山東省煙臺市蓬萊第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

山東省煙臺市蓬萊第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，

即，．給出如下四個結(jié)論：①；

②；

③；④當(dāng)且僅當(dāng)“”整數(shù)屬于同一“類”．其中，正確結(jié)論的個數(shù)為．A．

B． C．

D．參考答案：C略2.在△ABC中，AB=2BC=2，，則△ABC的面積為（）A． B． C．1 D．參考答案：B【考點】正弦定理．【分析】由AB=c，BC=a，得出a與c的長，再由cosA的值，利用余弦定理求出b的長，由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：∵c=2，a=1，cosA=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：1=b2+4﹣2b，即（b﹣）2=0，解得：b=，則S△ABC=bcsinA=．故選B【點評】此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．3.直線與兩直線分別交于、兩點,線段的中點恰為則直線的斜率為

A..

B.

C.

D.參考答案：C4.已知{}為等差數(shù)列，{}為等比數(shù)列，其公比≠1，且>0(i＝1,2，…，n)，若，，則()A．

B．

C．

D．或

參考答案：A略5.與直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對稱的直線方程為(

)A．3x-4y-5=0

B.3x+4y+5=0C．3x-4y+5=0

D.3x-4y-5=0參考答案：B6.下面四個命題(1)比大

(2)兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)其和為實數(shù)(3)的充要條件為(4)如果讓實數(shù)與對應(yīng)，那么實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)其中正確的命題個數(shù)是

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B略7.已知不等式組構(gòu)成平面區(qū)域Ω（其中x，y是變量），若目標(biāo)函數(shù)z=ax+6y（a＞0）的最小值為﹣6，則實數(shù)a的值為（）A． B．6 C．3 D．參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，解方程即可．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=ax+6y（a＞0）得y=﹣x+，則直線斜率﹣＜0，平移直線y=﹣x+，由圖象知當(dāng)直線y=﹣x+經(jīng)過點A時，直線的截距最小，此時z最小，為﹣6，由得，即A（﹣2，0），此時﹣2a+0=﹣6，解得a=3，故選：C8.拋物線y=x2的焦點坐標(biāo)是（）A．（0，） B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（0，）參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可知焦點在y軸上，進一步可以確定焦點坐標(biāo)．【解答】解：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2y，∴2p=2，∴=，∴焦點坐標(biāo)是（0，）．故選：D．【點評】本題主要考查拋物線的幾何形狀，關(guān)鍵是把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再作研究．9.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B.

C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)奇偶性以及特殊值即可排除?！驹斀狻恳驗?，所以為奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，排除BD,因為，所以排除A答案，選擇D【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的判斷方法，常利用函數(shù)的奇偶性質(zhì)，特殊值法進行排除，屬于中等題。10.過點（1，3）作直線，若經(jīng)過點和，且，則可作出的的條數(shù)為（

）A.1

B.2

C.3

D.多于3參考答案：錯解:D．錯因：忽視條件,認為過一點可以作無數(shù)條直線.正解:B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點若，則

．參考答案：812.已知函數(shù)，則該函數(shù)的值域為__________。參考答案：［1，2］13.若圓錐的側(cè)面積為m，全面積為n，則圓錐的高與母線的夾角θ的大小等于

。參考答案：arccos14.已知結(jié)論:“在正三角形ABC中,若D是邊BC的中點,G是三角形ABC的重心,則”若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四面體中，若的中心為，四面體內(nèi)部一點到四面體各面的距離都相等，則=

；參考答案：略15.先閱讀下面文字：“求的值時，采用了如下的方式：令，則有，兩邊平方，得，解得（負值舍去）”。用類比的方法可以求得：當(dāng)時，的值為

。參考答案：16.展開式中的一次項系數(shù)為

▲．參考答案：55

17.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2，則a的值為．參考答案：﹣【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】首先把拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=my的形式，再根據(jù)其準(zhǔn)線方程為y=﹣，即可求之．【解答】解：拋物線y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=y，則其準(zhǔn)線方程為y=﹣=2，所以a=﹣．故答案為：﹣．【點評】此題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題，也是高考?？嫉念}型，找出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p值是解本題的關(guān)鍵，要求學(xué)生掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=alnx+x2+1．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣時，求f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅲ）當(dāng)﹣1＜a＜0時，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的最值在極值處與端點處取得，即可求得f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)﹣1＜a＜0時，f（x）min=f（），即原不等式等價于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣時，，∴．∵f（x）的定義域為（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在區(qū)間[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③當(dāng)﹣1＜a＜0時，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣綜上，當(dāng)a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜a＜0時，f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；當(dāng)a≤﹣1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)﹣1＜a＜0時，f（x）min=f（）即原不等式等價于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范圍為（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.已知z為復(fù)數(shù)，z+i和均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z和|z|；（Ⅱ）若在第四象限，求m的范圍．參考答案：【考點】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】（Ⅰ）z=a+bi（a，b∈R），代入z+i和利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，由虛部為0列式求得a，b的值，則復(fù)數(shù)z和|z|可求；（Ⅱ）把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算化簡，由實部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則z+i=a+（b+1）i，=．∵z+i和均為實數(shù)，∴，解得a=2，b=﹣1．∴z=2﹣i，|z|=；（Ⅱ）∵=2+i+=在第四象限，∴，解得﹣2＜m＜或1＜m＜5．20.（本小題滿分12分）在等差數(shù)列中，，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，公比為，且，.（1）求與；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和.參考答案：（1）設(shè)的公差為.因為所以

……3分解得或（舍），故，

………5分

（2）由（1）可知，，

……6分所以

……8分相減得：，……10分所以

………………12分21.（本小題滿分14分）如圖，四面體中，、分別是、的中點，（I）求證：平面

（II）求證：平面；（III）求異面直線與所成角的余弦值；參考答案：（I）證明：連結(jié)，、分別是、的中點，又平面，平面，平面

………………4分（II）證明：連結(jié)

………………6分在中，由已知可得而…………8分平面

………………9分（III）取的中點，連結(jié)、、，由為的中點知直線與所成的銳角就是異面直線與所成的角………11分在中，

是直角斜邊上的中線，

取的中點，則，

異面直線與所成角的余弦值為

…14分22.(本小題滿分12分)已知的展開式的第5項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)之比為14:3.(1)求正自然數(shù)n的值；

(2)求展開式中的常數(shù)項.參考答案：解：(1)由題意Cn4Cn2=14：3，

……1分即，