＝∠B+∠BAP，∠CPE＝∠C+∠CAP又∵∠BPC＝∠BPE+∠CPE∴∠BPC＝∠B+∠BAP+∠C+∠CAP

＝∠BAC+∠B+∠C＝50°+40°+30°＝120°試比較∠1、∠A的大小關系？你能比較∠2、∠A的關系么？再試試看。2PABCD1練一練：2、把圖中∠1、∠2、∠3按從大到小的順序排列，并說明理由。解：∠1＞∠2＞∠3

321ABCDE

321ABCDE解：∵∠1是△BDE的外角，∠2是△ADC的外角∴∠1＞∠2,∠2＞∠3∴∠1＞∠2＞∠3例1.已知:如圖6-14,在△ABC中,∠1是它的一個外角,E為邊AC上一點,延長BC到D,連接DE.求證:∠1>∠2.證明:∵∠1是△ABC的一個外角(已知),∴∠1>∠3(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角).∵∠3是△CDE的一個外角(外角定義).∴∠3>∠2(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角).∴∠1>∠2(不等式的性質).CABF1345ED2

探究1如圖所示，在△ABC中，∠A＝a，△ABC的內角平分線或外角平分線交于點P，且∠P＝β，試探求下列各圖中a與β的關系，并選一個結論加以證明。解：①

②③

證明：（略）（1）（2）（3）如圖，△ABE和△ADC是△ABC

分別沿著AB、AC

邊翻折180°形成的.若∠1:∠2:∠3=28:5:3，則∠α的度數(shù)為

.鞏固練習a321DEABCZx.xk【練習1】如圖，AB∥CD，∠A=45°∠C=∠E，求∠C．學科網(wǎng)拓展延伸，靈活運用

答案：22.5°【練習2】如圖，CE是△ABC

的外角∠ACD的平分線，且CE

交BA

的延長線于點E.證明∠BAC>∠B

．拓展延伸，靈活運用EDCBA123BACPNMDEF挑戰(zhàn)一下！∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿＿＿。360°ABCDE(3)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)FG⌒∠B+∠D=∠EGF∠EGF+∠EFG+∠E

=180°∠A+∠C=∠EFG解：因為所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°⌒ABCDE(1)若∠C=30°,求∠A+∠B+∠D+∠E的值探究活動：ＡＢＣＤ如圖，∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝

。ＥＦＧ180°