《二項式定理》試題庫

《二項式定理》試題庫第1組一、選擇題1．化簡(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得()A．x4 B．(x－1)4C．(x＋1)4 D．x5解析：原式＝(x－1＋1)4＝x4.故選A.答案：A2．(x＋2)n的展開式共有12項，則n等于()A．9 B．10C．11 D．8解析：∵(a＋b)n的展開式共有n＋1項，而(x＋2)n的展開式共有12項，∴n＝11.故選C.答案：C3．(1－i)10(i為虛數(shù)單位)的二項展開式中第七項為()A．－210 B．210C．－120i D．－210i解析：由通項公式得T7＝Ceq\o\al(6,10)·(－i)6＝－Ceq\o\al(6,10)＝－210.答案：A4．若Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn能被7整除，則x，n的值可能為()A．x＝5，n＝5 B．x＝5，n＝4C．x＝4，n＝4 D．x＝4，n＝3解析：Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn＝(1＋x)n－1，檢驗得B正確．答案：B5．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為()A．30 B．20C．15 D．10解析：只需求(1＋x)6的展開式中含x2項的系數(shù)即可，而含x2項的系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)＝15，故選C.答案：C6．若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b為有理數(shù))，則a＋b等于()A．45 B．55C．70 D．80解析：由二項式定理得(1＋eq\r(2))5＝1＋Ceq\o\al(1,5)·eq\r(2)＋Ceq\o\al(2,5)·(eq\r(2))2＋Ceq\o\al(3,5)·(eq\r(2))3＋Ceq\o\al(4,5)·(eq\r(2))4＋Ceq\o\al(5,5)·(eq\r(2))5＝1＋5eq\r(2)＋20＋20eq\r(2)＋20＋4eq\r(2)＝41＋29eq\r(2)，即a＝41，b＝29，所以a＋b＝70.答案：C二、填空題7．若x>0，設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))5的展開式中的第三項為M，第四項為N，則M＋N的最小值為________．解析：T3＝Ceq\o\al(2,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＝eq\f(5,4)x，T4＝Ceq\o\al(3,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3＝eq\f(5,2x)，故M＋N＝eq\f(5x,4)＋eq\f(5,2x)≥2eq\r(\f(25,8))＝eq\f(5\r(2),2).答案：eq\f(5\r(2),2)8．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，則實數(shù)a的值為________．解析：根據(jù)題意，由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a，由于2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，根據(jù)二項式定理展開式可知，2×(11－1)10被11除的余數(shù)為2，從而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.答案：99．(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝________.(用數(shù)字填寫答案)解析：二項展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)x10－rar，當10－r＝7時，r＝3，T4＝Ceq\o\al(3,10)a3x7，則Ceq\o\al(3,10)a3＝15，故a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題10．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(3,x))))8的展開式中，求：(1)第5項的二項式系數(shù)及第5項的系數(shù)；(2)倒數(shù)第3項．解：方法一：利用二項式的展開式解決．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(3,x))))8＝(2x2)8－Ceq\o\al(1,8)(2x2)7·eq\f(1,\r(3,x))＋Ceq\o\al(2,8)(2x2)6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2－Ceq\o\al(3,8)(2x2)5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))3＋Ceq\o\al(4,8)(2x2)4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))4－Ceq\o\al(5,8)(2x2)3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))5＋Ceq\o\al(6,8)(2x2)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))6－Ceq\o\al(7,8)(2x2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))7＋Ceq\o\al(8,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))8，則第5項的二項式系數(shù)為Ceq\o\al(4,8)＝70，第5項的系數(shù)為Ceq\o\al(4,8)·24＝1120.(2)由(1)中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(3,x))))8的展開式可知倒數(shù)第3項為Ceq\o\al(6,8)·(2x2)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))6＝112x2.方法二：利用二項展開式的通項公式．(1)T5＝Ceq\o\al(4,8)·(2x2)8－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))4＝Ceq\o\al(4,8)·24·x，則第5項的二項式系數(shù)是Ceq\o\al(4,8)＝70，第5項的系數(shù)是Ceq\o\al(4,8)·24＝1120.(2)展開式中的倒數(shù)第3項即為第7項，T7＝Ceq\o\al(6,8)·(2x2)8－6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))6＝112x2.11．求證：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．證明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝eq\f(25n－1,2－1)＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝Ceq\o\al(0,n)·31n＋Ceq\o\al(1,n)·31n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·31＋Ceq\o\al(n,n)－1＝31(Ceq\o\al(0,n)·31n－1＋Ceq\o\al(1,n)·31n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n))，顯然Ceq\o\al(0,n)·31n－1＋Ceq\o\al(1,n)·31n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)為整數(shù)，∴原式能被31整除．12．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求：(1)展開式中含x的一次冪的項；(2)展開式中的所有有理項．解：(1)由已知可得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)·eq\f(1,22)＝2Ceq\o\al(1,n)·eq\f(1,2)，解得n＝8或n＝1(舍去)．Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)(eq\r(x))8－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(4,x))))k＝Ceq\o\al(k,8)·2－k·x4－eq\f(3,4)k，令4－eq\f(3,4)k＝1，得k＝4.所以x的一次項為T5＝Ceq\o\al(4,8)2－4x＝eq\f(35,8)x.(2)令4－eq\f(3,4)k∈Z，且0≤k≤8，則k＝0,4,8，所以含x的有理項分別為T1＝x4，T5＝eq\f(35,8)x，T9＝eq\f(1,256x2).第2組一、選擇題1．在(x－eq\f(1,2x))10的二項展開式中，x4的系數(shù)為()A．－120 B．120C．－15 D．15[答案]C[解析]Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)x10－r(－eq\f(1,2x))r＝(－eq\f(1,2))r·Ceq\o\al(r,10)x10－2r令10－2r＝4，則r＝3.∴x4的系數(shù)為(－eq\f(1,2))3Ceq\o\al(3,10)＝－15.2．在(eq\f(\r(x),2)－eq\f(2,\r(x)))6的二項展開式中，x2的系數(shù)為()A．－eq\f(15,4) B．eq\f(15,4)C．－eq\f(3,8) D．eq\f(3,8)[答案]C[解析]∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(eq\f(\r(x),2))6－r·(－eq\f(2,\r(x)))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)r22r－6x3－r(r＝0,1,2，…，6)，令3－r＝2得r＝1.∴x2的系數(shù)為Ceq\o\al(1,6)(－1)1·2－4＝－eq\f(3,8)，故選C．3．(2015·湖北理，3)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A．29 B．210C．211 D．212[答案]A[解析]由題意可得，二項式的展開式滿足Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xr，且有Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，因此n＝10.令x＝1，則(1＋x)n＝210，即展開式中所有項的二項式系數(shù)和為210；令x＝－1，則(1＋x)n＝0，即展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)與偶數(shù)項的二項式系數(shù)之差為0，因此奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為eq\f(1,2)(210＋0)＝29.故本題正確答案為A．4．(2014·湖南理，4)(eq\f(1,2)x－2y)5的展開式中x2y3的系數(shù)是()A．－20 B．－5C．5 D．20[答案]A[解析]展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(eq\f(1,2)x)5－r·(－2y)r＝(eq\f(1,2))5－r·(－2)rCeq\o\al(r,5)x5－ryr.當r＝3時為T4＝(eq\f(1,2))2(－2)3Ceq\o\al(3,5)x2y3＝－20x2y3，故選A．5．(2013·遼寧理，7)使(3x＋eq\f(1,x\r(x)))n(n∈N＋)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A．4 B．5C．6 D．7[答案]B[解析]由二項式的通項公式得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)3n－rxn－eq\f(5,2)r，若展開式中含有常數(shù)項，則n－eq\f(5,2)r＝0，即n＝eq\f(5,2)r，所以n最小值為5.選B．6．在(1－x3)(1＋x)10的展開式中x5的系數(shù)是()A．－297 B．－252C．297 D．207[答案]D[解析]x5應(yīng)是(1＋x)10中含x5項與含x2項．∴其系數(shù)為Ceq\o\al(5,10)＋Ceq\o\al(2,10)(－1)＝207.二、填空題7．(2015·重慶理，12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2\r(x))))5的展開式中x8的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)．[答案]eq\f(5,2)[解析]由二項式定理得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x3)5－r(eq\f(1,2\r(x)))r＝Ceq\o\al(r,5)(eq\f(1,2))rx15－eq\f(7r,2)令15－eq\f(7r,2)＝8時，易得r＝2，故x8系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,2))2＝eq\f(5,2).8．(2013·景德鎮(zhèn)市高二質(zhì)檢)設(shè)a＝eq\i\in(0,π,)sinxdx，則二項式(aeq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6的展開式中的常數(shù)項等于________.[答案]－160[解析]a＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＝(－cosx)|eq\o\al(π,0)＝2，二項式(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2eq\r(x))6－r·(－eq\f(1,\r(x)))r＝(－1)r·26－r·Ceq\o\al(r,6)x3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常數(shù)項為(－1)3·23·Ceq\o\al(3,6)＝－160.9．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，則n等于________.[答案]4[解析]令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.三、解答題10．求二項式(a＋2b)4的展開式．[解析]根據(jù)二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)beq\o\al(n,n)得(a＋2b)4＝Ceq\o\al(0,4)a4＋Ceq\o\al(1,4)a3(2b)＋Ceq\o\al(2,4)a2(2b)2＋Ceq\o\al(3,4)a(2b)3＋Ceq\o\al(4,4)(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.第3組一、選擇題11．若二項式(eq\r(x)－eq\f(2,x))n的展開式中第5項是常數(shù)項，則自然數(shù)n的值可能為()A．6 B．10C．12 D．15[答案]C[解析]∵T5＝Ceq\o\al(4,n)(eq\r(x))n－4·(－eq\f(2,x))4＝24·Ceq\o\al(4,n)xeq\f(n－12,2)是常數(shù)項，∴eq\f(n－12,2)＝0，∴n＝12.12．(1＋2eq\r(x))3(1－eq\r(3,x))5的展開式中x的系數(shù)是()A．－4 B．－2C．2 D．4[答案]C[解析](1＋2eq\r(x))3(1－eq\r(3,x))5＝(1＋6eq\r(x)＋12x＋8xeq\r(x))(1－eq\r(3,x))5，故(1＋2eq\r(x))3(1－eq\r(3,x))5的展開式中含x的項為1×Ceq\o\al(3,5)(－eq\r(3,x))3＋12xCeq\o\al(0,5)＝－10x＋12x＝2x，所以x的系數(shù)為2.13．若(1＋2x)6的展開式中的第2項大于它的相鄰兩項，則x的取值范圍是()A．eq\f(1,12)＜x＜eq\f(1,5) B．eq\f(1,6)＜x＜eq\f(1,5)C．eq\f(1,12)＜x＜eq\f(2,3) D．eq\f(1,6)＜x＜eq\f(2,5)[答案]A[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(T2>T1，,T2>T3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,6)2x>1，,C\o\al(1,6)2x>C\o\al(2,6)2x2.))∴eq\f(1,12)＜x＜eq\f(1,5).14.(2015·福州市八縣高二期末)已知袋中裝有標號為1,2,3的三個小球，從中任取一個小球(取后放回)，連取三次，則取到的小球中最大標號是3的概率為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(19,27)C．eq\f(20,27) D．eq\f(7,9)[答案]B[解析]從中任取一個小球(取后放回)，連取三次，取法為3×3×3＝27種，連取三次，則取到的小球的最大標號為3，分三類，第一類，3次都取到3，只有1種，第二類，2次取到3，Ceq\o\al(2,3)·2＝6種，第三類，1次取到3，Ceq\o\al(1,3)·22＝12種，故取到的小球的最大標號為3的種數(shù)為1＋6＋12＝19，故取到的小球的最大標號是3的概率為P＝eq\f(19,27).故選B．二、填空題15．(1＋x＋x2)(x－eq\f(1,x))6的展開式中的常數(shù)項為________.[答案]－5[解析](1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6＋x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6，∴要找出eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6中的常數(shù)項，eq\f(1,x)項的系數(shù)，eq\f(1,x2)項的系數(shù)，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r(－1)rx－r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，無解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常數(shù)項為－Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＝－5.16．若x>0，設(shè)(eq\f(x,2)＋eq\f(1,x))5的展開式中的第三項為M，第四項為N，則M＋N的最小值為________.[答案]eq\f(5\r(2),2)[解析]T3＝Ceq\o\al(2,5)·(eq\f(x,2))3(eq\f(1,x))2＝eq\f(5,4)x，T4＝Ceq\o\al(3,5)·(eq\f(x,2))2·(eq\f(1,x))3＝eq\f(5,2x)，∴M＋N＝eq\f(5x,4)＋eq\f(5,2x)≥2eq\r(\f(25,8))＝eq\f(5\r(2),2).三、解答題17．(2013·大慶實驗中學(xué)期中)在二項式(eq\r(3,x)－eq\f(1,2\r(3,x)))n的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列．(1)求n的值；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(3)求展開式中系數(shù)最大的項．[解析](1)Ceq\o\al(0,n)＋eq\f(1,4)Ceq\o\al(2,n)＝2·eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)，∴n2－9n＋8＝0；∵n≥2，∴n＝8.(2)∵n＝8，∴展開式共有9項，故二項式系數(shù)最大的項為第5項，即T5＝Ceq\o\al(4,8)(eq\r(3,x))4·(－eq\f(1,2\r(3,x)))4＝eq\f(35,8).(3)研究系數(shù)絕對值即可，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)\f(1,2)r≥C\o\al(r＋1,8)\f(1,2)r＋1，,C\o\al(r,8)\f(1,2)r≥C\o\al(r－1,8)\f(1,2)r－1，))解得2≤r≤3，∵r∈N，∴r＝2或3.∵r＝3時，系數(shù)為負．∴系數(shù)最大的項為T3＝7xeq\f(4,3).18．(2015·邳州市高二期末)已知m，n是正整數(shù)，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展開式中x的系數(shù)為7，(1)試求f(x)的展開式中的x2的系數(shù)的最小值；(2)對于使f(x)的展開式的x2的系數(shù)為最小的m，n，求出此時x3的系數(shù)；(3)利用(1)中m與n的值，求f的近似值(精確到[解析](1)根據(jù)題意得：Ceq\o\al(1,m)＋Ceq\o\al(1,n)＝7，即m＋n＝7①，f(x)的展開式中的x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(mm－1,2)＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(m2＋n2－m－n,2).將①變形為n＝7－m代入上式得：x2的系數(shù)為m2－7m＋21＝(m－eq\f(7,2))2＋eq\f(35,4)，故當m＝3，或m＝4時，x2的系數(shù)的最小值為9.(2)當m＝3、n＝4時，x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＝5；當m＝4、n＝3時，x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3)＝5.(3)f＝(1＋4＋(1＋3≈Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)×＋Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,3)×＝.第4組1.3.1二項式定理A組1.若展開式的第4項為含x3的項,則n等于() .9 解析:展開式的通項是Tk+1=·xn-k··(-1)k·xn-2k,k∈{0,1,2,…,n},因為當k+1=4時,n-2k=3,所以n=9.答案:B2.化簡多項式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結(jié)果是()A.(2x+2)5 5 .(2x-1)5解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.答案:D3.的展開式中含x的負整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是() .2 解析:展開式的通項是Tr+1=,由0≤r≤10,且為負整數(shù),得r=4,6,8,10,即有4項含x的負整數(shù)指數(shù)冪.答案:C4.對于二項式(n∈N*),有以下四種判斷:①存在n∈N*,展開式中有常數(shù)項;②對任意n∈N*,展開式中沒有常數(shù)項;③對任意n∈N*,展開式中沒有x的一次項;④存在n∈N*,展開式中有x的一次項.其中正確的是()A.①與③ B.②與③C.②與④ D.①與④解析:二項式的展開式的通項為Tk+1=x4k-n,由通項公式可知,當n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)時,展開式中分別存在常數(shù)項和一次項.答案:D5.(2014湖北高考)若二項式的展開式中的系數(shù)是84,則實數(shù)a等于() B. D.解析:二項式通項Tr+1=(2x)7-r(ax-1)r=27-rarx7-2r.由題意知7-2r=-3,則r=5.令22a5=84,解得a=1.答案:C6.(a+x)5展開式中x2的系數(shù)為10,則實數(shù)a的值為.解析:二項展開式的通項是Tk+1=a5-kxk,所以T3=a3x2=10a3x2.所以10a3=10,解得a=1.答案:17.已知的展開式中x3的系數(shù)為,則常數(shù)a的值為.解析:展開式的通項是Tr+1=a9-r·(-1)r·,令r-9=3,得r=8.依題意,得(-1)8×2-4·a9-8=,解得a=4.答案:4除以9的余數(shù)是.解析:233=811=(9-1)11=×911-×910+×99-…+×9-,除最后一項-1外,其余各項都能被9整除,故余數(shù)為9-1=8.答案:89.已知在的展開式中,第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比為56∶3,求展開式中的常數(shù)項.解:T5=)n-4·24x-8=16,T3=)n-2·22x-4=4.由題意知,,解得n=10.Tk+1=)10-k·2kx-2k=2k,令5-=0,解得k=2,∴展開式中的常數(shù)項為×22=180.10.求的展開式中x2y2的系數(shù).解:設(shè)的第r+1項中含有x2y2,則Tr+1=·(-1)r·,因此8-r-=2,r-=2,即r=4.故x2y2的系數(shù)為×(-1)4==70.11.已知在的展開式中,第9項為常數(shù)項,求:(1)n的值;(2)展開式中x5的系數(shù);(3)含x的整數(shù)次冪的項的項數(shù).解:已知二項展開式的通項Tk+1==(-1)k.(1)因為第9項為常數(shù)項,即當k=8時,2n-k=0,解得n=10.(2)令2n-k=5,得k=(2n-5)=6,所以x5的系數(shù)為(-1)6×.(3)要使2n-k為整數(shù),即為整數(shù),只需k為偶數(shù),由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6項,分別為展開式的第1,3,5,7,9,11項.B組1.在(1-x3)(1+x)10的展開式中,x5的系數(shù)是() B.-252 解析:(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10展開式中含x5的項的系數(shù)為=207.答案:D+4-8+…+(-2)n等于() -1 .(-1)n解析:逆用二項式定理,將1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=(1-2)n=(-1)n.答案:C3.(2014湖南高考)的展開式中x2y3的系數(shù)是() -5 解析:由已知,得Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.答案:A4.(2014四川高考)在x(1+x)6的展開式中,含x3項的系數(shù)為() .20 解析:含x3的項是由(1+x)6展開式中含x2的項與x相乘得到的,又(1+x)6展開式中含x2的項的系數(shù)為=15,故含x3項的系數(shù)是15.答案:C5.若(1+2x)6的展開式中的第2項大于它的相鄰兩項,則x的取值范圍是.解析:由解得<x<.答案:6.設(shè)m為大于1且小于10的正整數(shù),若的展開式中有不含x的項,滿足這樣條件的m有個.解析:的展開式的通項為Tr+1=·(x3)m-r·=(-1)r··x3m-5r因為展開式中有不含x的項,所以有3m-5r=0,即3m=5r.又1<m<10(0≤r≤m),且m∈N*,r∈N,所以滿足條件的m只有m=5.答案:17.(2014安徽高考)設(shè)a≠0,n是大于1的自然數(shù),的展開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則a=.解析:由題意得a1==3,∴n=3a;a2==4,∴n2-n=8a2.將n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.答案:38.已知的展開式中,第4項的二項式系數(shù)是倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)的7倍,求展開式中x的一次項.解:依題意=7,整理可得(n-1)(n-2)=6×7,因為n>0,所以n=8.設(shè)展開式中含x的項是第k+1項,則Tk+1=)8-k=(-2)k.所以=1,解得k=2.故展開式中含x的項為第3項,即T3=(-2)2x=112x.9.(2014山東高考改編)若的展開式中x3項的系數(shù)為20,求a2+b2的最小值.解:的展開式的通項為Tr+1=(ax2)6-r·a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3,由a6-3b3=20得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,故a2+b2的最小值為2.10.(1)求(x2-x+1)(1+x)8展開式中x4項的系數(shù);(2)求(1-x)5(1-2x)6展開式中x3項的系數(shù).解:(1)(1+x)8展開式中x2,x3,x4的系數(shù)分別為,(1+x)8與(x2-x+1)相乘后,得x4項的系數(shù)為=42.(2)(1-x)5的展開式中,x0,x1,x2,x3項的系數(shù)分別為,-,-,(1-2x)6的展開式中,x0,x1,x2,x3項的系數(shù)依次為,(-2),(-2)2,(-2)3,因此,(1-x)5(1-2x)6的展開式中,x3項的系數(shù)是·(-2)3·+(-)·(-2)2··(-2)·+(-)·=-590.11.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展開式中含x項的系數(shù)為36,求展開式中含x2項的系數(shù)的最小值.解:(1+2x)m+(1+4x)n展開式中含x的項為·2x+·4x=(2+4)x,∴2+4=36,即m+2n=18.(1+2x)m+(1+4x)n展開式中含x2的項的系數(shù)為t=22+42=2m2-2m+8∵m+2n=18,∴m=18-2n.∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612=16,∴當n=時,t取最小值,但n∈N*,∴當n=5時,t即x2項的系數(shù)最小,最小值為272.第5組典題探究例1：．在的二項展開式中，的系數(shù)為（）A．-10B．10C．-40D．40例2：設(shè)則=例3:的展開式中的系數(shù)是．例4：的展開式中項的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）演練方陣A檔（鞏固專練）1．的展開式中的系數(shù)是 ()A．20 B．40 C．80 D．1602.的展開式的常數(shù)項是 ()A．20 B．－20 C．40 D．－403．若(1＋eq\r(2))4＝a＋beq\r(2)(a、b為有理數(shù))，則a＋b等于 ()A．33 B．29 C．23 D．194．在(1－x)5－(1－x)6的展開式中，含x3的項的系數(shù)是 ()A．－5 B．5 C．－10 D．105．(x－eq\r(2)y)10的展開式中x6y4項的系數(shù)是 ()A．840 B．－840 C．210 D．－2106．設(shè)，則S等于 ()A．(x－1)3 B．(x－2)3C．x3 D．(x＋1)37．展開式中x的系數(shù)是 ()A．－4 B．－2C．2 D．48．在的展開式中含有常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為 ()A．4 B．5 C．6 D．79．若(1－2x)5的展開式中，第2項小于第1項，且不小于第3項，則x的取值范圍是()A． B． C．D．10．(1＋x＋x2)(x－eq\f(1,x))6的展開式中的常數(shù)項為________．B檔（提升精練）1．已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝729，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)的值等于 ()A．64 B．32 C．63 D．312．233除以9的余數(shù)是()A．1 B．2 C．4 D．83．(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展開式中x3項的系數(shù)是 ()A．74 B．121 C．－74 D．－1214．若(x＋3y)n的展開式中各項系數(shù)的和等于(7a＋b)10的展開式中二項式系數(shù)的和，則n的值為 ()A．15 B．10 C．8 D．55．(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，則a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7等于()A．32 B．－32 C．－33 D．－316．(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展開式中x的系數(shù)是 ()A．－4 B．－3 C．3 D．47．(x＋2)10(x2－1)的展開式中x10的系數(shù)為______．8.展開式第9項與第10項二項式系數(shù)相等，求x的一次項系數(shù)．9．設(shè)a>0，若(1＋axeq\f(1,2))n的展開式中含x2項的系數(shù)等于含x項的系數(shù)的9倍，且展開式中第3項等于135x，求a的值．10．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展開式中含x項的系數(shù)為36，求展開式中含x2項的系數(shù)最小值．C檔（跨越導(dǎo)練）1.二項式(3x－eq\f(2,\r(x)))n的展開式中的第9項是常數(shù)項，則n的值是()A.4 B.8C.11 D.122.若實數(shù)a＝2－eq\r(2)，則a10－2Ceq\o\al(1,10)a9＋22Ceq\o\al(2,10)a8－…＋210＝()A.32 B.－32C.1024 D.5123.已知的展開式中各項系數(shù)之和為256，則展開式中第7項的系數(shù)是()A.－24 B.24C.－252 D.2524.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8＝()A.180 B.90C.－5 D.55.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是________．6.二項式(eq\f(2,x)＋x)(1－eq\r(x))4的展開式中x的系數(shù)是________．7.若n是正整數(shù)，則7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)除以9的余數(shù)是________．8.若(x2－eq\f(1,ax))9(a∈R)的展開式中x9的系數(shù)是－eq\f(21,2)，求的值．9.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.10.已知(eq\f(1,2)＋2x)n.(1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)；(2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項．成長足跡課后檢測

二項式定理公式及性質(zhì)的應(yīng)用典題探究例1：答案：D解析：Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,5)·(2x2)5－r·x－r＝(－1)rCeq\o\al(r,5)·25－r·x10－3r，令10－3r＝1?r＝3，∴T4＝－Ceq\o\al(3,5)·22x＝－40x.例2：答案：30解析：展開式中有兩種出現(xiàn)，，，所以相加答案為30例3：答案：160解析：所以r=3,所以系數(shù)為160例4：答案：80解析：所以當r=2時候系數(shù)為80:演練方陣A檔（鞏固專練）1：答案：D解析：2：答案：B解析:常數(shù)項為-203：答案：B解析:,所以a=17,b=124：答案：D解析:中，而中兩式相減得5：答案：A解析：6：答案：C解析：把整個式子可以看成所以為7：答案：C解析：展開式一項為而第二個式子展開為8：答案：B解析：所以為整數(shù)所以最小值為59：答案：B解析：10：答案：-5解析:有三種產(chǎn)生常數(shù)項的方法①，常數(shù)為②，不符合題意③，，常數(shù)項為15，相加答案為-5B檔（提升精練）1：答案：B解析：原式可以合成為，所以2：答案：B解析:展開式子中沒有9的只有最后一項-11所以余數(shù)為23：答案：D解析：4：答案：D解析:二項式系數(shù)之和為各項系數(shù)之和令，所以5：答案：D解析：令令所以6：答案：B解析：展開式通項為，，共有三種情況7：答案：179解析：兩種方式產(chǎn)生，第一種，第二種相加為1798．解Ceq\o\al(8,n)＝Ceq\o\al(9,n)，∴n＝17，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,17)xeq\f(17－r,2)·2r·x－eq\f(r,3)，∴eq\f(17－r,2)－eq\f(r,3)＝1，∴r＝9，∴T10＝Ceq\o\al(9,17)·x4·29·x－3＝Ceq\o\al(9,17)·29·x，其一次項系數(shù)為Ceq\o\al(9,17)29.9．解通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(axeq\f(1,2))r＝Ceq\o\al(r,n)·ar·xeq\f(r,2).若含x2項，則r＝4，此時的系數(shù)為Ceq\o\al(4,n)·a4；若含x項，則r＝2，此時的系數(shù)為Ceq\o\al(2,n)·a2.根據(jù)題意，有Ceq\o\al(4,n)a4＝9Ceq\o\al(2,n)a2，即Ceq\o\al(4,n)a2＝9Ceq\o\al(2,n).①又T3＝135x，即有Ceq\o\al(2,n)a2＝135.②由①②兩式相除，得eq\f(C\o\al(4,n),C\o\al(2,n))＝eq\f(9C\o\al(2,n),135).結(jié)合組合數(shù)公式，整理可得3n2－23n＋30＝0，解得n＝6，或n＝eq\f(5,3)(舍去)．將n＝6代入②中，得15a2＝135，∴a2＝9.∵a>0，∴a＝3.10．解(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開式中含x的項為Ceq\o\al(1,m)·2x＋Ceq\o\al(1,n)·4x＝(2Ceq\o\al(1,m)＋4Ceq\o\al(1,n))x，∴2Ceq\o\al(1,m)＋4Ceq\o\al(1,n)＝36，即m＋2n＝18，(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開式中含x2項的系數(shù)為t＝Ceq\o\al(2,m)22＋Ceq\o\al(2,n)42＝2m2－2m＋8n2－8n，∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n＝16n2－148n＋612∴當n＝eq\f(37,8)時，t取最小值，但n∈N*，∴n＝5時，t即x2項的系數(shù)最小，最小值為272.C檔（跨越導(dǎo)練）1：答案：D解析：二項式(3x－eq\f(2,\r(x)))n的展開式的通項是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·(3x)n－r·(－eq\f(2,\r(x)))r＝Ceq\o\al(r,n)·3n－r·(－2)r·xn－eq\f(3,2)r，依題意得n－eq\f(3,2)×8＝0，所以n＝12.2：答案：答案：A解析:由題意得a10－2Ceq\o\al(1,10)a9＋22Ceq\o\al(2,10)a8－…＋210＝(a－2)10，又a＝2－eq\r(2)，所以原式＝(2－eq\r(2)－2)10＝32.3：答案：答案：D解析：令x＝1可得各項系數(shù)之和為2n＝256，則n＝8，故展開式中第7項的系數(shù)為Ceq\o\al(6,8)×32×(－1)6＝252.4.答案：A解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通項公式為：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8時，第9項的系數(shù)．所以a8＝Ceq\o\al(8,10)22(－1)8＝180.故選A.5：答案：6解析：(x＋1)10展開式的各項系數(shù)為其二項式系數(shù)，當n＝10時，展開式的中間項第六項的二項式系數(shù)最大，故k的最大值為6.6：答案：3解析：利用分步計數(shù)原理與組合數(shù)公式，符合題目要求的項有eq\f(2,x)·(－eq\r(x))4和x·14，求和后可得3x，即展開式中x的系數(shù)為3.7：答案：7或0解析：7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)＝(7＋1)n－Ceq\o\al(n,n)＝8n－1＝(9－1)n－1＝Ceq\o\al(0,n)9n(－1)0＋Ceq\o\al(1,n)9n－1(－1)1＋…＋Ceq\o\al(n,n)90(－1)n－1，當n＝2k時，余數(shù)為0；當n＝2k＋1時，余數(shù)為7.8：解析：解：由題意得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(x2)9－r(－1)r(eq\f(1,ax))r＝(－1)rCeq\o\al(r,9)x18－3req\f(1,ar)，令18－3r＝9得r＝3，所以－Ceq\o\al(3,9)eq\f(1,a3)＝－eq\f(21,2)，解得a＝2，所以9：解析：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， ①令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ②(1)∵a0＝Ceq\o\al(0,7)＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝eq\f(－1－37,2)＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝eq\f(－1＋37,2)＝1093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)．∴由(2)、(3)即可得其值為2187.10：解析：解：(1)∵Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)＝2Ceq\o\al(5,n)，∴n2－21n＋98＝0.∵n＝7或n＝14，當n＝7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5.∴T4的系數(shù)＝Ceq\o\al(3,7)(eq\f(1,2))423＝eq\f(35,2)，T5的系數(shù)＝Ceq\o\al(4,7)(eq\f(1,2))324＝70.當n＝14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8.∴T8的系數(shù)＝Ceq\o\al(7,14)(eq\f(1,2))727＝3432.(2)∵Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．設(shè)Tk＋1項的系數(shù)最大，∵(eq\f(1,2)＋2x)12＝(eq\f(1,2))12(1＋4x)12，∴<k<，∴k＝10.∴展開式中系數(shù)最大的項為T11，T11＝Ceq\o\al(10,12)·(eq\f(1,2))2·210·x10＝16896x10.第6組、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1.（2015陜西高考真題）二項式的展開式中的系數(shù)為15，則（）A．4B．5C．6D．72.在的展開式中，項的系數(shù)是項系數(shù)和項系數(shù)的等比中項，則實數(shù)的值為A. B. C. D.3.已知，則（）B.180C.45D.-454.的二項展開式中的一項是（）（A）（B）（C）（D）5.設(shè)m為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，若13=7，則＝() 6.在中，若則自然數(shù)的值是（） 7.若二項式的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)（）B.C.1D.8.使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的（）（A）（B）（C）（D）9.已知的最小值是，則二項式展開式中項的系數(shù)為（）A．B．C．D．10.設(shè)是展開式中項的系數(shù)，則等于 （） C. D.11.的展開式中項的系數(shù)為A、45B、72C、60D、12012.使得A.B.C.D.、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）13.設(shè)（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，則|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=．14.二項式的展開式中常數(shù)項為（用數(shù)字作答）。15.的展開式中的系數(shù)為。(用數(shù)字填寫答案)16.設(shè)二項式的展開式中常數(shù)項為，則________。17.的展開式中，的系數(shù)為15，則a=________.(用數(shù)字填寫答案)18.設(shè)是大于1的自然數(shù)，的展開式為。若點的位置如圖所示，則。、解答題（本大題共2小題，共28分）19.已知，求（Ⅰ）的值（Ⅱ）及的值；（Ⅲ）各項二項式系數(shù)和。20.已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n(n∈N＋)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10∶1.(1)求展開式中各項系數(shù)的和；(2)求展開式中含x的項；(3)求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項．

第7組0.衡水萬卷作業(yè)（四）答案解析、選擇題1.【答案】C【解析】試題分析：二項式的展開式的通項是，令r=2得的系數(shù)是，因為的系數(shù)為15，所以=15，即，解得：n=6或n=-5,因為n,所以n=6，故選C?？键c：二項式定理．2.【答案】A解析：展開式的通項為：，∴項的系數(shù)是，項的系數(shù)是，項的系數(shù)是，∵項的系數(shù)是的系數(shù)與項系數(shù)的等比中項，∴，∴a=．故選：A．【思路點撥】先寫成展開式的通項，進而可得項的系數(shù)，利用項的系數(shù)是的系數(shù)與項系數(shù)的等比中項，可建立方程，從而求出的值．3.【答案】B解析：令t=1-x，則x=1-t，所以有，因為，令r=8，得，所以選B..【思路點撥】可先用換元法轉(zhuǎn)化為標準的二項展開式，再利用通項公式求系數(shù).【解析】【命題意圖】本題主要考查二項式系數(shù)最大值及組合數(shù)公式，考查方程思想，是容易題.【解析】由題知=，=，∴13=7，即=，解得=6，故選B.【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】、填空題13.256．分析： 由題意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值．解答： 由題意可得（1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256，故答案為：256．點評： 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】－10解析：因為，由，得r=3,所以展開式中常數(shù)項為.【思路點撥】一般遇到二項展開式的某項或某項系數(shù)問題，通常利用展開式的通項公式解答.【解析】16.【解析】17.【解析】18.答案：3，解析：由圖易知∴，∴，解得。、解答題19.（Ⅰ）令，則（Ⅱ）令，則，令，則于是；（Ⅲ）各項二項式系數(shù)和20.由題意知，第五項系數(shù)為Ceq\o\al(4,n)·(－2)4，第三項的系數(shù)為Ceq\o\al(2,n)·(－2)2，則有＝eq\f(10,1)，化簡得n2+5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各項系數(shù)的和為()8＝1.(2)通項公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)·(eq\r(x))8－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x2)))k＝Ceq\o\al(k,8)·(－2)k·xeq\f(8－k,2)－2k，令eq\f(8－k,2)－2k＝eq\f(3,2)，則k＝1，故展開式中含xeq\f(3,2)的項為T2＝－16xeq\f(3,2).(3)設(shè)展開式中的第k項，第k＋1項，第k＋2項的系數(shù)絕對值分別為Ceq\o\al(k－1,8)·2k－1，Ceq\o\al(k,8)·2k，Ceq\o\al(k＋1,8)·2k＋1，若第k＋1項的系數(shù)絕對值最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k－1,8)·2k－1≤C\o\al(k,8)·2k,C\o\al(k＋1,8)·2k＋1≤C\o\al(k,8)·2k))，解得5≤k≤6.又T6的系數(shù)為負，∴系數(shù)最大的項為T7＝1792x－11.由n＝8知第5項二項式系數(shù)最大，此時T5＝1120x－6.寫出的展開式？寫出（2a+3b）展開式中的第三項？寫出展開式的通項？填空：；第4項的二項式系數(shù)第4項的系數(shù)5．求展開式中含a的項的系數(shù)6、求7、求展開式中的常數(shù)項？第8組一、選擇題1．二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))6的展開式中的常數(shù)項是()A．20B．－20C．160 D．－160解析二項式(2x－eq\f(1,x))6的展開式的通項是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(2x)6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二項式(2x－eq\f(1,x))6的展開式中的常數(shù)項是Ceq\o\al(3,6)·26－3·(－1)3＝－160.答案D2．若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n的展開式中第5項是常數(shù)項，則正整數(shù)n的值可能為()．A．6B．10C．12解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))r＝(－2)rCeq\o\al(r,n)xeq\f(n－3r,2)，當r＝4時，eq\f(n－3r,2)＝0，又n∈N*，∴n＝12.答案C3．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))8展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是 ()．A．28 B．38 C．1或38 解析由題意知Ceq\o\al(4,8)·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項系數(shù)和為(1－a)8＝1或38.答案C4．設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,\r(x))))n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數(shù)為()．A．－150B．150C．300解析由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(5x)4－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)r54－rCeq\o\al(r,4)x4－eq\f(3r,2)，令4－eq\f(3r,2)＝1，得r＝2，T3＝150x.答案B5．設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，則a＝()．A．0 B．1 C．11 D．12解析512012＋a＝(13×4－1)2012＋a被13整除余1＋a，結(jié)合選項可得a＝12時，512012＋a能被13整除．答案D6．已知0<a<1，方程a|x|＝|logax|的實根個數(shù)為n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，則a1＝ ()．A．－10 B．9 C．11 D．－12解析作出y＝a|x|(a>0)與y＝|logax|的大致圖象如圖所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋Ceq\o\al(10,11)＝－2＋11＝9.答案B二、填空題7．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3\r(x))))18的展開式中含x15的項的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示)．解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,18)x18－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3\r(x))))r＝(－1)rCeq\o\al(r,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))rx18－eq\f(3,2)r，令18－eq\f(3,2)r＝15，解得r＝2.所以所求系數(shù)為(－1)2·Ceq\o\al(2,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝17.答案178．已知(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N*且2≤n≤8，則n＝________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n展開式中的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xn－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))r＝Ceq\o\al(r,n)xn－4r(r＝0,1,2，…，8)，將n＝2,3,4,5,6,7,8逐個檢驗可知n＝5.答案n＝59．若(cosφ＋x)5的展開式中x3的系數(shù)為2，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2φ＋\f(π,2)))＝________.解析由二項式定理得，x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)cos2φ＝2，∴cos2φ＝eq\f(1,5)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2φ＋\f(π,2)))＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－eq\f(3,5).答案－eq\f(3,5)10．設(shè)二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B.若B＝4A，則a的值是________．解析由Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a,x\f(1,2))))r＝Ceq\o\al(r,6)(－a)rx6－eq\f(3,2)r，得B＝Ceq\o\al(4,6)(－a)4，A＝Ceq\o\al(2,6)(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.答案2三、解答題11．已知二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,x)))n的展開式中各項的系數(shù)和為256.(1)求n；(2)求展開式中的常數(shù)項．解(1)由題意，得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)該二項展開式中的第r＋1項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(3,x))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,8)·xeq\f(8－4r,3)，令eq\f(8－4r,3)＝0，得r＝2，此時，常數(shù)項為T3＝Ceq\o\al(2,8)＝28.12．已知等差數(shù)列2,5,8，…與等比數(shù)列2,4,8，…，求兩數(shù)列公共項按原來順序排列構(gòu)成新數(shù)列{Cn}的通項公式．解等差數(shù)列2,5,8，…的通項公式為an＝3n－1，等比數(shù)列2,4,8，…的通項公式為bk＝2k，令3n－1＝2k，n∈N*，k∈N*，即n＝eq\f(2k＋1,3)＝eq\f(3－1k＋1,3)＝eq\f(C\o\al(0,k)3k－C\o\al(1,k)3k－1＋…＋C\o\al(k－1,k)3－1k－1＋C\o\al(k,k)－1k＋1,3)，當k＝2m－1時，m∈N*，n＝eq\f(C\o\al(0,2m－1)32m－1－C\o\al(1,2m－1)32m－2＋…＋C\o\al(2m－2,2m－1)3,3)∈N*，Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．13．已知(a2＋1)n展開式中的各項系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展開式的常數(shù)項，而(a2＋1)n的展開式的系數(shù)最大的項等于54，求a的值．解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))5－rCeq\o\al(r,5)xeq\f(20－5r,2)，令20－5r＝0，得r＝4，故常數(shù)項T5＝Ceq\o\al(4,5)×eq\f(16,5)＝16.又(a2＋1)n展開式的各項系數(shù)之和等于2n，由題意知2n＝16，得n＝4.由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，(a2＋1)n展開式中系數(shù)最大的項是中間項T3，故有Ceq\o\al(2,4)a4＝54，解得a＝±eq\r(3).14．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))n，(1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)；(2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項．解(1)∵Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)＝2Ceq\o\al(5,n)，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，當n＝7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5.∴T4的系數(shù)為Ceq\o\al(3,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))423＝eq\f(35,2)，T5的系數(shù)為Ceq\o\al(4,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))324＝70，當n＝14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8.∴T8的系數(shù)為Ceq\o\al(7,14)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))727＝3432.(2)∵Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．設(shè)Tk＋1項的系數(shù)最大，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))12＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))12(1＋4x)12，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,12)4k≥C\o\al(k－1,12)4k－1，,C\o\al(k,12)4k≥C\o\al(k＋1,12)4k＋1.))∴≤k≤，∴k＝10.∴展開式中系數(shù)最大的項為T11，T11＝Ceq\o\al(10,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·210·x10＝16896x10.第9組1．(2013·江西卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))eq\s\up12(5)展開式中的常數(shù)項為()A．80B．－80C．40D．－40解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))eq\s\up12(r)＝(－2)rCeq\o\al(r,5)x10－5r，令10－5r＝0得r＝2.所以有常數(shù)項為T3＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40.答案：C2．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的二項展開式中，x的系數(shù)為()A．10B．－10C．40D．－40解析：因為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(2x2)5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)kCeq\o\al(k,5)25－kx10－3k，令10－3k＝1，即k＝3，此時x的系數(shù)為(－1)3Ceq\o\al(3,5)22＝－40.故選D.答案：D3．(2013·北海質(zhì)檢)設(shè)(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為()A．0B．1C．6D．15解析：令x＝－1，則1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故選B.答案：B4．如果eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x3)))eq\s\up12(n)的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為()A．3B．5C．6D．10解析：由展開式通項有Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2))eq\s\up12(n－r)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,n)·3n－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))eq\s\up12(r)·x2n－5r.由題意得2n－5r＝0?n＝eq\f(5,2)req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r＝0，1，2，…，n－1))，故當r＝2時，正整數(shù)n的最小值為5.故選B.答案：B5．令an為(1＋x)n＋1的展開式中含xn－1項的系數(shù)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項和為()\f(n（n＋3）,2)\f(n（n＋1）,2)\f(n,n＋1)\f(2n,n＋1)解析：含xn－1的項為Ceq\o\al(n－1,n＋1)xn－1，an＝Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Ceq\o\al(2,n＋1)＝eq\f(n（n＋1）,2)，eq\f(1,an)＝eq\f(2,n（n＋1）)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))Sn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)＋\f(1,n－1)－\f(1,n)＋…＋\f(1,1)－\f(1,2)))＝2eq\f(n,n＋1)＝eq\f(2n,n＋1).故選D.答案：D6．若(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a2的值是()A．84B．－84C．280D．－280解析：a2＝Ceq\o\al(2,n)(－2)2?eq\f(a2,2)＝n(n－1)，四個選項中只有eq\f(84,2)＝42＝7×6滿足．答案：A7．(2013·瓊海模擬)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8＝()A．180B．90C．－5D．5解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通項公式為：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8時，第9項的系數(shù)．所以a