山東省淄博市金城中學2021-2022學年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析

山東省淄博市金城中學2021-2022學年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)，則是（

） A．最小正周期為的偶函數(shù)

B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為2的偶函數(shù)

D．最小正周期為的奇函數(shù)參考答案：D2.設、分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點，使得，，則雙曲線的離心率為（

▲)A．2 B． C． D．參考答案：D略3.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓C上關于長軸對稱的兩點，若直線AM與BN相交于點P，則點P的軌跡方程是（）A．x=±a（y≠0） B．y2=2b（|x|﹣a）（y≠0）C．x2+y2=a2+b2（y≠0） D．=1（y≠0）參考答案：D【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】求得直線PA的方程及PB的方程，兩式相乘，整理即可求得P的軌跡方程．【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），B（a，0），設M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0≠0，P（x，y），y≠0則直線PA的斜率k=，則直線PA的方程y=（x+a），①同理直線PB的斜率k=，直線PB的方程y=（x﹣a），②兩式相乘：y2=（x2﹣a2），由，y02=（a2﹣x02），則y2=（x2﹣a2），整理得：（a＞b＞0）（y≠0），則點P的軌跡方程（a＞b＞0）（y≠0），故選D．【點評】本題考查橢圓的標準方程，直線的點斜式方程，考查軌跡方程的求法，考查轉化思想，屬于中檔題．4.{an}是等差數(shù)列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n項和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是

A．4019

B．4018

C．4017

D．4016參考答案：B5.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，則A．21

B．22

C．23

D．24參考答案：A由題意＝15，，∴．故選A．

6.復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B略7.已知命題p：，；命題q：，，則下列命題中為真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A，，故為假命題，為真命題，因為，，所以命題：，，為假命題，所以為真命題，為真命題，故選A.

8.已知函數(shù)f（x）=xn+1（n∈N*）的圖象與直線x=1交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2014x1+log2014x2+…+log2014x2013的值為（） A．﹣1 B． 1﹣log20142013 C． ﹣log20142013 D． 1參考答案：A9.設，其中x，y滿足當z的最大值為6時，的值為

（

）

A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：A10.函數(shù)的圖象A.關于原點對稱 B.關于直線y=x對稱 C.關于x軸對稱 D.關于y軸對稱參考答案：D本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，，是偶函數(shù)，所以圖像關于關于y軸對稱所以答案是D。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三張獎券中有一、二等獎各一張，另一張無獎，甲乙兩人各抽取一張（不放回），兩人都中獎的概率為．參考答案：【考點】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列舉法求出甲、乙兩人各抽取1張的基本事件的個數(shù)和兩人都中獎包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出兩人都中獎的概率．【解答】解：設一、二等獎各用A，B表示，另1張無獎用C表示，甲、乙兩人各抽取1張的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6個，其中兩人都中獎的有AB，BA共2個，故所求的概率P=．故答案為：．12.已知在△ABC中，（2﹣3）?=0，則角A的最大值為．參考答案：

【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】用，表示出個向量，得出三角形三邊的關系，利用余弦定理和基本不等式得出cosA的范圍．【解答】解：∵（2﹣3）?=0，即（2﹣3（﹣））?（）=0，即（）?（）=0，∴﹣4+3=0，設A，B，C所對的邊為a，b，c，則c2﹣4bccosA+3b2=0，又cosA=，∴b2﹣c2+2a2=0，即a2=（c2﹣b2），∴cosA===≥=．∴0＜A≤．故答案為．13.設是方程的解，且，則=▲。參考答案：【知識點】函數(shù)零點問題

B9由，得令，.故答案為.【思路點撥】由方程得到對應的函數(shù)，由零點存在性定理得到方程根的范圍，則答案可求．14.已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，，且，，構成等比數(shù)列，則（）A.15 B.-15 C.30 D.25參考答案：D【分析】設等差數(shù)列的公差為，由已知列關于首項與公差的方程組，求解得到首項與公差，再由等差數(shù)列的前項和公式求解．【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，由題意，，解得．∴．故選：D．15.已知函數(shù)f（x）=|x|（x﹣a）+1．當a=0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為

；若函數(shù)g（x）=f（x）﹣a有3個不同的零點，則a的取值范圍為

．參考答案：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）

【考點】分段函數(shù)的應用．【分析】當a=0時，函數(shù)f（x）=|x|x+1=，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；函數(shù)g（x）=f（x）﹣a至多有一個負零點，兩個非負零點，進而得到a的取值范圍．【解答】解：當a=0時，函數(shù)f（x）=|x|x+1=，故函數(shù)圖象是連續(xù)的，且在（﹣∞，0）和[0，+∞）上均為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；函數(shù)g（x）=f（x）﹣a=|x|（x﹣a）+1﹣a=，令g（x）=0，則當x＜0時，﹣x2+ax﹣a+1=0，即a=x+1，x=a﹣1，即函數(shù)g（x）至多有一個負零點，此時a﹣1＜0，a＜1；當x≥0時，x2﹣ax﹣a+1=0，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣a有3個不同的零點，則x2﹣ax﹣a+1=0有兩個不等的正根，則，解得：2﹣2＜a＜1，綜上可得：若函數(shù)g（x）=f（x）﹣a有3個不同的零點，則a的取值范圍為（2﹣2，1），故答案為：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，函數(shù)零點的存在性及個數(shù)判斷，難度中檔．16.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學生的成績，并根據這1000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[300，350)內的學生人數(shù)共有

．參考答案：30017.若關于的兩個不等式和的解集分別為和，則稱這兩個不等式為“對偶不等式”.如果不等式與不等式為對偶不等式，且，則=_________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.(1)證明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱錐C1－ABA1的體積．參考答案：(1)證明：如圖，連結AB1，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.………3分又∵AB＝AA1，∴四邊形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A.∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.

………6分(2)∵AB＝AA1＝2，BC＝，∴AC＝A1C1＝1，

………8分由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，

………10分∴VC1－ABA1＝S△ABA1·A1C1＝×2×1＝.

………12分19.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x2+ax，（1）當x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，求a的取值范圍；（2）設f'（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個零點，且x1＜x2，求證（3）證明當n≥2時，．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉化為即a≤2x﹣恒成立，求出a的范圍即可；（2）求出a，得到f′（）=﹣，問題轉化為證明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即證明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，根據函數(shù)的單調性證明即可；（3）令a=1，得到lnx≤x2﹣x，得到x＞1時，＞，分別令x=2，3，4，5，…n，累加即可．【解答】（1）解：∵x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，∴f′（x）=﹣2x+a≤0在（1，+∞）恒成立，即a≤2x﹣恒成立，而y=2x﹣在（1，+∞）遞增，故2x﹣＞1，故a≤1；（2）證明：∵f（x）的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），∴方程lnx﹣x2+ax=0的兩個根為x1，x2，則lnx1﹣+ax1=0，①，lnx2﹣+ax2=0，②，兩式相減得a=（x1+x2）﹣，又f（x）=lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a，則f′（）=﹣（x1+x2）+a=﹣，要證﹣＜0，即證明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即證明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，∵u′（t）=，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，則u（t）＜u（1）=0，從而知﹣＜0，故f′（）＜0成立；（3）證明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）遞減，∴f（x）=lnx﹣x2+x≤f（1）=0，故lnx≤x2﹣x，x＞1時，＞，分別令x=2，3，4，5，…n，故++…+＞++…+=1﹣，∴++…+＞1﹣，即左邊＞1﹣＞1，得證．20.已知{an}為正項等比數(shù)列，a1+a2=6，a3=8．（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；（2）若bn=，且{bn}前n項和為Tn，求Tn．參考答案：(1)an=2n；(2)Tn=2-（n+2）?（）n【分析】（1）等比數(shù)列的公比設為q，q＞0，由等比數(shù)列的通項公式，解方程可得所求通項；（2）求得bn==n?（）n，運用數(shù)列的錯位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，化簡計算可得所求和．【詳解】（1）{an}為正項等比數(shù)列，公比設為q，q＞0，a1+a2=6，a3=8．可得a1+a1q=6，a1q2=8，解得a1=q=2，即an=2n；（2）bn==n?（）n，Tn=1?+2?+…+n?（）n，Tn=1?+2?+…+n?（）n+1，相減可得Tn=+++…+（）n-n?（）n+1=-n?（）n+1，化簡可得Tn=2-（n+2）?（）n．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的錯位相減法求和，以及方程思想和運算能力，屬于基礎題．21.（本題滿分12分）已知向量a=，b=，設函數(shù)=ab．（Ⅰ）求的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）若將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．參考答案：（Ⅰ）f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx

=+sin2x=sin(2x-)+1，

………………3分由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f(x)的遞增區(qū)間是[-+kπ，+kπ](k∈Z)．…………6分（II）由題意g(x)=sin[2(x+)-]+1=sin(2x+)+1，…………9分由≤x≤得≤2x+≤，∴0≤g(x)≤+1，即g(x)的最大值為+1，g(x)的最小值為0．

…12分22.已知函數(shù)f(x)=．（Ⅰ）若曲線y=f（x）與直線y=kx相切于點P，求點P的坐標；（Ⅱ）當a≤e時，證明：當x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）設點P的坐標為（x0，y0），，由題意列出方程組，能求出點P的坐標．（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）=，，x∈（0，+∞），設h（x）=ex﹣ax，x∈（0，+∞），則h'（x）=ex﹣a，由此利用分類討論和導數(shù)性質能證明：當x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．【解答】解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x0，y0），，由題意知解得x0=2，所以，從而點P的坐標為．證明：（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）=，，x∈（0，+∞），設h（x）=ex﹣ax，x∈（0，