不定方程及答案

2010年2月希望杯數(shù)學(xué)冬令營(yíng)上課材料初二不定方程一、賽點(diǎn)分析1、兩個(gè)變量的不定方程，其中為整數(shù)，且都不為0，則有以下性質(zhì)：（1）不定方程有整數(shù)解的充要條件是；（2）設(shè)不定方程有整數(shù)解，則所有整數(shù)解有：（為整數(shù)）。2、解不定方程（組）需要依據(jù)方程（組）的特點(diǎn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃危㈧`活運(yùn)用一下知識(shí)與方法：奇數(shù)偶數(shù)、整數(shù)的整除性、整系數(shù)分離法、因式分解、配方利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)、乘法公式、不等分析等。二、例題精講例1、求方程的整數(shù)解。解：設(shè)、是已知方程的整數(shù)解，由x,y之中較小的系數(shù)4去除各項(xiàng)得，把和中的整數(shù)分離出來(lái)，得，因?yàn)楹投际钦麛?shù)，則也是整數(shù)，設(shè)，為整數(shù)，則，把代入已知方程得。所以（為整數(shù)）是方程的整數(shù)解，并且當(dāng)取遍所有整數(shù)時(shí)，就得到方程的所有整數(shù)解。變式1、求方程的正整數(shù)解。解：通過(guò)觀察得方程的一個(gè)特解：，∴方程的通解是（為整數(shù)），∵、為正整數(shù)，∴，∴，∵為整數(shù)，∴，或，將它們分別代入通解，得原方程的正整數(shù)解為：，，。變式2：求方程的所有正整數(shù)解。，方程的特解是，∴解：方程的一個(gè)特解：∵、為正整數(shù)，∴∴（為整數(shù)），，或0，∴原方程的正整數(shù)解為，。例2、（2005年希望杯）小紀(jì)念冊(cè)每本5元，大紀(jì)念冊(cè)每本7元。小明買(mǎi)這兩種紀(jì)念冊(cè)共花了142元，問(wèn)兩種紀(jì)念冊(cè)最少共買(mǎi)了多少本解：設(shè)小明買(mǎi)了本小紀(jì)念冊(cè)，本大紀(jì)念冊(cè)，則有，再設(shè)，∴，∵是正整數(shù)，的值越大，的值越小，，∴依次取=20，19，18，17代入試算，都不是正整數(shù)。當(dāng)時(shí)，，所以?xún)煞N紀(jì)念冊(cè)最少共買(mǎi)了22本。變式1：小燕付出了元買(mǎi)了A、B兩種卡片，A卡片的單價(jià)是元，B卡片的單價(jià)是元。問(wèn)小燕共買(mǎi)了多少?gòu)埧ㄆ猓涸O(shè)小燕買(mǎi)了A、B兩種卡片的張數(shù)分別為、，則，∴，可知：是奇數(shù)，是3的倍數(shù)；∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，顯然不合題意；∴小燕共買(mǎi)了4張卡片.例3、（中國(guó)百雞問(wèn)題）雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一。百錢(qián)買(mǎi)百雞，問(wèn)雞翁、雞母、雞雛各幾何解：設(shè)雞翁、雞母、雞雛的只數(shù)分別為、、，則有：，消去得：，顯然，是方程的一個(gè)特解，∴通解為（為整數(shù)），于是有，由，即（，且為整數(shù)可得，，，，將的值代入通解得：）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）。變式1：旅游團(tuán)一行50人到一旅館住宿，旅館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人每天20元，二人間的每人每天30元，單人間的每天50元，如果旅行團(tuán)共住滿(mǎn)了20間客房，問(wèn)三種客房各住幾間怎樣消費(fèi)最低解：三人間、二人間、單人間分別為、、間，則有，得，這里、、都是非負(fù)數(shù)，由于，∴，∴只能取0，1，2，3，4，5.）=（10，10，0），（11，8，1），（12，6，2），∴（（13，4，3），（14，2，4），（15，0，5）。∵50人住宿的總消費(fèi)為，∴當(dāng)時(shí)，即（）=（15，0，5），總消費(fèi)最低。變式2、（2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若，（），則代數(shù)式的值等于（）A、B、C、D、解：∵，∴，代入得：原式=，選D。例4、求方程的正整數(shù)解。解：∵，∴，∵、都是正整數(shù)，，∴，∴，，，，∴，，，。變式1、方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A、0B、1C、8D、無(wú)窮C∵，∴，，，，，，，，這8個(gè)方程組的解均為整數(shù)，∴原方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8。變式2、設(shè)是大于2的質(zhì)數(shù)且，求方程的正整數(shù)解。解：∵，∴，∴，∴∴，∵是大于2的質(zhì)數(shù)且，∴，，∴，。變式3、有一個(gè)四位數(shù)，把它從中間分成兩半，得到前、后兩個(gè)兩位數(shù)，將前面的兩位數(shù)末尾添一個(gè)0，然后加上前、后兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，恰好等于原來(lái)的四位數(shù)，又知道原數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5，求這個(gè)四位數(shù)。解：設(shè)四位數(shù)分成的前后兩位數(shù)分別為、，則，∵，∴，∴，∵是兩位數(shù)，且個(gè)位數(shù)字是5，∴，則，∴。故所求的四位數(shù)是1995.變式4、（2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（）．A、2組B、3組C、4組D、無(wú)窮多組解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為．由于該方程有整數(shù)根，則判別式≥，且是完全平方數(shù)．由≥，解得≤．于是01491611610988534顯然，只有時(shí)，是完全平方數(shù)，符合要求．當(dāng)時(shí)，原方程為，此時(shí)，此時(shí)；當(dāng)y＝－4時(shí)，原方程為．所以，原方程的整數(shù)解為例5、（2004年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）已知是實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程組有整數(shù)解（），求滿(mǎn)足的關(guān)系式。解：∵，，∴，即，易知，∴，∵都是整數(shù)，∴，∴或，從而，。當(dāng)當(dāng)時(shí)，代入得：；時(shí)，代入得：。綜上所述，滿(mǎn)足的關(guān)系式是或（為任意實(shí)數(shù)）。變式1、方程的整數(shù)解有（）A、1組B、2組C、3組D、4組D為整數(shù)，∴，解得，故有4組。變式2、求方程解：∵的正整數(shù)解。，∴，，∵、都是正整數(shù)，∴，，，∴，4，6，∴原方程的正整數(shù)解為例6、求方程，，。的質(zhì)數(shù)解。解：首先必須是偶數(shù)。否則，由能被整除，且，可知可以分解，即不等于質(zhì)數(shù)，但又是質(zhì)數(shù)，得；∴，∴為奇質(zhì)數(shù)，于是為偶數(shù)，∴，，故原方程的質(zhì)數(shù)解是，，。變式1、方程的質(zhì)數(shù)解是?！?為奇數(shù)，為偶數(shù)，∴必為奇數(shù)，令，由（為正整數(shù)），可得：。，∴，∴為偶數(shù)，又∵為質(zhì)數(shù)，∴變式2、求證對(duì)于任意自然數(shù)，方程，從而無(wú)整數(shù)解。證明：設(shè)，時(shí)，原方程化為時(shí)，，（為自然數(shù)），即當(dāng)當(dāng)當(dāng)，這是不可能的；，這是不可能的；時(shí)，，這也是不可能的；所以，方程無(wú)整數(shù)解。三、能力訓(xùn)練：1、（2000希望杯）若均為正整數(shù)，且，，則的