八年級(jí)數(shù)學(xué)等腰三角形知識(shí)精講

初二數(shù)學(xué)等腰三角形【本講主要內(nèi)容】等腰三角形等腰三角形的概念、性質(zhì)及判定定理；等邊三角形的性質(zhì)及判定定理；直角三角形中30°角所對(duì)邊的性質(zhì)。【知識(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】.有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。.等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等；（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。.等邊三角形的判定：（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。.含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。.三種圖形之間的聯(lián)系【解題方法指導(dǎo)】例1.已知，如圖，AB=AC=CD,求證：NB=2ND分析：由AB=ACn/B=/ACB由AC=CDn/CAD=/D又NACB=NCAD+ND=2ND故NB=2ND證明：在4ABC中，?「AB=AC.\ZABC=ZACB（等腰三角形的兩個(gè)底角相等）在4ACD中AC=CDAZCAD=ZD又NACB=NCAD+ND（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）AZACB=2ZDAZB=2ZD評(píng)析：等腰三角形的性質(zhì)顯而易見，但NACB=NCAD+ND有時(shí)不易想到。例2.已知，如圖，4ABC是等邊三角形，AD//BC,AD±BD,BC=6,求AD的長(zhǎng)。分析：由4ABC是等邊三角形nAB=BC=6,/ABC=60。由AD//BCn/BAD=60。由/D=90。n/ABD=30。nAD=1AB=32解：「△ABC是等邊三角形，.AB=BC=6,NABC=60°（等邊三角形的每個(gè)角等于60°）「AD//BC AZBAD=ZABC=60°又ND=90°AZABD=30°?.AD=1AB=3（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等2于斜邊的一半）評(píng)析：此題也可以由ZDBC=90°,ZABC=60°,得出ZABD=30°?！究键c(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】等腰三角形、等邊三角形及含30°角的直角三角形是應(yīng)用非常廣泛的圖形，因此，在中考試題中經(jīng)常以證明題或計(jì)算題頻頻出現(xiàn)，而且經(jīng)常把它們結(jié)合在一道題中加以應(yīng)用，雖然題目的難度不是很大，但也要善于分析，找出圖形中有關(guān)的性質(zhì)?！镜湫屠}分析】例1.（2005年蘇州）如圖，等腰三角形ABC的頂角為120°,腰長(zhǎng)為10,則底邊上的高AD=。分析：由AB=ACn/B=ZC=30。由AD±BC,ZB=30°nAD=1AB=52解：aABC中，,.,AB=AC,NBAC=120°ZB=ZC=|(180°—120。)=30?！鰽BD中，???/ADB=90°??.AD=1AB=1x10=5(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的22直角邊等于斜邊的一半)評(píng)析：在解此題中，首先要明確有關(guān)的概念，如頂角、底邊上的高等，然后還要記牢有關(guān)圖形的性質(zhì)。例2.已知，如圖，4ABC中，NC=90°,AB的垂直平分線交AB于E,交AC于D,AD=8,NA=30°,求CD的長(zhǎng)。分析：由NA=30°,NC=90°nZABC=60。由DE是AB的垂直平分線nDA=DBnZA=ZABD=30。nZCBD=60?！?0。=30。nCD=DE由NAED=90°,NA=30°nDE=1AD=4nCD=42解：在^ABC中，?.?/C=90°,NA=30°AZABC=60°?「DE是AB的垂直平分線ADA=DBAZA=ZABD=30°（等腰三角形的兩個(gè)底角相等）AZBCD=60°—30°=30°即BD是/ABC的平分線ACD=DE（角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）在△ADE中，?.?ZAED=90°,ZA=30°??.DE=1AD=1x8=4（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直2 2角邊等于斜邊的一半）ACD=4評(píng)析：此題的難度雖然不大，但涉及的定理很多，需要一一進(jìn)行分析，最后通過媒介DE,找到CD與AD的關(guān)系。例3.已知，如圖，4ABC是等邊三角形，E是AB上一點(diǎn)，D是AC上一點(diǎn)，且AE=CD,又BD與CE交于點(diǎn)F,試求NBFE的度數(shù)。分析：此題是探求某一個(gè)角的度數(shù)的問題，通常情況下，這個(gè)角為定值，即不外乎30°,45,60°,90°,120°,150等，此圖中NABC=NACB=NBAC=60°,因此設(shè)法找至1」/8尸￡與它們之一的相等關(guān)系。由圖中可以知道，NBFE=NFBC+NFCB,若能找到NFBC與NACE的關(guān)系，問題便解決了。由△AEC04CDB,使問題的思路暢通。解：在4AEC和4CDB中VAC=BC,AE=CD,NBAC=NDCB=60°.?.△AECSCDBAZACE=ZDBCAZBFE=ZFCB+ZFBC=ZFCB+ZACE=60°評(píng)析：有關(guān)定值的問題是一個(gè)較難解決的問題，要先從圖中找出現(xiàn)成的定值，然后再找出它們之間的聯(lián)系?！揪C合測(cè)試】.已知，如圖，AB=AC,NABD=NACD,求證：DB=DC.已知，如圖，D、E是BC上兩點(diǎn)，AB=AC,AD=AE,求證：BD=CE.已知，如圖，4ABC中，DE//BC,AB=AC,求證：AD=AE.已知，如圖，4ABC中，AB=AC,D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于F,又BD=CE,求證：DF=EFE.已知，如圖，D是BC上一點(diǎn)，△ABC'ABDE都是等邊三角形，求證：AD=CE.已知，如圖，4ABC中，NB=90°,AC的垂直平分線交AC于D,交BC于E,又ZC=15°,EC=10,求AB的長(zhǎng)。7,已知，如圖，AD//BC,PA=PD,PB=PC,ZBPE=ZCPF（1）試寫出其中三對(duì)全等三角形;（2）并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明。8.請(qǐng)回答下面的問題學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，張老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，請(qǐng)你求其余兩角”。同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手講：“其余兩角是30°和120°”；王華同學(xué)說：“其余兩角是75°和75°”。還有一些同學(xué)也提出了不同的看法……（1）假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？（2）通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）綜合測(cè)試答案.證明：VAB=AC,AZABC=ZACB（等腰三角形兩底角相等）VZABD=ZACD,AZABD-ZABC=ZACD-ZACB即NDBC=NDCBADB=DC（等角對(duì)等邊）.證明：VAB=AC,AZB=ZC（等邊對(duì)等角）VAD=AE,AZADE=ZAED（等邊對(duì)等角）AZADB=ZAEC（等角的補(bǔ)角相等）.?.△ABDSACE（AAS）.??BD=CE.證明：VAB=AC,AZB=ZC（等邊對(duì)等角）?ZDE//BCAZADE=ZB,ZAED=ZC（兩直線平行，同位角相等）.\ZADE=ZAED?，.AD=AE（等角對(duì)等邊）.證明：作DP〃AC交BC于PEVAB=ACZ.ZB=ZACB（等邊對(duì)等角）,ZDP//ACZ.ZDPB=ZACB,AZDPB=ZBADB=DP（等角對(duì)等邊）又DB=CEADP=CE在4DPF與4ECF中VDP=EC,ZDFP=ZEFC,ZDPF=ZECF（等角的補(bǔ)角相等）.△DPFSECF（AAS）.??DF=EF.證明：,「△ABC^BDE都是等邊三角形AZABC=ZEBD=60°,AB=BC,BD=BE.△ABDSCBE（SAS）AAD=CE.解：?.?口￡是AC的垂直平分線AEA=ECAZEAC=ZC=15°,ZZA