第6章空間解析幾何-6.3平面與直線

31一月20231§6.3空間的平面與直線第六章四、平面束一、平面的方程二、空間直線的方程三、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系五、小結(jié)與思考練習(xí)31一月20232①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱(chēng)①式為平面的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故1.點(diǎn)法式方程31一月20233即解:

取該平面的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面的方程例1求過(guò)三點(diǎn)31一月20234M1M3M1M2，共面M1M，即平面的三點(diǎn)式方程設(shè)平面過(guò)不共線的三點(diǎn)M2(x2,y2,z2),M3

(x3,y3,z3),M1

(x1,y1,z1),對(duì)于平面上任一點(diǎn)M

(x,y,z),平面的三點(diǎn)式方程.(2)31一月202352.平面的一般方程平面的點(diǎn)法式方程為此方程稱(chēng)為平面的一般方程，其中整理得為平面的法向量。31一月20236(1)過(guò)原點(diǎn)的平面方程由于O(0,0,0)滿(mǎn)足方程,所以D=0.于是,過(guò)原點(diǎn)的平面方程為:Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz+D=0平面一般方程的幾種特殊情況：31一月20237(2)平行于坐標(biāo)軸的平面方程考慮平行于x軸的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)與x軸上的單位向量i=(1,0,0)垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x軸的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y軸的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z軸的平面方程是Ax+By+D=0.特別:

D=0時(shí),平面過(guò)坐標(biāo)軸.31一月20238(3)平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面的平面方程是

By+D=0;

平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.(即z=k)(即y=k)(即x=k)31一月20239解:因平面通過(guò)

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程例2求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.(自學(xué)課本例3）31一月202310答案：31一月202311設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解31一月202312將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程31一月202313設(shè)平面為由平面過(guò)原點(diǎn)知所求平面方程為解31一月202314因此其一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)二、空間直線的方程1.空間直線的一般方程31一月202315(1)對(duì)稱(chēng)式方程（點(diǎn)向式方程)故有說(shuō)明:

某些分母為零時(shí),其分子也理解為零.設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為則此式稱(chēng)為直線的對(duì)稱(chēng)式方程(也稱(chēng)為點(diǎn)向式方程)直線方程為已知直線上一點(diǎn)例如,當(dāng)和它的方向向量2.空間直線方程的對(duì)稱(chēng)式方程和參數(shù)方程31一月202316設(shè)得參數(shù)式方程:(2)參數(shù)式方程31一月202317解:先在直線上找一點(diǎn).再求直線的方向向量令x

=1,解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn).例5.用對(duì)稱(chēng)式及參數(shù)式表示直線(自學(xué)課本例5)31一月202318故所給直線的對(duì)稱(chēng)式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.31一月202319例6求與兩平面x－4y=3和2x－y－5z=1的交線平行且過(guò)點(diǎn)(－3,2,5)的直線的方程.解：因?yàn)樗笤谥本€與兩平面的交線平行，也就是直線的方向向量s一定同時(shí)與兩平面的法線向量n1、n2垂直，所以可以取

因此所求直線的方程為

31一月202320例7.求直線

與平面2x＋y＋z－6=0的交點(diǎn).

解：所給直線的參數(shù)方程為x=2+t,y=3+t,z=4+2t,

代入平面方程中，得

2(2+t)+(3+t)+(4+2t)－6=0.

解上列方程，得t=－1.把求得的t值代入直線的參數(shù)方程中，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為

x=1,y=2,z=2.

31一月2023211.兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角θ的余弦為即定義：兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱(chēng)為兩平面的夾角.三、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系31一月202322特別有下列結(jié)論：規(guī)定:若比例式中某個(gè)分母為0,則相應(yīng)的分子也為0.31一月202323則兩直線夾角

滿(mǎn)足設(shè)直線的方向向量分別為3.兩直線的夾角定義兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）稱(chēng)為兩直線的夾角.31一月202324特別地有:31一月202325解:

直線直線二直線夾角的余弦為從而的方向向量為的方向向量為例8.求以下兩直線的夾角31一月202326當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角

稱(chēng)為直線與平面間的夾角;當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿(mǎn)足直線和它在平面上的投影直︿3.直線與平面的夾角31一月202327特別有:例9求過(guò)點(diǎn)(1,－2,4)

且與平面解:取已知平面的法向量則直線的對(duì)稱(chēng)式方程為直的直線方程.為所求直線的方向向量.

垂31一月202328解為所求夾角．31一月202329例11.設(shè)一平面平行于已知直線且垂直于已知平面求該平面法向量的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量所求為31一月202330外一點(diǎn),則是平面到平面的距離d為定理1

設(shè)4.點(diǎn)到平面的距離證明:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn),則P0

到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)31一月202331求內(nèi)切于平面

x+y+z=1

與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成四面體的球面方程.例12解:

設(shè)球心為則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為從而(先考慮平面的情況)31一月202332設(shè)直線L過(guò)點(diǎn)M0,方向向量為則點(diǎn)M到直線L距離d是以5.點(diǎn)到直線的距離定理231一月20233331一月202334通過(guò)定直線的所有平面的全體稱(chēng)為平面束，上式為通過(guò)直線L的平面束的方程.四、平面束*31一月202335定義：對(duì)于直線L,通過(guò)L的平面的全體稱(chēng)為平面束。對(duì)于直線L::A1x+B1y+C1z+D1=0(1):A2x+B2y+C2z+D2=0(2)12方程

(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)稱(chēng)為L(zhǎng)的平面束方程(表示缺少一個(gè)平面2的平面束)31一月202336平行于已知平面的所有平面的全體稱(chēng)為平行平面束.平行平面束例如平行于平面的平行平面束為31一月202337例14解31一月202338所求投影直線方程為31一月202339練習(xí):求直線在平面上的投影直線方程.提示：過(guò)已知直線的平面束方程從中選擇得這是投影平面即使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程31一月202340練習(xí).求過(guò)直線L:且與平面夾成角的平面方程.提示:過(guò)直線L的平面束方程其法向量為已知平面的法向量為選擇使從而得所求平面方程不要漏掉此解!31一月202341內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式31一月2023422.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:31一月2023433.空間直線方程一般式對(duì)稱(chēng)式參數(shù)式31一月202344直線直線夾角公式:4.線與線的關(guān)系31一月202345平面

:L⊥

L//夾角公式：直線L:4.面與線間的關(guān)系5.平面束31一月202346作業(yè)習(xí)題6-3P29-311(5);3(5);4;8;11;12;1431一月202347思考與練習(xí)答案：31一月202348因此有垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且

2.一平面通過(guò)兩點(diǎn)31一月202349解得解1:設(shè)平面為所求平面方程為3.求過(guò)點(diǎn)且垂直于二平面和的平面方程.（課本習(xí)題6-31(5))31一月202350解2:

已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡(jiǎn)得3.求過(guò)點(diǎn)且垂直于二平面和的平面方程.（課本習(xí)題6-