常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性及其判別法

第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的判別法一、正項(xiàng)級數(shù)及其收斂性判別法二、交錯級數(shù)及其收斂性判別法三、絕對收斂與條件收斂四、小結(jié)、思考題、作業(yè)一、正項(xiàng)級數(shù)及其收斂性判別法1.定義:這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù).2.正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件:基本定理（正項(xiàng)級數(shù)收斂判別法則）部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.推廣：同號級數(shù)

例1.判定的斂散性.解由基本定理知,故級數(shù)的部分和該正項(xiàng)級數(shù)收斂.由于證明即部分和數(shù)列有界3.比較判別法不是有界數(shù)列定理證畢.比較判別法的不便:須有參考級數(shù).解由圖可知重要參考級數(shù):幾何(等比)級數(shù),p-級數(shù),調(diào)和級數(shù).證明4.比較判別法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;證明由比較審斂法的推論,得證.解原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.證明收斂發(fā)散達(dá)朗貝爾判別法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級數(shù).2.若用達(dá)朗貝爾判別法判定級數(shù)發(fā)散級數(shù)的通項(xiàng)un不趨于零.后面將用到這一點(diǎn).1.適用范圍：的若干連乘積(或商)的形式.注因?yàn)椋航獗戎蹬袆e法失效,改用比較判別法例.利用級數(shù)收斂性,證明證

考查級數(shù)由于故級數(shù)收斂.由級數(shù)收斂的必要條件知,級數(shù)收斂.二、交錯級數(shù)及其收斂性判別法定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).證明滿足收斂的兩個條件,定理證畢.解原級數(shù)收斂.一個基本例子：三、絕對收斂與條件收斂定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù).證明上定理的作用：任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)解故由定理知原級數(shù)絕對收斂.判別級數(shù)是否收斂?如果收斂,是絕對收斂還是條件收斂?早期研究生考試題解因?yàn)榫毩?xí)為交錯級數(shù).正根據(jù)比較判別法的極限形式:知發(fā)散.即原級數(shù)不是絕對收斂.(1)因?yàn)棰跒榻诲e級數(shù).由于(2)所以級數(shù)收斂,且為條件收斂.故級數(shù)滿足萊布尼茨定理的兩條件,①通常先考查它若使用比值法或根值法判定級數(shù)不絕對收斂(這時級數(shù)的通項(xiàng)不趨于零),對交錯級數(shù),利用無窮級數(shù)的性質(zhì)1、2將級數(shù)如不是絕對收斂的,再看它是否條件收斂.便可斷言級數(shù)發(fā)散.可用萊布尼茨定理.然后討論斂散性也是常用手段.拆開為兩個級數(shù),(用正項(xiàng)級數(shù)的審斂法),討論任意項(xiàng)級數(shù)的收斂性時,是否絕對收斂四、小結(jié)正項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);正項(xiàng)級數(shù)審斂法的思維程序1.2.若比值、根值法;若失效3.比較審斂法的極限形式4.5.充要條件6.按基本性質(zhì)7.?比較審斂法發(fā)散;任意項(xiàng)級數(shù)審斂法的思維程序3.

交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)1.?發(fā)散