2008遼寧文數(shù)全解全析

PAGE第11頁(yè)共11頁(yè)2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（供文科考生使用）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共60分）參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式 如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（D）A． B． C． D．答案：D解析：本小題主要考查集合的相關(guān)運(yùn)算知識(shí)。依題意，∴.2．若函數(shù)為偶函數(shù)，則a=（C）A． B． C． D．答案：C解析：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性。3．圓與直線沒有公共點(diǎn)的充要條件是（B）A． B．C． D．答案：B解析：本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系。依題圓與直線沒有公共點(diǎn)4．已知，，，，則（C）A． B． C． D．答案：C解析：本小題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算。由知其為減函數(shù),5．已知四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，且，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（A） A． B． C． D．答案：A解析：本小題主要考查平面向量的基本知識(shí)。且，6．設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（A）A． B． C． D．答案：A解析：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率問題。依題設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且（為點(diǎn)P處切線的傾斜角），又∵，∴，∴7．4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（C）A． B． C． D．答案：C解析：本小題主要考查等可能事件概率求解問題。依題要使取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)，則取出的2張卡片上的數(shù)字必須一奇一偶，∴取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率8．將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象，則（A）A． B． C． D．答案：A解析：本小題主要考查函數(shù)圖像的平移與向量的關(guān)系問題。依題由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；故9．已知變量滿足約束條件則的最大值為（B）A． B． C． D．答案：B解析：本小題主要考查線性規(guī)劃問題。作圖(略)易知可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形,其三個(gè)頂點(diǎn)為驗(yàn)證知在點(diǎn)時(shí)取得最大值2.10．一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（B）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種答案：B解析：本小題主要考查排列組合知識(shí)。依題若第一道工序由甲來(lái)完成，則第四道工序必由丙來(lái)完成，故完成方案共有種；若第一道工序由乙來(lái)完成，則第四道工序必由甲、丙二人之一來(lái)完成，故完成方案共有種；∴則不同的安排方案共有種。11．已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則（D）A．1 B．2 C．3 D．4答案：D解析：本小題主要考查雙曲線的知識(shí)。取頂點(diǎn),一條漸近線為12．在正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線，，都相交的直線（D）A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無(wú)數(shù)條答案：D解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學(xué)生的空間想象能力。在EF上任意取一點(diǎn)M,直線與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N,當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N,而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)的.如右圖：第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．13．函數(shù)的反函數(shù)是．答案：解析：本小題主要考查反函數(shù)問題。所以反函數(shù)是14．在體積為的球的表面上有A、B，C三點(diǎn)，AB=1，BC=，A，C兩點(diǎn)的球面距離為，則球心到平面ABC的距離為_________．答案： 解析：本小題主要考查立體幾何球面距離及點(diǎn)到面的距離。設(shè)球的半徑為,則,∴設(shè)、兩點(diǎn)對(duì)球心張角為，則,∴,∴,∴為所在平面的小圓的直徑，∴,設(shè)所在平面的小圓圓心為，則球心到平面ABC的距離為15．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．答案：35解析：本小題主要考查二項(xiàng)式定理中求特定項(xiàng)問題。考查的通項(xiàng)公式,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)共有兩種來(lái)源:①②相加得15+20=35.16．設(shè)，則函數(shù)的最小值為．答案：解析：本小題主要考查三角函數(shù)的最值問題。取的左半圓,作圖(略)易知三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合計(jì)算能力．滿分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理得，，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得． 4分聯(lián)立方程組解得，． 6分（Ⅱ）由正弦定理，已知條件化為， 8分聯(lián)立方程組解得，．所以的面積． 12分18．（本小題滿分12分）某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的周銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：周銷售量234頻數(shù)205030（Ⅰ）根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨(dú)立，求（?。?周中該種商品至少有一周的銷售量為4噸的概率；（ⅱ）該種商品4周的銷售量總和至少為15噸的概率．本小題主要考查頻率、概率等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.滿分12分．解：（Ⅰ）周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3． 4分（Ⅱ）由題意知一周的銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3，故所求的概率為（?。?8分（ⅱ）． 12分19．（本小題滿分12分）ABCDEFPQHG如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面ABCDEFPQHG（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個(gè)值；（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與邏輯思維能力．滿分12分．解法一：（Ⅰ）證明：在正方體中，，，又由已知可得，，，所以，，所以平面．所以平面和平面互相垂直． 4分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是，是定值． 8分（Ⅲ）解：設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)，ABCDEFABCDEFPQHGN所以為與平面所成的角．因?yàn)?，所以分別為，，，的中點(diǎn)．可知，．所以． 12分解法二：以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz．由已知得，故ABCDEFPQHABCDEFPQHyxzG，，，，，．（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得，，．因?yàn)椋允瞧矫鍼QEF的法向量．因?yàn)?，所以是平面PQGH的法向量．因?yàn)?，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．…4分（Ⅱ）證明：因?yàn)?，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值． 8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．由為中點(diǎn)可知，分別為，，的中點(diǎn)．所以，，因此與平面所成角的正弦值等于． 12分20．（本小題滿分12分）在數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)．（Ⅰ）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，．若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）是等比數(shù)列． 2分證明：設(shè)的公比為，的公比為，則，故為等比數(shù)列． 5分（Ⅱ）數(shù)列和分別是公差為和的等差數(shù)列．由條件得，即． 7分故對(duì)，，…，．于是將代入得，，． 10分從而有．所以數(shù)列的前項(xiàng)和為． 12分21．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為． 4分（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，故． 6分，即．而，于是．所以時(shí)，，故． 8分當(dāng)時(shí)，，．，而，所以． 12分22．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)在，處取得極值，且．（Ⅰ）若，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，求的取值范圍．本小題主要考查函