2020屆高考數(shù)學(xué)教研講義：柯西不等式(無答案)

柯西不等式試題分析：年份高考試題主要考點考查內(nèi)容2010自選模塊，5分柯西不等式利用柯西不等式求最值2011自選模塊，10分柯西不等式利用柯西不等式證明不等式2012文9,5分柯西不等式的應(yīng)用利用柯西不等式求最值2014文16,4分；自選模塊5分柯西不等式的應(yīng)用基本柯西不等式求最值，證明不等式一、知識點1、柯西不等式的二維形式(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)ad二be時，等號成立)，2、柯西不等式的n維形式設(shè)a,a,A,a;b,b,Ab為實數(shù)，則有12n12n12(ab+ab+Aab)2<(a2+a2+A+a2)(b2+b2+A+b2)12nnn簡寫為(乙a2)(乙b2)nnn簡寫為(乙a2)(乙b2)>(乙ab)2iiiii=1i=1i=1中有至少一方全為零等號成立)(當(dāng)且僅當(dāng)71=2=A二丁或a,b,i二1,2,3,A,nbbbii12n3、柯西不等式的三角形式：:a2+b2+\：e2+d2>(a+e)2+(b+d)2(當(dāng)且僅當(dāng)ad二be時，等號成立）4、柯西不等式的向量形式:冊m網(wǎng)（mtn共線時等號成立）二、實戰(zhàn)訓(xùn)練1、利用柯西不等式解決不等式證明問題【典例精析】（2017江蘇）已知a,b,c,d為實數(shù)，且a2+b2二4,c2+d2=16,證明：ac+bd<8變式訓(xùn)練:1.（2014年咼考浙江自選模塊）設(shè)正數(shù)a,b,c滿足abc=a+b+c，求證：ab+4bc+9ac>86，并給出等號成立的條件.2.（2011浙江自選）設(shè)正數(shù)X,y,Z滿足2X+2y+z=1.（1）求3xy+yz+ZX的最大值；2）證明：丄+丄+丄n1252）證明：1+xy1+yz1+zx263.已知x,y,zg3.已知x,y,zgR+，且x+y+z=1，求證:14+—>36xyz已知a,a,A,agR+,求證：a2+a2+A+a2>(a+a+A+a)212n12nn12n2、利用柯西不等式解決最值問題【典例精析】（2014年高考浙江卷文科第16題）已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1，則a的最大值為.變式訓(xùn)練：a2b2c21.（2010浙江自選）設(shè)正實數(shù)a，b，c,滿足abc>1.求++的最小a+2bb+2cc+2a值.2.已知a,b為正常數(shù)，x>0,y>0,則(x+y)(+)的最小值為()xyA.4'：abb.(、a+?*b)2c.2abd.a+b3?若正數(shù)a,b滿足a+b=1，則-1-+咅的最小值是a+1b+24?已知0eR，則一1石+—1石的最小值為sm20cos205?若不等式+-1—+丄>0在條件a>b>c時恒成立，則九的取值范圍是a-bb-cc-a【典例精析】（2012年高考浙江卷文科第9題）若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是.變式訓(xùn)練：1.已知X,y€R+，且3x2+2y2W6，求ro=2x+y的最大值。2.求函數(shù)y二3、：x-1+“10-2x的最大值。3.函數(shù)y=<1-x+J4+2x的最大值為3、柯西不等式的向量形式的取值范圍是【典例精析】若0i=(cosa,sina),b=(3cos2p,3sin2p)，則的取值范圍是變式訓(xùn)練：若a,b€R+，且a+b=f-，求證：+1+J3b+2<、；106設(shè)S=(-2,2),|b|=6，則￡十b的最小值是，此時b=_

4、柯西不等式的三角形式【典例精析】函數(shù)f（x）=Qx2-8x+20-Jx2-6x+10的最大值是變式訓(xùn)練：求函數(shù)f（x）=px2-6x+13+.x2+4x+40的最小值5、柯西不等式的綜合應(yīng)用【典例精析】（2014年高考湖北卷理科第9題）已知F,F是橢圓和雙曲線的公共焦點，P12兀是它們的一個公共點，且PF=，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值123為（）A.4厲~3~A.4厲~3~C.3D.2變式訓(xùn)練：1?若長方形ABCD是半徑為R的圓內(nèi)接長方形，則長方形ABCD周長的最大值為（）A.2RB.2\2RC.4RD.4\2R

則（2.直線a+b=1通過點M(cosa，sina)則（B.11+a2B.11+a2b2<111D.hb2>13.（陜西卷）設(shè)a，b，m，neR,且a2+b2二5,ma+nb二5,則戀m2+n2的最小值為4?給定兩個長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O(shè)圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB，其中x,yeR，則x+y的最大值是,課后練習(xí)49161.設(shè)a,b,c均為正數(shù)且a+b+c=9，貝y+丁+—的最小值為()abcA.81B.9C.7D.492.若存在實數(shù)x使J3x+6+J14-x>a成立，常數(shù)a的取值范圍為3.已知lg(x+y)=lgx+lgy,則x+2y的最小值為,4.已知a,b€R+，且a+b=1，求證：(ax+by)2<ax2+by2已知a,b,c,d是不全相等的正數(shù)，求證：a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+daa2+b2+6.已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，證明：a3+b3+c3>7.（