排列組合經(jīng)典練習(xí)答案答案

排列組合二項(xiàng)定理排列組合二項(xiàng)定理知識(shí)要點(diǎn)一、兩個(gè)原理.乘法原理、加法原理.可以有重復(fù)元素的排列.．．．．．．．從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)m-m?…m=mn..例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ (解：m”種)二、排列.⑴對(duì)排列定義的理解.定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m<n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m．．．．．．個(gè)元素的一個(gè)排列.⑵相同排列.如果；兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.⑶排列數(shù).從n個(gè)不同元素中取出m(m<n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)Am表示.n⑷排列數(shù)公式：n!Am=n(n-1)?一(n-m+1)= (m<n,n,meN)(n-m)!規(guī)定C0=Cn=1nn注意：n-n!=(n規(guī)定C0=Cn=1nnn+1nmnnn-1Am=Am+AmCm-1=Am+mAm-1 Amn+1nmnnn-1含有可重元素的排列問題.對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n=n1且n=n1+n2+……nk,則S的排列個(gè)數(shù)等于n=n!n!n!...n!12k例如：已知數(shù)字3、2、2,求其排列個(gè)數(shù)n=(1+2)!=3又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)1!2!數(shù)n=3=1.3!三、組合.1.⑴組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m<n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.⑵組合數(shù)公式：Cm=生=n57…("m+DCm= n!nAm m! nm!(n-m)!m⑶兩個(gè)公式：①Cm=Cn-m；②Cm-n+cm=Cn+1nn nnn①從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.(或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有Cm-1Cl=Cm-1一類是不含紅球的選法有Cm)n1 n n②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有Cmt，如果不取這n一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C：種，依分類原理有Cm:+Cm=Cnm.⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.⑸①幾個(gè)常用組合數(shù)公式C0+C1+C2+…0n=2mTOC\o"1-5"\h\znnn nC0+C2+C4+…=C1+C3+C5+…=2m-1nnn nnnCm+Cm+Cm…Cm=Cm+1n m+1 m+2 m+n m+n+1kCk=nCk-1n n-111Ck=Ck+1k+1nn+1n+1②常用的證明組合等式方法例..裂項(xiàng)求和法.如：-+2+-+…-^―=1--1-(利用七1= --)2!3!4! (n+1)! (n+1)! n! (n-1)!n!.導(dǎo)數(shù)法.iii.數(shù)學(xué)歸納法.iv.倒序求和法.V.遞推法(即用Cm+Cm-1=Cm遞推)如：Cj+C3+C3+…Cj=JJ.nnn+1 3 4 5 nn+1Vi,構(gòu)造二項(xiàng)式.如：(C0)2+(C1)2+…+(Cn)2=Cmn n n 2n證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式(％+1)n(1+%)n=(1+%)2n其中％n的系數(shù)，左邊為C0-Cn+C1Cn-1+C2-Cn-2+…+CnC0=(C0)2+(C1)2+…+(Cn)2，而右邊=Cnnnnnnn nnn n n 2n四、排列、組合綜合.1.I.排列、組合問題幾大解題方法及題型：①直接法.②排除法.③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列,它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個(gè)不同元素排成一列，要求其中某m(m<n)個(gè)元素必相鄰的排列有An-m+1-Am個(gè).其中加-m+1是一個(gè)“整體排列”，而4m則是“局部排列”n-m+1m n-m+1 m又例如①有n個(gè)不同座位，A、B兩個(gè)不能相鄰，則有排列法種數(shù)為A2-A1.A2.n n-12②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An-1.A2.n-1 2③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有a2-An-1.nn-1

注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有A2種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個(gè)，有不22確定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？A”-m.Am（插空法），當(dāng)n-n-mn-m+1m+1>m,即m<n+1時(shí)有意義.2⑤占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有A”種，m（mYn）個(gè)n元素的全排列有Am種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到m去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有&種排列方法.Am

m例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素順序不變，共有多少種不同的排法？Cn-Cn??Cn⑦平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有加（卜-1）n一■-.Ak

k例如：從1,2,3,4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法？有C2=3（平均分組就用不著管組2!與組之間的順序問題了）又例如將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組,其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？/ C8C2、（P=-18-2-）C10/2!20注意：分組與插空綜合.例如：n個(gè)元素全排列，其中某m個(gè)元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有An-m.4m/Am，當(dāng)口—m+i>m，即m<n+1時(shí)有意義.n-mn-m+1m 2⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如：x+x+x+x=12的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間1234形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為x,x,x,x顯1234然x+x +x +x =12，故（x ,x ,x ,x）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解（y ,y ,y,y），對(duì)應(yīng)著惟1 2 3 4 1234 1234一的一種在層個(gè)球之間插入隔板的方式（如圖:一的一種在層個(gè)球之間插入隔板的方式（如圖:‘x* "*所示）故方程的解和插板的方法一一x1 x2 x3x4注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng).即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)c3.，即用aaa中a等于+1，11有

a,a,...a x+12n i ix+x+x...+x=Ana-1+a-1+...a-1=A，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為CA-11 2 3n 1 2 n A+n⑨定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有ArAn-r.例如：從n個(gè)不同元素中，每次取出m個(gè)元素的排列，其中某個(gè)元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？固定在某一位置上：Am-1；不在某一位置上：Am—Am-1或Am+Ai-Am-1（一類是不取出特殊元素a,n-1 n n-1 n-1m-1n-1有Am，一類是取特殊元素a,有從m-1個(gè)位置取一個(gè)位置，然后再從n-1個(gè)元素中取m-1,這與用插空n-1法解決是一樣的）⑩指定元素排列組合問題..從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)。先C后A策略，排列CrCk-rAk；組合CrCk-r.rn-rk rn-r.從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列CkAk；組合Ck.n-rk n-riii從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素。先c后a策略，排列CrCn-rA；組合CsCn二.II.排列組合常見解題策略：①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略.2.組合問題中分組問題和分配問題.①均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為A/Ar（其中A為非均勻不編號(hào)分組中分法數(shù)）.如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以4.rk例：10人分成三組，各組元素個(gè)數(shù)為2、4、4,其分法種數(shù)為C2C4C4/A2=1575.若分成六組，各組人TOC\o"1-5"\h\z10 8 4 2數(shù)分別為1、1、2、2、2、2,其分法種數(shù)為C1C1C2c2c2c2/A2?A410 9 8 6 4 2 2 4②非均勻編號(hào)分組:n個(gè)不同元素分組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為a.Amm例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5去參加不同的勞動(dòng)，其安排方法為：ROC8C5.A3種.若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4,參加不同的勞動(dòng)，則安排方法有CC3C4.A3種10 8 5 3③均勻編號(hào)分組：n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A/Ar-Am.rmC2C4C4TOC\o"1-5"\h\z例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4,參加三種不同勞動(dòng)，分法種數(shù)為10J4-A3A2 32④非均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，cmkn-(m1+m2cmkn-(m1+m2+…+mk1)n n-m1例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5,其分法種數(shù)為C2c3C5=2520若從10人中選出6人分成三10 8 5組，各組人數(shù)分別為1、2、3,其分法種數(shù)為C1C2C3=12600.10 9 7五、二項(xiàng)式定理.1.⑴二項(xiàng)式定理：(a+b)n=C0anb0+C1an-1b+???+Cran-rbr+???+Cna0bn.nn n n展開式具有以下特點(diǎn)：①項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)；②系數(shù)：依次為組合數(shù)C0,C1,C2,…,Cr，…,Cn;nnnnn③每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.⑵二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).(a+b)n展開式中的第r+1項(xiàng)為：Tr+1=Cran-rbr(0<r<n,reZ).⑶二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).①在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；②二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.．．．．．.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第-+1項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)C2最大；2n.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第"1項(xiàng)和第膽+1項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)。片=cT最大.2 2 nn③系數(shù)和：C0+C1+???+Cn=2nnnnC0+C2+C4+…=C1+C3+…=2n-1nnn nn附：一般來說(a%+by)n(a,b為常數(shù))在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解.當(dāng)「4>4 「4<4a豐1或b牛1時(shí)，一般采用解不等式組1%>4+1,或1%—%+1(A為T的系數(shù)或系數(shù)的絕對(duì)值)的辦法來A>AA<A k k+1kk-1 kk-1求解.⑷如何來求(a+b+c)n展開式中含apbqcr的系數(shù)呢？其中p,q,reN,且p+q+r=n把(a+b+c)n=[(a+b)+c]n視為二項(xiàng)式，先找出含有Cr的項(xiàng)Cr(a+b)n-rCr，另一方面在(a+b)n-r中含有bq的n項(xiàng)為Cqan-r-qbq=Cqapbq，故在(a+b+c)n中含apbqcr的項(xiàng)為CnrCnrqapbqcr.其系數(shù)為n-r n-r nn-rn! (n-r)! n!CrCq= = =CpCqCr.nn-rr!(n-r)!q!(n-r-q)!r!q!p! nn-pr近似計(jì)算的處理方法.當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式(1+a)n。1+na，因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分C2a2+C3a3+???+Cnan很小，可以忽略不計(jì)。類似地，有(1-a)nx1-na但使用這兩個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條nn n件，以及對(duì)計(jì)算精確度的要求.高二數(shù)學(xué)第十章《排列、組合和二項(xiàng)式定理》習(xí)題(一)

1.6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為（）A.40 B.50 C.60 D.70.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有（）A.36種 B.48種 C.72種 D.96種.只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A.6個(gè) B.9個(gè) C.18個(gè) D.36個(gè).男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）A.2人或3人B.3人或4人C.3人 D.4人.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（）A.45種 B.36種 C.28種 D.25種.某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共有（）A.24種 B.36種 C.38種 D.108種.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.33 B.34 C.35 D.36.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.72 B.96 C.108 D.144.如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有 （）A.50種 B.60種 C.120種 D.210種.安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有種.（用數(shù)字作答）.今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有種不同的排法.（種不同的排法.（用數(shù)字作答）.將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有 種..要在如圖所示的花圃中的5個(gè)區(qū)域中種入4種顏色不同的花，相鄰區(qū)域不同色，有 種不同的種法（用數(shù)字作答）.,分蕓要求y.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中.若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（ ）（A）12種 （B）18種 （C）36種 （D）54種15.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A.504種B.960種 C.1008種 D.1108種.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（A）72 （B）96 （C）108 （D）144.在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有o和I,則與信息ono至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為（）TOC\o"1-5"\h\zA.10 B.11 C.12 D.15.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)參加上海世博會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加。甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是（ ）A.152 B.126 C.90 D.54.甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（D）（A）150種（B）180種 （C）300種 （D）345種.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為（ ）A18 A24 C.30 D36.2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）A.60 B.48 C.42 D.36.從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位（ ）A.85 B.56 C.49 D.28.3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）A.360 B.188 C.216 D.96.12個(gè)籃球隊(duì)中有3個(gè)強(qiáng)隊(duì)，將這12個(gè)隊(duì)任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)隊(duì)），