第2章 電阻電路分析

2.1

電阻串并聯(lián)聯(lián)接的等效變換2.2

電阻星形聯(lián)接與三角聯(lián)接的等效變換2.3

電壓源與電流源及其等效變換2.4

支路電流法2.5結(jié)點(diǎn)電壓法2.6

疊加定理2.7

戴維寧定理與諾頓定理2.8受控電源電路的分析2.9

非線性電阻電路的分析第二章電路的分析方法基本要求掌握用支路電流法、疊加定理和戴維寧定理分析電路的方法理解實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換

了解非線性電阻元件的伏安特性及靜態(tài)電阻、動態(tài)電阻的概念，以及簡單非線性電阻電路的圖解分析方法2.1

電阻串并聯(lián)連接的等效變換二端電路N1和電路N2端口的伏安特性相同，則稱替代條件：端口具有相同的伏安特性。注意：1未被替代部分端口的電壓和電流不變。

2“對外等效”iiN2外電路+uN1外電路+u等效的概念電路N1和電路N2是等效的；或稱N1和N2互為等效電路。2.1.1

電阻的串聯(lián)N1u=u1+u2+…+un=(R1+R2+…+Rn)i

u=RiR=R1+R2+…+Rn由(a)由(b)等效電阻4）各電阻的電壓uk=Rki=RK/R×uk=1，2，…，n++++UU1UnU2R1R2RniN2(a)+URi(b)1)各電阻一個(gè)接一個(gè)地順序相聯(lián)；3)等效電阻等于各電阻之和；2)各電阻中通過同一電流；如果兩電阻串聯(lián)時(shí)的分壓公式：R1U1UR2U2I+–++––應(yīng)用：降壓、限流、調(diào)節(jié)電壓等。(b)IUGn+I1I2InG1G2GIU+(a)N1N22.1.2

電阻的并聯(lián)(1)各電阻聯(lián)接在兩個(gè)公共的結(jié)點(diǎn)之間；(2)各電阻兩端的電壓相同；如果G=G1+G2+…+Gn由(a)由(b)I=I1+I2+…+In=（G1+G2+…+Gn）u

i=GuG

等效電導(dǎo)。R=（4）兩個(gè)電阻并聯(lián)的分流公式(b)IUGn+I1I2InG1G2GIU+(a)N1N2(3)等效電阻的倒數(shù)等于各電阻倒數(shù)之和I1I2R1UR2I+–

(兼有電阻串聯(lián)和并聯(lián)的電路稱為混聯(lián)電路。)2.1.3

電阻的混聯(lián)[例]求:

Rab

Rab＝10解：1520ba56671520ba566715ba43715ba410

[例]

電路如圖所示。(1)求a、b兩點(diǎn)間的電壓uab；

(2)若ab用理想導(dǎo)線短接，求流過該短路線上的電流iab。

(2)若ab短接，如下圖(a)所示。并聯(lián)后的電路如下圖(b)所示。解:(1)由圖可見，R1與R2為串聯(lián)，R3與R4也為串聯(lián)。uac=R2/(R1+R2)us=6V,ubc=R4/(R3+R4)

us=4Vuab=

uac-

ubc=2VR4R3R1R26Ω6Ω6Ω3Ω+12VUSabciab=i1-i2=0.4AR4R3R1R26Ω6Ω6Ω3Ω+12VUSabciabi2i1iR‘1R‘23Ω2Ω+12VUSa,bci例：求圖示電路總電阻R12R122122211CD12110.40.40.82R122.2電阻的Y聯(lián)接和聯(lián)接的等效變換Y聯(lián)接和聯(lián)接IaIbUabIcRbRcRaacb+－++－－UbcUca（Y接）IcIbIaRabRbcRcaacb+++－－－UabUcaUbc（△接）若兩端口的伏安特性相同將Y→△將△

→

Y△形電阻=Y形電阻兩兩乘積之和Y形不相鄰電阻△形相鄰電阻的乘積Y形電阻=△形電阻之和若Y形電路中則其等效△形電路中R△=3RYRa=Rb=Rc=RY

Rab=Rbc=Rca=R△R122Ω2Ω2Ω1Ω1Ω1Ω①②④③⑤解：R120.4Ω0.4Ω2Ω0.8Ω1Ω1Ω①②④③⑤R120.4Ω0.4Ω2Ω0.8Ω1Ω1Ω①②④③⑤①②R122.684ΩR128Ω2Ω1Ω4Ω4Ω1Ω①②④⑤方法一方法二[例]如圖所示，求橋形(bridge)電路的總電阻R12。2.3.1理想電壓源（恒壓源）與理想電流源（恒流源)特點(diǎn)：(1）輸出電壓不變，其值恒等于電動勢。即

Uab

E

（2）電源中的電流由外電路決定。IE+_abUab伏安特性IUabE2.3電壓源與電流源及其等效變換設(shè):E=10VIE+_abUab2R1當(dāng)R1R2

同時(shí)接入時(shí)，

I=10A

當(dāng)R1接入時(shí)，I=5A

則：例R221.理想電壓源2.

理想電流源特點(diǎn)：（1）輸出電流不變，其值恒等于電流源電流

IS；IUab伏安特性（2）輸出電壓由外電路決定。ISIUIsR設(shè):IS=1A

R=10

時(shí)，U=10

V

R=1

時(shí)，U=1

V

則:[例]abIUabIs3.理想電壓源的串聯(lián)和并聯(lián)1）電壓源的串聯(lián)uS

=uS1+uS2+…….+uSn+–uS1+–uS2+–uSn12+–uS122）電壓源的并聯(lián)(Parallelconnection)uS1uS2uSn+–+–+–12uS+–12uS

=uS1=uS2=……..=uSn必須注意參考方向4.理想電流源的串聯(lián)和并聯(lián)1）電流源的串聯(lián)(Serialconnection)12iS1iS2iSn2iS1iS

=iS1=iS2=………=isniS1iS2iSn12iS12iS

=iS1+iS2+………+iSn2）電流源的并聯(lián)必須注意參考方向

5.恒壓源us與其它元件（恒流源或電阻等）相并聯(lián)，可等效為恒壓源，電壓為us

。

6.恒流源iS與其它元件（恒壓源或電阻等）相串聯(lián)，可等效iS+uSi+uSiuS+uiS++uiS+uiSi+uS+u為恒流源，其電流為iS。理想電壓源與電阻串聯(lián)組合可看成是實(shí)際電壓源模型。理想電流源與電阻（電導(dǎo)）并聯(lián)組合可看成是實(shí)際電流源模型。2.3.2

電壓源+-R0ERL+U

-I因?yàn)?/p>

U=E-R0I所以其外特性為理想電源(R0=0)0UU0=EI電壓源ERL+U

-I+-理想電壓源電路開路電壓（I=0）短路電流

(U=0)2.3.3

電流源所以其外特性為理想電源(R0=∽)開路電壓（I=0）短路電流

(U=0)R0RL+U

-ISI0UU0=ISR0I電流源ISISRL+U

-I理想電流源電路=Is2.3.4

電壓源與電流源的等效變換等效互換的條件：對外的電壓電流相等。I=I'

，Uab=Uab'即：外特性一致Uab=E-IRoUab’=(Is-I’)Ro’IRO+-EbaUabISabUab'I'RO'等效變換的注意事項(xiàng)（1）“等效”是指“對外”等效,對內(nèi)不等效。IsaRO'bUab'I'RLaE+－bIUabRORLRO中不消耗能量RO'中則消耗能量對內(nèi)不等效對外等效當(dāng)RL=時(shí)(2)

注意轉(zhuǎn)換前后US與Is

的方向US與IS方向一致！(3)

恒壓源和恒流源不能等效互換(4)

在進(jìn)行等效變換時(shí)，與恒壓源串聯(lián)的電阻和與恒流源并聯(lián)的電阻可以作為其內(nèi)阻處理。

US+-iROIsRO'iUS+-iROIsRO'i'US+-iIsi[例]求下列各電路的等效電源解:a+-2V5Vu+-b2(c)+(b)au5A23b+(a)a+–5V32u+iii+–u5V(c)+i5Au3(b)+i+–u25V(a)+i[例]試用電壓源與電流源等效變換的方法計(jì)算2電阻中的電流。解:–8V+–22V+2I(d)2由圖(d)可得6V3+–+–12V2A6112I(a)2A3122V+–I2A61(b)4A2222V+–I(c)ab+5V2A9Ω4Ω4Ω10A3Aab+5V－2A4Ω4Ωab4Ω4Ω＋5-8V－ab2Ω3/4A［例］求圖示電路的等效電路未知：各支路電流解題思路：根據(jù)電路的基本定律，列節(jié)點(diǎn)電流和回路電壓方程，支路電流法已知：電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)對于復(fù)雜電路（如下圖）僅通過串、并聯(lián)或等效變換無法求I6I3I2I5I4I1US4US3-+R3R6R4R5R1R2+_2.4支路電流法解，必須經(jīng)過一定的解題方法，才能算出結(jié)果。

然后聯(lián)立求解。關(guān)于獨(dú)立方程式的討論I1I2I33aUS2+-R1R3R2+_bUS13條支路；2個(gè)節(jié)點(diǎn)；KCL方程：節(jié)點(diǎn)a：節(jié)點(diǎn)b：KVL方程：獨(dú)立節(jié)點(diǎn)方程只有1個(gè)1：2：3：獨(dú)立回路方程只有2個(gè)123個(gè)回路，2個(gè)網(wǎng)孔設(shè)：電路中有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路n=2、b=3bR1R2US2US1+-R3+_a結(jié)論獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)電流方程有

(n-1)個(gè)獨(dú)立的回路電壓方程有

(b-n+1)個(gè)則：（一般為網(wǎng)孔個(gè)數(shù)）獨(dú)立電流方程：１個(gè)獨(dú)立電壓方程：２個(gè)(1)選定各支路電流的參考方向（指定回路繞行方向）；支路電流法列寫電路方程的步驟為：(2)應(yīng)用KCL對(n-1)個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列出電流方程；(3)應(yīng)用KVL對(b-n+1)網(wǎng)孔，列出回路電壓方程。

+US1-+

US2-R1R2R3[例]

圖示電路中，設(shè)US1=140V，US2=90V，R1=20Ω，R2=5Ω，R3=6Ω，試求各支路電流。

I1I2I3②①解：應(yīng)用KCL、KVL對結(jié)點(diǎn)和回路①②列出方程得I1=4AI2=6AI3=10A[例]

圖示電路中，設(shè)US3=20V，US6=40V，R1=R2=10Ω，R3=4Ω，R4=R5=8Ω，R6=2Ω，用支路電流法求解I5

。I6①②③I4I2I1I3解：應(yīng)用KCL、KVL對結(jié)點(diǎn)和回路①②③列出方程得R1R2R3R4R5R6+US3

-US6+–I52.5結(jié)點(diǎn)電壓法

1、參考結(jié)點(diǎn)：任意選定電路中某一節(jié)點(diǎn)為參考結(jié)點(diǎn)，參考結(jié)點(diǎn)的電位為零。參考結(jié)點(diǎn)選定后，其余結(jié)點(diǎn)與參考結(jié)點(diǎn)之間的電壓稱為結(jié)點(diǎn)2、結(jié)點(diǎn)電壓例如，

圖示電路中，結(jié)點(diǎn)1、

實(shí)際上，u1=u10，u2=u20I31I12R1+–+-US5I2I4I50R2R4R5R3US1電位或結(jié)點(diǎn)電壓，結(jié)點(diǎn)電壓的參考方向從結(jié)點(diǎn)指向參考結(jié)點(diǎn)。2的電壓分別用u1

、u2表示。

3、內(nèi)容：電路中任一支路都與兩個(gè)結(jié)點(diǎn)相連接，任一支路電壓等于有

圖示電路中未知：各結(jié)點(diǎn)電壓解題思路：根據(jù)電路的基本定律，列結(jié)點(diǎn)電流方程，然后聯(lián)已知：電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)I31I12R1+–+-US5I2I4I50R2R4R5R3US1全部支路電壓都可用有關(guān)結(jié)點(diǎn)電壓來表示。u1=u10uR3=u1-u2等立求解。關(guān)兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的電壓之差。u2=u20[例]

求圖示電路中各支路電流。I1I2I3I4解：選b為參考結(jié)點(diǎn)對結(jié)點(diǎn)a得結(jié)點(diǎn)電壓注：當(dāng)電壓源電壓與結(jié)點(diǎn)電壓參考方向相同時(shí)取正，反之取負(fù)。+

US1－+

US2－+

US3－R1R2R3R4ab+U－[例]用結(jié)點(diǎn)電壓法求圖示電路中各支路電流。

+120V-

+116V-0.8Ω0.4ΩRL4ΩI1I210AI3Iab解：對結(jié)點(diǎn)電壓、支路電流有影響嗎？R1R3IsR2R5R4I3I1I-+IsR1E1+-R3R2R5R4IE3例求I=？解:IsR5R4IR1//R2//R3I1+I3+RdEd+R4E4R5I--2.6疊加定理定理：在多個(gè)電源同時(shí)作用的線性電路中，任何支路的電流或電壓，都是各個(gè)電源單獨(dú)作用時(shí)在該支路產(chǎn)生的響應(yīng)的代數(shù)和。

I2R1I1UsR2+?+?IsUababI'2R1I'1UsR2+?+?abR1R2+?Isab+=由圖(c)，當(dāng)IS單獨(dú)作用時(shí)同理：I2=I2'+I2''由圖(b)，當(dāng)E

單獨(dú)作用時(shí)原電路+–ER1R2(a)ISI1I2IS單獨(dú)作用R1R2(c)I1''I2''+ISE單獨(dú)作用=+–ER1R2(b)I1'

I2'

根據(jù)疊加原理用支路電流法證明：+–ER1R2(a)ISI1I2I1'

I1''I2'

I2''I1=I1'+I1''=KE1E+KS1IS

I2=I2'+I2''=KE2E+KS2IS應(yīng)用疊加定理要注意的問題1.迭加定理只適用于線性電路中電壓電流的計(jì)算，不能計(jì)算功率；2.疊加時(shí)只將電源分別考慮，電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不變。I1R1不作用的恒壓源應(yīng)短路，即令E=0；不作用的恒流源應(yīng)開路，即令I(lǐng)s=0。3.首先要標(biāo)明各支路電流、電壓的參考方向。原電路中各電壓、電流的最后結(jié)果是各分電壓、分電流的代數(shù)和。4.運(yùn)用疊加定理時(shí)也可以把電源分組求解，每個(gè)分電路的電源個(gè)數(shù)可能不止一個(gè)。=+

例1：電路如圖，已知

E=10V、IS=1A，R1=10

，R2=R3=5，試用疊加原理求流過R2的電流I2和理想電流源IS兩端的電壓US。

(b)

E單獨(dú)作用(c)IS單獨(dú)作用(a)+–ER3R2R1ISI2+–US+–ER3R2R1I2'+–US'R3R2R1ISI2+–US由圖(c)

解：由圖(b)

解

由疊加定理得(b)(c)例2:電路如圖所示，求電壓uab和電流i1。

6Ω3Ω1Ωi1’abuab’3A+－6Ω3Ω1Ω6V12V2Ai1’’abuab’’+－++－－+－+－－+6Ω3Ω6V12V2A3Auabi1ab1Ω=+例3.

圖為一線性純電阻網(wǎng)絡(luò)NR，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)不詳。已知兩激勵(lì)源us、is是下列數(shù)值時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為當(dāng)us=1V，is=1A時(shí)，響應(yīng)u2=0;

當(dāng)us=10V，is=0時(shí)，u2=1V。問當(dāng)us=20V，is=10A時(shí)，響應(yīng)u2=?解式中：k1，k2為未知的比例常數(shù)，其中k1無量綱，k2的單位為Ω。

++isu2usNR補(bǔ)充:替代定理(置換定理)

給定一個(gè)線性（非線性）電阻電路，其中第k條支路的電壓uk和電流ik為已知，那么此支路就可以用一個(gè)電壓等于uk的電壓源us

，或一個(gè)電流等于ik的電流源is替代，替代后電路中全部電壓和電流均將保持原值。+uk－Rk+-uskikN(a)+uk－+-usN(b)isikN(c)或

“替代”與“等效變換”是兩個(gè)不同的概念?！疤娲笔怯锚?dú)立電壓源或電流源替代已知電壓或電流的支路，在替代前后，被替代支路以外電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)不能改變，因?yàn)橐坏└淖儯娲返碾妷汉碗娏饕矊l(fā)生變化；而“等效變換”是兩個(gè)具有相同伏安特性的電路之間的相互轉(zhuǎn)換，與變換以外電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)無關(guān)。注[例]

求圖示電路中的電流i1。

解：

+++－－－6Ω1Ω2Ω4Ω5Ω6Ω3Ω7V6V3V4Ai1+++－－－6Ω1Ω2Ω4Ω5Ω6Ω3Ω7V6V3V4Ai1+－2Ω4Ω7V4Ai1+－2Ω4Ω7V8Vi1+－2.7戴維寧定理與諾頓定理二端網(wǎng)絡(luò)：無源二端網(wǎng)絡(luò)：二端網(wǎng)絡(luò)中沒有獨(dú)立電源有源二端網(wǎng)絡(luò)：二端網(wǎng)絡(luò)中含有獨(dú)立電源ABABN0NS聯(lián)，則該電路稱為“二端網(wǎng)絡(luò)”—“一端口網(wǎng)絡(luò)”。若一個(gè)電路只通過兩個(gè)輸出端與外電路相R2R4R1R32A+-418V？Req

+_實(shí)際電壓源模型戴維寧等效電路2.7.1

戴維寧定理1.內(nèi)容一個(gè)含獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的二端網(wǎng)絡(luò)，對外電路來說，可以用一個(gè)電動勢為E的理想電壓源和電阻為R0的串聯(lián)組合等效替代。此電動勢E為二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓，電阻R0等于二端網(wǎng)絡(luò)中全部獨(dú)立源置零后的輸入電阻。NS+u－RLINs(a)ab+-+u－RLI(b)abER0

2.戴維寧定理證明ab+–u'Ns+u'=

uoc

u"=-

R0iu=u'+u"疊加替代第一步：用替代定理;第二步：用疊加定理abNi+–uRiab+–uNabN0i+–u''R0i－u+R0uOC+－R=

uoc

–iR0

例：電路如圖所示，R為可變電阻，調(diào)節(jié)R使電流表的讀數(shù)為零，求此時(shí)的R。解：UOC1=6+2×2=10V+-解得：R=30Ω+-UOC1+-R01A-+R02UOC2-++-12V6V2Ω6Ω2AR5ΩA

解:(1)求開路電壓Uoc。[例]

用戴維寧定理求圖(a)電路中的電流I。=8+4=12V+US12VIS0.5A4ΩR1R2R3RL6Ω4Ω12Ωab(a)+US12VIS0.5A4ΩR1R2R36Ω12Ωab(b)Uoc+××

(2)求等效電阻Ro

(3)畫出戴維寧等效電路，接入RL支路，如圖

(d)所示，于是求得=8Ω+US12VIS0.5A4ΩR1R2R3RL6Ω4Ω12Ωab(a)4ΩR1R2R36Ω12Ωab(c)+UocRLab(d)Ro如圖，用具有內(nèi)電阻RV的直流電壓表，在端子b、c處測量電壓，試分析電壓表內(nèi)阻引起的測量誤差。解:電壓的真值是b、c處開路電壓Uoc實(shí)際測量的電壓相對測量誤差：當(dāng)R1=20K，R2=30K，R0=12KcbUoc+–R0RVU-+應(yīng)用實(shí)例:VR1R2abc+-USRV=500K時(shí)，誤差是

-2.34%2.7.2諾頓定理

1.內(nèi)容一個(gè)含獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的二端網(wǎng)絡(luò)，對外電路來說，可以用一個(gè)電流為IS的理想電流源和電阻為R0的并聯(lián)組合等效替代。此電流IS為二端網(wǎng)絡(luò)的短路電流，電阻R0等于二端網(wǎng)絡(luò)中全部獨(dú)立源置零后的輸入電阻。N+u－RLIN(a)ab+u－RLI(b)abR0IS

2.等效電阻Ro計(jì)算方法(1)直接法:應(yīng)用等效變換方法(如串、并聯(lián)等)直接求出無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

(2)開路電壓/短路電流法:

(3)外加電源法。對無源二端網(wǎng)絡(luò)，在兩端子間外加一個(gè)電壓源us,求該電源提供的電流is;或者外加一個(gè)電流源is,求該電源兩端的電壓us,此時(shí)有

解:(1)求短路電流isc。所以[例]

用諾頓定理求圖

(a)電路中的電流i。aiS63363Ab(a)iR4.5aiS63363Ab(b)iSCi1i2設(shè)電流isc參考方向如圖(b)所示。得到圖(c)電路，(3)畫出諾頓等效電路，接入R支路，如圖(d)所示。因此，流過a6336b(C)isc1ARoR4.54.5(d)abiaiS63363Ab(a)iR4.5

(2)求等效電阻Ro。將圖(a)中的電流源is和電阻R支路開路，得

Ro=(3+6)∥(6+3)=4.5Ω電阻R的電流為2.7.3

最大功率傳輸定理負(fù)載獲得的功率可表示為uocRoiRL+對于給定的有源二端網(wǎng)絡(luò)，負(fù)載滿足什么條件時(shí)，才能從網(wǎng)絡(luò)中獲得最大的功率呢?將上式對RL求導(dǎo)并當(dāng)RL=R0時(shí)，或iscRoRL

[例]

如圖

(a)電路，如電阻RL

可變，求負(fù)載RL獲得功率最大時(shí)的RL和最大功率。解：將圖

(a)中ab端以左的電路看作是二端電路，可求得其根據(jù)匹配條件式，當(dāng)RL=R0=4Ω時(shí)a+US12V2ΩRL3Ω6Ωb(a)a+Uoc8VRL4Ωb(b)Ro戴維寧等效電路如圖(b)所示。2.8受控電源電路的分析分類：電壓控制電壓源(VCVS),電流控制電壓源(CCVS)，電壓控制電流源(VCCS)和電流控制電流源(CCCS)。獨(dú)立電源：指電壓源的電壓或電流源的電流不受外電路的控制而獨(dú)立存在的電源。受控電源：指電壓源的電壓或電流源的電流受電路中其它部分的電流或電壓控制的電源。受控源的特點(diǎn)：當(dāng)控制電壓或電流消失或等于零時(shí)，受控源的電壓或電流也將為零。+++---μU1U1I1=0I2U2(VCVS)+++---U1=0γI1I1U2I2(VCVS)+-U1I1=0+-U2gU1I2(CVCS)+-U1=0I1+-U2βI1

I2(CCCS)符號例1：試求電流I1

。解法1：用支路電流法對大回路：解得：I1=1.4A2I1–