雙曲線知識點與性質(zhì)

雙曲線與方程【知識梳理】1、雙曲線的定義(1)平面內(nèi)，到兩定點F、F的距離之差的絕對值等于定長2a|FF|2a,a0的點的軌跡稱為雙曲線，其中兩1212定點F、F稱為雙曲線的焦點，定長2a稱為雙曲線的實軸長，線段|FFI的長稱為雙曲線的焦距.此定義為雙曲線1212的第一定義.【注】|PFJ|PFJ2a|『|，此時P點軌跡為兩條射線.(2)平面內(nèi)，到定點的距離與到定直線的距離比為定值ee1的點的軌跡稱為雙曲線，其中定點稱為雙曲線的焦點，定直線稱為雙曲線的準(zhǔn)線，定值e稱為雙曲線的離心率.此定義為雙曲線的第二定義.2、雙曲線的簡單性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程X2V2一二1a,b0a2b2y2X2——1a,b0a2b2頂點坐標(biāo)Aa,0B0,a焦點坐標(biāo)左焦點％c,0，右焦點F2c,0上焦點％0,c,下焦點F20,c虛軸與虛軸實軸長2a、虛軸長2b實軸長2a、虛軸長2b有界性|x|a|y|a，對稱性關(guān)于x軸對稱，關(guān)于y軸對稱，同時也關(guān)于原點對稱.3、漸近線雙曲線整旦a2b210,b0的漸近線為于b20，即:b0，或yb—X.a【注】2①與雙曲線土221具有相同漸近線的雙曲線方程可以設(shè)為0,a2b2a2b2②漸近線為ybX的雙曲線方程可以設(shè)為蘭丑0,aa2b2③共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.共軛雙曲線具有相同的漸近線.④等軸雙曲線：實軸與虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線.4、焦半徑雙曲線上任意一點？到雙曲線焦點F的距離稱為焦半徑.若P(x,y)為雙曲線擋里1a,b0上的任意一點，a2b2F(c,0),F(c,0)為雙曲線的左、右焦點，則|PF|exa,|PF|exa,其中e三.121020a5、通徑過雙曲線E旦1

a2b2且|AB|過雙曲線E旦1

a2b2且|AB|業(yè).a6、焦點三角形?為雙曲線擋y

a2 b21a,b0?為雙曲線擋y

a2 b2三角形.若FPF12,則焦點三角形的面積為：%2MT三角形.若FPF12,則焦點三角形的面積為：%2MT7、雙曲線的焦點到漸近線的距離為b(虛半軸長).8、雙曲線E-y21a,b0的焦點三角形的內(nèi)心的軌跡為xay0a2b29、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線l:AxByC0,雙曲線：蘭-y21a,b0,則a2b2l與相交a2A2b2B2C2；1與相切1與相切a2A2b2B2 C2；1與相離a2A2b2B2C2.10、平行于(不重合)漸近線的直線與雙曲線只有一個交點.【注】過平面內(nèi)一定點作直線與雙曲線只有一個交點，這樣的直線可以為4條、3條、2條，或者0條.11、焦點三角形角平分線的性質(zhì)F1PF2的角平分線上一點，且點P(x,y)是雙曲線蘭里1a,b0上的動點，F(xiàn),F是雙曲線的焦點，M是aF1PF2的角平分線上一點，且F2MMP0,則|OM|a,即動點M的點的軌跡為x2y2a2xa.12、雙曲線上任意兩點的坐標(biāo)性質(zhì)Ax,y,Bx,y為雙曲線12IL1a,b0上的任意兩點，且x1122a2b21x|，則電―史.2x2x2a212【推廣1】直線1過雙曲線業(yè)-y21a,ba2b20的中心，與雙曲線交于Ax,y,Bx,y兩點，1122P為雙曲線上的任意一點，則kkAPBP§"AP，'?在).【推廣2】設(shè)直線【推廣2】設(shè)直線1：ykxmm11

2為cd的中點，則k1k2土.0交雙曲線于S1a，b0于C、D兩點’交直線，：yk2x于點E.若E13、中點弦的斜率直線1過Mx0，y0y00與雙曲線蘭旦1a,ba2b20交于A,B兩點，且|AMb2x|BM|，則直線1的斜率kAB一.y°14、點P(x,y)(x0,y0)是雙曲線擋-y21a,ba2b2點，則|PM||PN|定值a2.0上的動點，過P作實軸的平行線，交漸近線于M,N兩15、點P(x,y)(x0,y0)是雙曲線I!-y21a,ba2b20上的動點，過P作漸近線的平行線，交漸近線于M,N兩點，則SOMPN定值*【典型例題】例1、雙曲線的漸近線方程為x例1、雙曲線的漸近線方程為x2y0，焦距為1。，這雙曲線的方程為x2x2 y2【變式】】若曲線亦1表示雙曲線，則k的取值X圍是【變式2】雙曲線:1的兩條漸近線的夾角為481有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程為X2y2rX2y1有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程為【變式3】已知橢圓亦荷】和雙曲線商7云【變式4】若橢圓擋旦1血【變式4】若橢圓擋旦1血

mnn0)和雙曲線蘭里1(a

ab0,b0)有相同焦點F、F,P為兩曲線的一個交1 2點，則|PF||PF|TOC\o"1-5"\h\z12【變式5】如果函數(shù)yX2的圖像與曲線C：X2y24恰好有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值X圍是()A.[1,1)B.1,0C.(,1][0,1D.[1,0](1,)一-X2【變式6】直線X2與雙曲線C:丁乎1的漸近線交于A,B兩點，設(shè)P為雙曲線C上的任意一點，若【變式6】OPaOAbOB(a,bR,O為坐標(biāo)原點)，則下列不等式恒成立的是()A.a2b22B.a2b2C.a2bC.a2b22D.a2b2X2y2【變式7】設(shè)連接雙曲線云X2y2【變式7】設(shè)連接雙曲線云b21與商171的四個頂點為四邊形面積為七,連接其四個焦點的四邊形面積為S,則寸的最大值為2S2例2、設(shè)F、F分別是雙曲線X2%1的左右焦點，若點P在雙曲線上，且PFPF=0,則PFPF=TOC\o"1-5"\h\z1291212【變式1】過雙曲線蘭里1的左焦點F的弦|AB|6，則ABF（F為右焦點）的周長為109122【變式2】雙曲線工里1的左、右焦點F、F,?是雙曲線上的動點，且|PFI9，則|PFI1620121121例3、設(shè)F1、「2是雙曲線彳y21的兩個焦點，點P是雙曲線的任意一點，且F1PF22，求PF1F2的面積.例4、已知直線ykx1與雙曲線3x2y21有入、B兩個不同的交點，如果以AB為直徑的圓恰好過原點O，試求k的值.例5、已知直線ykx1與雙曲線3x2y21相交于A、B兩點，那么是否存在實數(shù)k使得A、B兩點關(guān)于直線x2y0對稱？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.例6、已知雙曲線&孕1的右焦點為F,若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，求此直線的斜率的取值X圍為【變式1】已知曲線C：X2y|y|1(x|4)；畫出曲線C的圖像；若直線l：ykx1與曲線C有兩個公共點，求k的取值x圍；若P0,pp0,Q為曲線C上的點，求|PQ|的最小值.【變式2】直線l：axy10與曲線C：x22y21.若直線l與曲線C有且僅有一個交點，XX數(shù)a的取值X圍；若直線l被曲線C截得的弦長PQ2<1a2，XX數(shù)a的取值X圍；是否存在實數(shù)a，使得以？。為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.例7、已知F是雙曲線才—1的左焦點，AQ4),P是雙曲線右支上的動點，求|PF||PA|的最小值.M,N分別是圓x52y24和x5M,N分別是圓x52y24和x52y21上的點，則916|PM||PN|的最大值等于例8、已知動圓P與兩個定圓x52y2例8、已知動圓P與兩個定圓x52y2 1和x52y249都外切，求動圓圓^、P的軌跡方程.【變式1】ABC的頂點為A5,0,B5,0，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是【變式2】已知雙曲線的中心在原點，且一個焦點為FJ7,0,直線yx1與其相交于M、N兩點，線段MN的中點的橫坐標(biāo)為2，求此雙曲線的方程.例9、已知雙曲線號畚M若點M為雙曲線上任一點，則它到兩漸近線距離的乘積為——例10、焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線經(jīng)過原點，且兩條漸近線均與以點P(0,''2)為圓心，以1為半徑的圓相切，又知雙曲線C的一個焦點與P關(guān)于直線yx對稱求雙曲線的方程；設(shè)直線ymx1與雙曲線C的左支交于A,B兩點，另一直線l經(jīng)過點M(2,0)及AB的中點，求直線l在軸上的截距n的取值X圍.【變式】設(shè)直線l的方程為ykx1，等軸雙曲線C：x2y2a2右焦點為J2,0.求雙曲線的方程；設(shè)直線1與雙曲線的右支交于不同的兩點A、B,記AB中點為M，XX數(shù)k的取值X圍，并用k表示點M的坐標(biāo)；設(shè)點Q1,0，求直線QM在y軸上的截距的取值X圍.y2一例11、已知雙曲線C方程為：X21.已知直線xym0與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點在圓x2y25上，求m的值；設(shè)直線1是圓O：x2y22上動點P(x0,y0)(x0y00)處的切線，1與雙曲線C交于不同的兩點A、B，證明AOB的大小為定值.L?例12、已知中心在原點，頂點A、A在x軸上，其漸近線方程是y一一x,雙曲線過點P6,6.123(1)求雙曲線的方程;(2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重對，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線L使G(2)動直線l經(jīng)過證明你的結(jié)論.y2例13、已知點F、F為雙曲線C：x2二1b0的左、右焦點，過F作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙12b22曲線C于點M，且MF1F230.圓。的方程是x2y2b2.求雙曲線C的方程；過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P/P2,求町阿的值；過圓O上任意一點Qxo，yo作圓O的切線1交雙曲線C于A、B兩點，AB中