傳感器與檢測技術 02 測量誤差與數(shù)據(jù)處理

本章學習要求：1.掌握測量誤差的概念、分類和處理方法2.掌握測量數(shù)據(jù)處理的方法

第三章測量誤差與數(shù)據(jù)處理返回課程索引傳感器與檢測技術2.1測量誤差的概念和分類

一、測量誤差的定義

什么是誤差？測量誤差：簡稱誤差，它的定義為被測量的測量值與真值之差。誤差＝測量值－真值測量的目標：減小測量誤差，使測量結果盡可能接近真值。第二章測量誤差與數(shù)據(jù)處理測量的目的：獲得被測量的真值。真值：某一被測量在一定條件下客觀存在的、實際具有的量值。誤差公理：誤差的存在具有必然性和普遍性,所有測量結果都帶有誤差。

約定真值：指人們定義的，得到國際上公認的某個物理量的標準值，通常用于在測量中代替真值。基本概念2.1、測量誤差的概念和分類2.1、測量誤差的概念和分類測量誤差的表示方法：1.絕對誤差δ：測量值x與真值μ之差，即絕對誤差具有和被測量相同的單位。其值可為正，亦可為負。由于被測量的真值μ往往無法得到，實際應用中常用實際值A（高一級以上的測量儀器或計量器具測量所得之值）來代替真值（相對真值）。

2.相對誤差γ

：絕對誤差δ與真值μ的比值，用百分數(shù)來表示。實際相對誤差：A為實際值示值相對誤差：x為測量值

思考：測量的精確程度用絕對誤差還是相對誤差來表示比較準確？例如：如何比較測量長度為10m（絕對誤差為5cm）和1m（絕對誤差為1cm）的測量精度？2.1、測量誤差的概念和分類【解】若采用0.5級流量計

m

＝±18×0.5%＝±0.09m3/h采用1.0級流量計

m

＝±3×1.0%＝±0.03m3/h

結果表明，使用工作在量程下限時相對誤差較大。用1.0級儀表比用0.5級儀表的示值相對誤差反而小，所以更合適。是否精度等級越高的儀器越好用？例：現(xiàn)有0.5級2～20m3/h和1.0級2～5m3/h的兩個流量計，要測量的流量在3m3/h左右，試問采用哪一個流量計好？示值相對誤差2.1、測量誤差的概念和分類3.引用誤差γm：絕對誤差δ與與測量裝置的量程B的比值，用百分數(shù)來表示。量程：xmax測量上限xmin測量下限最大引用誤差：δmax最大絕對誤差

測量裝置應保證在規(guī)定的使用條件下其引用誤差限不超過某個規(guī)定值，這個規(guī)定值稱為儀表的允許誤差。2.1、測量誤差的概念和分類測量誤差的來源：測量方法誤差：依據(jù)的測量原理不嚴密，所采用的測量方法不完善等。測量裝置誤差：測量裝置性能指標達不到要求，安裝不符合要求，使用不當，內(nèi)部噪聲，元器件老化等。測量環(huán)境誤差：測量環(huán)境與要求的基準條件不一致。

測量人員誤差：操作人員素質條件差異，疏忽大意等。數(shù)據(jù)處理誤差：數(shù)據(jù)處理方法不合理，處理過程出錯。2.1、測量誤差的概念和分類2.1、測量誤差的概念和分類1、隨機誤差

測量誤差一般根據(jù)其性質可分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。

因各種隨機影響因素對測量產(chǎn)生干擾而隨機產(chǎn)生。測量裝置、環(huán)境干擾、人員因素等

定義：在相同的條件下，對同一被測量進行多次重復測量時，所出現(xiàn)的數(shù)值大小和符號都以不可預知的方式變化的誤差。產(chǎn)生原因？隨機誤差實例：陶瓷電容壓力傳感器測量值受氣壓變化干擾隨機變化當測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差的代數(shù)和趨于零a、隨機誤差的統(tǒng)計特征2.1.1、隨機誤差

當重復測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差的出現(xiàn)遵循統(tǒng)計規(guī)律，具有以下統(tǒng)計特征：對稱性有界性抵償性單峰性絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相等絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率要大在一定的測量條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定界限正態(tài)分布2.1.1、隨機誤差

由以上四個統(tǒng)計特征出發(fā)，可導出絕大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：

概率密度函數(shù)σ：標準差隨機誤差的正態(tài)分布曲線曲線關于δ=0對稱在δ=0處有最大值在δ＝±σ處，各有一個拐點當δ→∞時，f(δ)→0

σ決定了曲線的形狀，σ越小時圖形越尖銳，這說明測量值落在δ=0附近的概率越大。σ3σ2σ12.1.1、隨機誤差b、有關隨機誤差的幾個概念測量列的算術平均值：實際的等精度測量中，由于隨機誤差的存在而無法得到被測量的真值，但們可用測得值的算術平均值代替真值作為測量結果殘余誤差：殘余誤差的2個重要性質一組測量值的殘余誤差的代數(shù)和等于零一組測量值的殘余誤差的平方和為最小2.1.1、隨機誤差測量列的標準差：測量列的標準差表征了測量值和隨機誤差的分散程度，它決定了測量值概率密度分布曲線的形狀。用以衡量單次測量值的不確定性。正態(tài)分布的測量值與相應的隨機誤差具有同樣的標準差值，因此具有同一形狀的概率密度曲線，只是沿著橫坐標平移了μ而已σ3σ2σ1μ標準差σ的數(shù)值愈小，概率密度分布曲線形狀愈陡峭，說明測量值和隨機誤差的分散性小標準差σ的值決定于測量條件，測量條件一旦確定后，σ的值也就唯一地確定了。標準差的決定因素？測量值的正態(tài)分布曲線貝塞爾公式：在實際測量中，測量次數(shù)總是有限的被測量的真值μ無法得到無法用定義求標準差為了能夠定量地評定測量值和隨機誤差的分散程度。最常用的測量列精密度參數(shù)是測量列標準差和測量列算術平均值標準差?？捎盟阈g平均值來代替真值,用殘余誤差vi來代替真誤差δi，對標準差σ做出估計。測量列算術平均值標準差：測量列算術平均值的精密度參數(shù)。2.1.1、隨機誤差2、系統(tǒng)誤差定義：在相同的條件下，對同一被測量進行多次重復測量時，所出現(xiàn)的固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差。產(chǎn)生原因？由特定原因引起、具有一定因果關系并按確定規(guī)律產(chǎn)生。儀器誤差、原理誤差、方法誤差、環(huán)境誤差系統(tǒng)誤差實例：GPS全球定位裝置的主要系統(tǒng)誤差衛(wèi)星星歷誤差:衛(wèi)星星歷給出的衛(wèi)星空間位置與衛(wèi)星實際位置間的偏差

衛(wèi)星鐘差:GPS衛(wèi)星采用高精度的原子鐘，與GPS標準時之間的偏差仍在0.1ms～1ms以內(nèi)，由此引起的誤差將達到300m～3000m

2.1、測量誤差的概念和分類具有再現(xiàn)性2.1.2、系統(tǒng)誤差a、系統(tǒng)誤差的分類系統(tǒng)誤差恒值系統(tǒng)誤差累積性系統(tǒng)誤差：隨時間逐漸增大或減小周期性系統(tǒng)誤差：誤差值呈周期性變化變值系統(tǒng)誤差在測量過程中，誤差的大小號符號固定不變因天平左右兩臂長度不一致產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差萬用表電池電壓隨時間下降引起的測量誤差光柵的細分誤差通常是周期性系統(tǒng)誤差殘余誤差觀察法：將測量列中各測得值的殘余誤差按測量的先后次序排列繪制散點圖，觀察殘余誤差的變化。b.系統(tǒng)誤差存在的判定無系統(tǒng)誤差存在存在累積性系統(tǒng)誤差存在周期性系統(tǒng)誤差2.1.2、系統(tǒng)誤差馬林科夫判據(jù)：兩組測得值的殘余誤差的代數(shù)和之差顯著不為零，則可認為測量中存在著累積系統(tǒng)誤差。存在累積性系統(tǒng)誤差阿貝—赫梅特檢驗準則。存在周期性系統(tǒng)誤差2.1.2、系統(tǒng)誤差3、粗大誤差2.1、測量誤差的概念和分類定義：明顯地偏離了被測量真值的測量值所對應的誤差，稱為粗大誤差。產(chǎn)生原因？由主觀失誤或外界干擾引起，含有粗大誤差的測量值稱為壞值讀記數(shù)錯誤、計算錯誤、較大的干擾等處理原則：利用科學的方法對可疑值做出正確判斷，對確認的壞值予以剔除。壞值判別準則：給定一個置信水平α，按照假設條件確定置信區(qū)間，超出此置信區(qū)間的誤差就被認為是粗大誤差。局限性：壞值判別準則都是在某些特定條件下建立的，因此不是絕對可靠和十全十美的。4、正確度、精密度和準確度與誤差的關系2.1、測量誤差的概念和分類常用測量的正確度、精密度和準確度這三個概念定性地描述測量結果的精確程度。正確度表征了測量值和被測量真值的接近程度。正確度越高則表征測量值越接近真值。精密度表征了多次重復對同一被測量測量時，各個測量值分布的密集程度。精密度越高則表征各測量值彼此越接近。準確度是正確度和精密度的綜合，準確度高則表征了正確度和精密度都高。隨機誤差小，精密度高。精密度高系統(tǒng)誤差越小，正確度越高。正確度高系統(tǒng)和隨機誤差都小，準度越高。準確度高它們都是定性的概念，不能用數(shù)值作定量表示2.1.4、精密度、準確度和精準度置信概率P：測量結果落在一個對稱的誤差區(qū)間〔-a，a〕的概率。例如：P＝0.9，表明測量值有90％的可能性落在該取值區(qū)間，該取值區(qū)間稱為置信區(qū)間〔-a，a〕

。置信度：置信區(qū)間和置信概率結合，統(tǒng)稱為置信度。置信區(qū)間越寬，相應的置信概率就越大。置信限：置信區(qū)間的界限值a。置信因子Z：a相對于標準偏差的倍數(shù)，即a=Zσ。常用在一定置信概率下的置信區(qū)間的大小來表示測量列的精密程度，置信區(qū)間愈小，則的精密程度就愈高。2.2測量誤差的處理

第二章測量誤差與數(shù)據(jù)處理1.隨機誤差的處理原則：測量結果的置信度與表示方法置信區(qū)間與相應的置信概率的關系如圖所示：當Z＝1，置信區(qū)間為〔-σ，σ〕，相應的置信概率p=0.6826，這意味著大約每3次測量中有一次測得值的誤差落在置信區(qū)間之外。f(δ)置信區(qū)間與相應的置信概率的關系δ-3σ-2σ-σσ2σ3σ68.26%95.44%0.135%當Z＝2，置信概率p=0.9544，這意味著大約每22次測量中有一次測得值的誤差落在置信區(qū)間之外。當Z＝3，置信概率p=0.9973，這意味著大約每370次測量中有一次測得值的誤差落在置信區(qū)間之外。常用在一定置信概率下的置信區(qū)間的大小來表示測量列的精密程度，置信區(qū)間愈小，則測量列的精密程度就愈高。2.2.1、隨機誤差的處理多次重復測量的極限誤差

和測量結果的表示：若標準差已知，則可取定置信概率P，按正態(tài)分布來確定Z；若標準差未知，用貝塞爾公式求出標準差的估計值s代替σ，且置信因子Z按t分布確定；應在測量結果后標注所取定的置信概率P。算術平均值算術平均值標準差置信因子測量極限誤差2.2.1、隨機誤差的處理例2-1：對某工件的尺寸進行了10次等精度測量，測得值為：10.0040，10.0057，10.0045，10.0065，10.0051，10.0053，10.0055，10.0050，10.0062，10.0054mm。事先未知測量列的標準差，試寫出測量結果。解：因標準差事先未知，置信因子Z按t分布確定。取定置信概率p＝0.99，顯著水平α＝0.01，自由度γ＝n－1＝10－1＝9，查t分布表得置信因子Z＝3.2498。測量的算術平均值為由貝塞爾公式得算術平均值的標準差為測量的極限誤差故測量結果可表示為2.2.1、隨機誤差的處理例2-2：在例1－1中，若事先已知測量列的標準差σ=0.0006mm，試寫出測量結果。解：因標準差事先已知，置信因子Z按正態(tài)分布確定。取定置信概率p＝0.9973，則置信因子Z＝3測量的極限誤差故測量結果可表示為2.2.1、隨機誤差的處理替代法：用檢測裝置對被測量進行測量后，再用同一檢測裝置對一已知標準量進行同樣的測量，并使指示值相同，則已知標準量的量值即為被測量的量值。例：為消除因天平臂長不等而造成的系統(tǒng)誤差，先進行一次測量，砝碼為m，然后將待測物與砝碼交換位置，砝碼為m＇，則:交換法：用平衡法對被測量進行一次測量，然后把被測量與標準量的位置交換再進行一次測量，取兩次測量的標準量值的平均值作為測量結果。2.2誤差的處理原則2、消除系統(tǒng)誤差的方法抵消法：適當改變測量條件對被測量進行兩次測量，使兩次測量所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差大小相等、符號相反，取兩次測得值的平均值作為測量結果。例：用電壓降法測量電阻值時，為消除因接觸電動勢而造成的系統(tǒng)誤差，可改變電流方向進行兩次測量，取兩次測得值的平均值作為測量結果。替代法、交換法和抵消法通常用于消除恒值系統(tǒng)誤差2.1.2、系統(tǒng)誤差的處理對稱觀察法：采用等時間間隔對稱取值，將各直接測量測得值的平均值作為測量結果，再通過已定的函數(shù)關系式計算被測量的測量結果。例：如用電壓降法測量電阻值，若因電源電壓下降，電流I隨時間線性減小。為消除因電流減小而引起的線性系統(tǒng)誤差而采用對稱觀察法。對稱觀察法通常用于消除線性系統(tǒng)誤差2.1.2、系統(tǒng)誤差的處理拉伊達準則：凡殘余誤差大于三倍標準偏差的誤差就是粗大誤差，相應的測量值就是壞值，應予以舍棄。壞值壞值的殘余誤差包括壞值在內(nèi)的全部測量值的算術平均值為測量列的標準偏差，可用估計值s來代替只適用于重復測量次數(shù)較多（n＞50）的場合。2.2誤差的處理原則2、粗大誤差的處理格拉布斯準則格拉布斯臨界系數(shù)凡殘余誤差大于格拉布斯鑒別值的誤差就是粗大誤差，相應的測量值就是壞值，應予以剔除。每次只能剔除一個壞值剔除一個壞值后需重新計算測量列的算術平均值和標準偏差，再進行判別，直至無壞值為止。2.1.3、粗大誤差例2-3：重復測量某工件的厚度，測量列如下：39.44，39.27，39.94，39.44，38.91，39.69，39.48，40.56，39.78，39.35，39.86，39.71，39.46，40.12，39.39，39.76mm，試判定該測量列是否存在壞值，若有壞值，則將其剔除。解：采用表格形式運算，測量的算術平均值為由貝塞爾公式得標準差為取定置信水平α＝0.05，根據(jù)測量次數(shù)n＝16查表3-2得格拉布斯臨界系數(shù)g0（n，）＝2.44，計算格拉布斯鑒別值｜v8｜＝0.936＞0.93，故判定v8為粗大誤差，x8為壞值剔除，重新計算各測量值的殘余誤差vi及vi2，并填入表1－1。2.1.3、粗大誤差ixiVi（1）Vi（2）139.44－0.184－0.121239.27－0.353－0.291339.94＋0.316＋0.379439.44－0.184－0.121538.91－0.714－0.651639.69＋0.066＋0.129739.48－0.144－0.081840.56＋0.936───939.78＋0.156＋0.2191039.68＋0.056＋0.1191139.35－0.274－0.2111239.71＋0.086＋0.1491339.46－0.164－0.1011440.12＋0.496＋0.5591539.76＋0.136＋0.1991639.39－0.234－0.171表2－12.1.3、粗大誤差重新計算測量的算術平均值為重新計算標準差為取定置信水平α＝0.05，根據(jù)測量次數(shù)n＝15查出相應的格拉布斯臨界系數(shù)g0（n，α）＝2.41，計算格拉布斯鑒別值將各測量值的殘余誤差vi與格拉布斯鑒別值相比較，所有殘余誤差vi的絕對值均小于格拉布斯鑒別值，故已無壞值。2.1.3、粗大誤差4、誤差的傳遞與分配如何根據(jù)各直接測量值的測量誤差來評定間接測量的誤差？在滿足間接測量準確度要求的前提下，如何解決各直接測量值誤差的合理分配？由于直接測量的測量結果含有測量誤差，則根據(jù)函數(shù)關系計算得到的間接測量結果中也含有一定的誤差2.2誤差的處理原則誤差傳遞的基本公式：在間接測量中，被測量和直接測量量之間的函數(shù)關系可以表示為：則間接測量量y的誤差Δy為：誤差傳遞系數(shù)直接測量量誤差2.2.4、誤差的傳遞和分配隨機誤差的傳遞：隨機誤差用標準差來評定。根據(jù)標準差的定義式，間接測量量y的標準差σy與各個直接測量量xj（j＝1，2，…，m）的標準差σj之間的關系為：各直接測量量相互獨立2.2.4、誤差的傳遞和分配

例2-4：間接測量金屬導線的電導率η。已知式中，L為導線長度，D為導線直徑，R為導線電阻。實測得L＝10.12cm，σL＝0.05cm；D＝0.305cm，σD＝0.003cm；R＝3.21Ω，σR＝0.04Ω。求測量結果及其標準差。解：電導率的測量結果為金屬導線電導率η的標準偏差為2.2.4、誤差的傳遞和分配測量誤差的分配：根據(jù)已知的或給定的間接測量量y的誤差ξy，確定各直接測量量xj（j＝1，2，…,m）的誤差ξj等作用原則認為各部分直接誤差對間接測量量的誤差的影響是相等的，故設各部分誤差相等，即D1=D2=…=Dm=D，由此可得：對隨機誤差，直接測量量xj的標準差為：系統(tǒng)誤差,直接測量量xj的系統(tǒng)誤差為:2.2.4、誤差的傳遞和分配例2-5：測量一個圓柱體的體積V，采用間接測量。V的表達式為已知D＝10mm，h＝50mm。要求標準偏差不超過測量結果的0.5％，試進行誤差分配。解：先按等作用原則分配為達到以上要求，測D須采用千分尺，而測h采用10分度游標卡尺即可。2.2.4、誤差的傳遞和分配直徑和高度均為長度量，卻要采用兩種量具來測量，顯然這是不合理的。按等作用原則分配的誤差，往往與實際情況不符，需對各誤差進行調整將σD和σh均調整為0.02mm，則測直徑和測高度均可用同一種量具——50分度游標卡尺來測量。此時σV小于允許值，調整后的誤差分配是合理的2.2.4、誤差的傳遞和分配最佳測量方案的選擇：1．選擇具有最小總標準偏差的函數(shù)表達式例如圖所示，測量箱體上兩軸孔的軸心距L。測量方法有三種：測量兩軸孔的直徑d1、d2和外尺寸L1，其函數(shù)表達式為2.2.4、誤差的傳遞和分配測量兩軸孔的直徑d1、d2和內(nèi)尺寸L2，其函數(shù)表達式為測量外尺寸L1和內(nèi)尺寸L2，其函數(shù)表達式為若已知各直接測量量的標準差分別為：σd1＝5μm、σd2＝7μm、σL1＝8μm、σL2＝10μm。試確定最佳的測量方案。2.2.4、誤差的傳遞和分配解：分別計算三種方法的總標準差方法①方法②

方法③由以上計算可知，其中方法③的總標準差最小，直接測量量也最少，故選用方法③。2.2.4、誤差的傳遞和分配2．應使各直接測量量的誤差傳遞系數(shù)等于零或為最小

由誤差傳遞公式可知：各直接測量量的誤差傳遞系數(shù)等于零或為最小，則間接測量量的誤差就越小。選擇測量點：就是在確定函數(shù)表達式后，適當選擇直接測量量的測量點，使各直接測量量的誤差傳遞系數(shù)等于零或為最小，以使間接測量量的誤差減小到最低限度。可分別令各直接測量量的傳遞系數(shù)為零，得一方程組，再求方程組的解。2.2.4、誤差的傳遞和分配例2-6：如圖所示，用電流法測電阻值。電流表的讀數(shù)I與被測電阻的電阻值Rx之間的關系為：求使電阻測量相對誤差為最小的條件。2.2.4、誤差的傳遞和分配解：測量電阻的誤差為相對誤差為要使相對誤差為最小，令有于是得上式說明，在選擇電阻測量的量程時，應盡量使電流表的指針偏轉到中點位置，這樣可使測量誤差為最小。

2.2.4、誤差的傳遞和分配測量不確定度的概念是什么？測量的真值往往是無法得到的，測量結果就帶有不確定性。測量不確定度表示由于測量誤差的影響而對測量結果的不可信程度或有效性的懷疑程度。被測量X的測量結果可表示為x±U，其中x是對被測量值的估計（通常用算術平均值代替），U稱為測量不確定度。第二章測量誤差與數(shù)據(jù)處理2.3測量不確定度——定量描述測量結果的指標測量不確定度是無符號的參數(shù)，往往用標準差或標準差的倍數(shù)來表示。1993年國際不確定度工作組制定了《測量不確定度表達導則》。我國于1999年1月批準發(fā)布了計量技術規(guī)范《測量不確定度評定與表示》（JJF1059-1999），并從1999年5月1日起執(zhí)行。測量不確定度就是評價測量結果質量高低的一個重要指標。測量不確定度越小，測量結果的質量就越高；測量不確定度越大，測量結果的質量就越低。2.3.測量不確定度a、測量不確定度的分類不確定度標準不確定度A類標準不確定度μAB類標準不確定度μB擴展不確定度U合成標準不確定度μC用統(tǒng)計方法得到基于經(jīng)驗或其他信息所認定的概率分布來評定由各個標準不確定度分量合成由合成標準不確定度μC乘以包含因子K得到，通常測量結果的不確定度都用擴展不確定度表示。2.3、測量不確定度b、測量誤差與不確定度的區(qū)別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準確得到，是一個定性的概念表示測量結果的分散程度，可根據(jù)試驗、資料等信息定量評定。

誤差是不以人的認識程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過程的認識有關。

隨機誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質的誤差A類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應關系。須進行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度在最后測量結果中應修正確定的系統(tǒng)誤差。不能用不確定度對測量結果修正，但應考慮修正不完善引入的不確定度分量?！罢`差傳播定律”可用于間接測量時對誤差進行定性分析。不確定度傳播定律更科學，合成不確定度用于定量評定測量結果2.3、測量不確定度c、測量不確定度的評定方法：第52頁

A類標準不確定度：1）A類評定的標準不確定度等同于等精度測量列的標準偏差σ，即μA＝σ2）當測量次數(shù)n足夠多時，才能使標準不確定度的A類評定可靠，一般應使n=6～10。3）通常用測量列算術平均值的標準差作為測量結果的A類標準不確定度,即2.3、測量不確定度B類標準不確定度：

B類標準不確定度評定方法的主要信息來源：以前測量的數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠的技術證明書、儀器的鑒定證書或校準證書等。

1）確定測量值的誤差區(qū)間（-α,α）；2）根據(jù)實際情況分析，對測量值進行一定的概率分布假設3）根據(jù)要求的置信水平估計包含因子k（與概率分布有關），則B類標準不確定度uB為

4）當測量不確定度U為標準差的k倍時，其B類標準不確定度為：估計值x服從均勻分布估計值x服從三角分布估計值x服從反正弦分布k=32.3、測量不確定度標準不確定度的合成：被測量y由m個輸入量之間的關系為：1）當輸入量可能彼此相關時

2）當輸入量可能彼此無關時

3）當不能寫出輸出和輸入函數(shù)關系時

2.3、測量不確定度擴展不確定度：

擴展不確定度由合成標準不確定度μc乘以包含因子k得到，記為U，即

用擴展不確定度作為測量不確定度，則測量結果表示為包含因子k由t分布的臨界值tα(ν)給出，ν是合成標準不確定度uc的自由度，根據(jù)給定的顯著水平α與自由度ν查t分布表，即可得到tα(ν)的值2.3、測量不確定度每個標準差都對應著一個自由度，它等于標準差計算表達式中總和所包含的項數(shù)減去各項之間存在的約束條件數(shù)。若測量列標準差用貝塞爾公式來估算，因貝塞爾公式利用測量列的n個殘余誤差來計算，即總和所包含的項數(shù)為n，而n個殘余誤差之間存在著一個約束條件故測量列標準差的自由度為ν＝n－1。2.3、測量不確定度測量列標準差用貝塞爾公式來估算當各不確定度分量μi相互獨立時難以確定每一個分量的νi，且測量值接近正態(tài)分布時vi=n-1自由度ν當μi是B類不確定度且相互獨立時2.3、測量不確定度測量不確定度的評定步驟：建模、分析并列出不確定度來源標準不確定度分量的評定A類評定B類評定計算合成標準不確定度確定擴展不確定度報告測量結果及其不確定度如何選定包含因子k？由概率分布類型確定如何確定包含因子k？由自由度給定2.3、測量不確定度B類評定與擴展不確定度的包含因子K不同！！

例2-7：用標準數(shù)字電壓表在標準條件下，對被測電壓源10V點的輸出電壓進行10次獨立測量，測量值如下表。在電壓測量前對標準電壓表進行了24h的校準，并知在10V點測量時，其24h的示值穩(wěn)定度不超過15μV，取均勻分布；標準電壓表的檢定證書給出，其示值誤差按3倍標準差計算為3.5×10-6×U（標準電壓表示值），試評定測量不確定度和給出測量結果。n12345vi／V10.00010710.00010310.00009710.00011110.000091n678910vi／V10.00010810.00012110.00010110.00011010.0000942.3、測量不確定度1)分析測量方法，確定不確定度分量。通過對測量方法的分析可知，在標準條件下測量，由溫度等環(huán)境因素帶來的影響可忽略。因此對電壓測量不確定度影響的因素主要有：標準電壓表的示值穩(wěn)定度引起的不確定度μ1；標準電壓表的示值誤差引起的不確定度μ2；電壓多次重復測量引起的不確定度μ3。2)評定各標準不確定度分量分析這些不確定度分量的特點可知，不確定度分量μ1、μ2應采用B類評定方法，而不確定度分量μ3應采用A類評定方法。下面分別評定和計算各不確定度分量。解：2.3、測量不確定度示值穩(wěn)定度不超過15μV，取均勻分布示值誤差按3倍標準差計算因k=3，可認為置信概率很高，μ2很穩(wěn)定，因此v2=∞μ3用A類標準不確定度評定2.3、測量不確定度因給出的示值不穩(wěn)定度很可靠，因此v1=∞3）標準不確定度合成因標準不確定度分量μ1、μ2、μ3相互獨立，則相關系數(shù)ρij＝0，得電壓測量的合成標準不確定度為計算其自由度

2.3、測量不確定度4）求擴展不確定度取置信概率p=95％，即顯著水平α＝0.05，由自由度ν＝7412查t分布表得tα（ν）＝1.96，即包含因子k＝1.96。于是，電壓測量的擴展不確定度為

5）給出測量結果用合成標準不確定度評定電壓測量的不確定度，則測量結果為

V＝（10.000104±0.000015）V用擴展不確定度評定電壓測量的不確定度，則測量結果為

V＝（10.000104±0.0000294）V

p＝0.95，k＝1.96。2.3、測量不確定度在測量的數(shù)據(jù)處理中，通常需要根據(jù)實際測量所得的數(shù)據(jù)，求得反映各變量之間的最佳函數(shù)關系的表達式。數(shù)據(jù)擬合若所求得的函數(shù)關系式為線性方程式，則稱之為直線擬合，若所求得的函數(shù)關系式為非線性方程式，則稱之為曲線擬合。第二章測量誤差與數(shù)據(jù)處理2.4測量數(shù)據(jù)的處理方法1、一元線性回歸——直線擬合2.4、測量數(shù)據(jù)的處理方法一元線性回歸的定義是什么？應用最小二乘法求得一元一次線性方程y=a+bx來表達測量數(shù)據(jù)(xi,yi

i=1,2,…,n)之間的相互關系，稱為一元線性回歸

線性回歸的步驟：確定回歸方程的形式：一元一次線性方程。求回歸方程中的未定系數(shù)：回歸參數(shù)a、b。研究回歸方程的可信賴程度：方差分析。a、最小二乘法2.4.1、一元線性回歸殘余誤差性質：測量結果與任意值之差的平方和都比殘余誤差的平方和大。2.4.1、一元線性回歸測量數(shù)據(jù)中的任何一個數(shù)據(jù)yi與擬合直線上y=a+bx對應的理想值yi’之殘差(i=1,2,…n為測量點數(shù)）的平方和Q為最小最小二乘原理：真值的最佳估計值應在殘余誤差的平方和為最小的條件下求出。哪條曲線更合適?

根據(jù)高等數(shù)學中求函數(shù)極值的條件，取Q分別關于a，b偏導數(shù)，并令它們等于零，可得到：正則方程組2.4.1、一元線性回歸求出的回歸參數(shù)是否可信？b、回歸方程的方差分析和顯著性檢驗回歸方程的方差分析是利用殘余標準偏差s對回歸方程的擬合準確度作出估計S越小，回歸參數(shù)的準確度越高回歸方程的顯著性檢驗是利用相關系數(shù)ρxy判斷x與y之間是否存在線性相關的關系x與y之間存在線性相關的關系，否則求出的回歸方程無意義，需進行曲線擬合2.4.1、一元線性回歸

例2-8：測量某導線在一定溫度x下的電阻值y得如下結果。試求出兩變量間的關系x／℃19.125.030.136.0y／Ω76.3077.8079.7580.80x／℃40.046.550.0y／Ω82.3583.9085.10解：1）將計算結果列到表格中ixyx2y2xy119.176.30364.815821.6901457.330225.077.80625.006052.8401945.000330.179.75906.016360