高三數(shù)學課件：第三章 第八節(jié) 應用舉例

第八節(jié)應用舉例1.實際問題中有關(guān)概念(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①).(2)方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②).(3)方向角相對于某一正方向的水平角(如圖③)①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向.②北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向.③南偏西等其他方向角類似.(4)坡度(ⅰ)定義:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(ⅱ)坡比:坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡比)(5)視角觀測點與觀測目標兩端點的連線所成的夾角叫做視角(如圖).【即時應用】(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？提示:三者的參照不同．仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的.(2)思考:如何用方位角、方向角確定一點的位置？提示:利用方位角或方向角和目標與觀測點的距離即可唯一確定一點的位置.(3)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的__________方向.【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.答案：北偏西10°2.解三角形應用題的一般步驟(1)讀懂題意，理解問題的實際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系.(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形模型.(3)選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位、近似計算要求.【即時應用】(1)已知A、B兩地的距離為10km,B、C兩地的距離為20km,現(xiàn)測得∠ABC=120°，則A、C兩地的距離為______km.(2)如圖，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最后一排的距離為10米，則旗桿的高度為________米.【解析】(1)如圖所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，∴AC=10(km).(2)設(shè)旗桿高為h米，最后一排為點A，第一排為點B，旗桿頂端為點C，則在△ABC中，AB＝10，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得，故h＝30米.答案：(1)10(2)30熱點考向1測量距離的問題【方法點睛】求距離問題的注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.【例1】(1)如圖,設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為()(A)(B)(C)(D)(2)(2013·福州模擬)已知兩座燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都等于akm，燈塔A在觀測站C的北偏東20°，燈塔B在觀測站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為()(A)akm(B)(C)(D)2akm【解題指南】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理得∠ABC，再利用正弦定理可解.(2)先根據(jù)題意作出示意圖，確定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得AB的值.【規(guī)范解答】(1)選A.由∠ACB=45°，∠CAB=105°,得∠ABC=30°,由正弦定理得∴

(2)選B.如圖，∠ACB=120°,由余弦定理得cos∠ACB==則(km).【互動探究】若將本例題(1)中A，B兩點放到河岸的同側(cè)，但不能到達，在對岸的岸邊選取相距的C，D兩點，同時，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩點A，B之間的距離又如何求解?【解析】如圖所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理可得在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴∴AB＝(km).即兩點A，B之間的距離為km.【變式備選】某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40°.開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米.問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？【解析】由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進20千米后到達B處.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得則sin2C=所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=在△MAC中，由正弦定理得從而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站.熱點考向2測量高度問題【方法點睛】高度問題的處理方法在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個關(guān)鍵．在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.【提醒】高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合.【例2】要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度.【解題指南】設(shè)出塔高x，先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和BD用x表示；再在△BDC中用余弦定理求得x.【規(guī)范解答】如圖，設(shè)電視塔AB的高為xm，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴電視塔高為40米.【反思·感悟】解決高度的問題主要是根據(jù)條件確定出所利用的三角形，準確地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相對應；分清已知和待求的關(guān)系，正確地選擇定理和公式，特別注意高度垂直地面構(gòu)成的是直角三角形.【變式訓練】某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高.【解析】如圖：在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得∴過B作BE⊥CD于E，顯然當人在E處時，測得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，∴BE＝DBsin15°＝

(米),∴在Rt△ABE中，所以塔高為米.熱點考向3測量角度的問題【方法點睛】測量角度問題的關(guān)鍵點解決測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．同時注意把所求量放在有關(guān)三角形中，有時直接解此三角形解不出來，需要先在其他三角形中求解相關(guān)量.【例3】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向、距離A處(-1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船.同時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時間？【解題指南】設(shè)出緝私船t小時后在D處追上走私船后，確定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出時間.【規(guī)范解答】設(shè)緝私船t小時后在D處追上走私船，則有CD=10t,BD=10t.在△ABC中，AB=-1,AC=2,∠BAC=120°.利用余弦定理可得BC=由正弦定理，得得∠ABC=45°，即BC與正北方向垂直.于是∠CBD=120°.在△BCD中，由正弦定理，得得∠BCD=30°,又

所以當緝私船沿東偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花小時.

【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理來解實際問題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕?另外要準確選擇恰當?shù)娜切?，把實際問題轉(zhuǎn)化到三角形中時，正確地表示出所用的邊和角.【變式訓練】(2012·上海高考)海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系(以1海里為單位長度)，則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處,如圖.現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動路徑可視為拋物線②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救援船出發(fā)t小時后，失事船所在位置的橫坐標為7t.(1)當t=0.5時，寫出失事船所在位置P的縱坐標.若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】(1)t=0.5時，P的橫坐標代入拋物線方程得P的縱坐標yP=3.由得救援船速度的大小為海里/時.由得故救援船速度的方向為北偏東度.(2)設(shè)救援船的時速為v海里，經(jīng)過t小時追上失事船，此時位置為(7t,12t2).由vt=整理得因為當且僅當t=1時等號成立,所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船.【變式備選】如圖,某污水處理廠要在一個長方體污水處理池的池底(ABCD)鋪設(shè)污水凈化管道(Rt△FHE,H是直角頂點)來處理污水,管道越長,污水凈化效果越好.設(shè)計要求管道的接口H是AB的中點,E，F(xiàn)分別落在線段BC,AD上.已知AB=20m,AD=10m,記∠BHE=θ.(1)試將污水凈化管道的長度L表示成θ的函數(shù),并寫出定義域；(2)若sinθ+cosθ=,求此時管道的長度L；(3)當θ取何值時,污水凈化效果最好?并求出此時管道的長度.【解析】(1)在Rt△BHE中，EH=，在Rt△AFH中，F(xiàn)H=,在Rt△EFH中，所以管道總長

(2)因為sinθ+cosθ=，所以sinθcosθ=,代入(1)中結(jié)論得L=20(+1)(m)；(3)因為=設(shè)sinθ+cosθ=t=sin(θ+),sinθcosθ=,∴又θ∈［］,t∈［］,所以此時答:當

時,鋪設(shè)的管道最長,為20(+1)m.1.(2013·漳州模擬)如圖，D，C，B三點在地面同一直線上，DC=a，從C，D兩點測得A點的仰角分別是β,α(α＜β)，則A點離地面的高度AB等于()【解析】選A.由已知得∠DAC=β-α,由正弦定理得，得而AB=AC·sinβ=2.(2013·龍巖模擬)如圖，一架直升飛機的航線和山頂在同一個鉛直平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔10千米，速度為180千米/小時，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過2分鐘后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開____千米.【解析】在△ABP中，∠BAP=30°