2023屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測：專題06 一網(wǎng)打盡外接球與內(nèi)切球問題（精講精練）（原卷版）

專題06一網(wǎng)打盡外接球與內(nèi)切球問題【命題規(guī)律】縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點(diǎn)之一．高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答．從近幾年全國高考命題來看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見，此部分是重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，屬于中等難度．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：正方體、長方體外接球核心考點(diǎn)二：正四面體外接球核心考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球核心考點(diǎn)四：直棱柱外接球核心考點(diǎn)五：直棱錐外接球核心考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型核心考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型核心考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型核心考點(diǎn)九：垂面模型核心考點(diǎn)十：二面角模型核心考點(diǎn)十一：坐標(biāo)法核心考點(diǎn)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型核心考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球核心考點(diǎn)十四：棱切球【真題回歸】1．（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題（理））已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2020·全國·高考真題（理））已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2020·全國·高考真題（理））已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．【方法技巧與總結(jié)】1、補(bǔ)成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：正方體、長方體外接球【規(guī)律方法】1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長的一半．2、長方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長的一半．【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的體對(duì)角線等于（

）A． B．4 C． D．.例2．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測（文））長方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別是2，4，4，則該長方體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例3．（2022·貴州黔南·高三開學(xué)考試（理））自2015年以來，貴陽市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級(jí)為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數(shù)量累計(jì)達(dá)到1025個(gè)．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為，則石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的表面積為________．核心考點(diǎn)二：正四面體外接球【規(guī)律方法】如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．【典型例題】例4．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測（理））已知正四面體外接球表面積為，則該正四面體棱長為______；若為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則最小值為______．例5．（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）已知一個(gè)正四面體的棱長為2，則其外接球與以其一個(gè)頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長度為___________.例6．（2022·福建·福州三中模擬預(yù)測）表面積為的正四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．核心考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球【規(guī)律方法】四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．【典型例題】例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在四面體中，，，，則其外接球的表面積為___________.例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知四面體中，，，，若該四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積為（

）A． B． C． D．例9．（2020·全國·模擬預(yù)測（文））在三棱錐中，若，，，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．核心考點(diǎn)四：直棱柱外接球【規(guī)律方法】如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【典型例題】例10．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））已知正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，若該正三棱柱的外接球體積為，當(dāng)最大時(shí)，該正三棱柱的體積為（

）A． B． C． D．例11．（2022·湖南岳陽·高三階段練習(xí)）已知直三棱柱中，，當(dāng)該三棱柱體積最大時(shí)，其外接球的體積為（

）A． B． C． D．例12．（2021·四川瀘州·二模（文））直六棱柱的底面是正六邊形，其體積是，則該六棱柱的外接球的表面積的最小值是（

）A． B． C． D．核心考點(diǎn)五：直棱錐外接球【規(guī)律方法】如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【典型例題】例13．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期中（文））三棱錐中，平面，為直角三角形，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例14．（2022·福建·寧德市民族中學(xué)高三期中）已知三棱錐P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例15．（2021·四川成都·高三開學(xué)考試（文））已知在三棱錐中，側(cè)棱平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．核心考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型【規(guī)律方法】1、正棱錐外接球半徑：．2、側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．【典型例題】例16．（2022·江西·金溪一中高三階段練習(xí)（文））在正三棱錐S－ABC中，，△ABC的邊長為2，則該正三棱錐外接球的表面積為______．例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐，其外接球球的半徑為，則該正三棱錐的體積的最大值為__________．例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的棱長為，底面邊長為6．則該正三棱錐外接球的表面積為_______．例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為___________.核心考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型【規(guī)律方法】找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．【典型例題】例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱錐的外接球的表面積為是該球的直徑，，則三棱錐的體積為_____.例22．（2022·河南·一模（理））三棱錐的外接球的表面積為，AD是該球的直徑，是邊長為的正三角形，則三棱錐的體積為______．例23．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知三棱錐P﹣ABC中，，AC=2，PA為其外接球的一條直徑，若該三棱錐的體積為，則外接球的表面積為___________．核心考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型【規(guī)律方法】如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)為公共斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．【典型例題】例24．在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．例25．三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為例26．在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．核心考點(diǎn)九：垂面模型【規(guī)律方法】如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．圖1圖2【典型例題】例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為______例28．（2022·安徽馬鞍山·一模（文））三棱錐中，與均為邊長為的等邊三角形，平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為________．例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，平面平面，則該三棱錐的外接球的體積為______例30．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為__________．核心考點(diǎn)十：二面角模型【規(guī)律方法】如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．【典型例題】例31．（2022·貴州·模擬預(yù)測（理））如圖，在三棱錐中，是邊長為的正三角形，，二面角的余弦值為，則三棱錐外接球的表面積為______.例32．（2022·江西贛州·高三階段練習(xí)（文））已知菱形的邊長為2，且，沿把折起，得到三棱錐，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.例33．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）在三棱錐中，△是邊長為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的體積為________．例34．（2022·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對(duì)角線對(duì)折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的外接球的表面積為___________.核心考點(diǎn)十一：坐標(biāo)法【規(guī)律方法】對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長．坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難度．【典型例題】例35．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）直角中，是斜邊上的一動(dòng)點(diǎn)，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線段的長度最小時(shí)，四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在長方體中，，，，是棱上靠近的三等分點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面垂直，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．例37．（2022·山西·一模（理））如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點(diǎn)，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．核心考點(diǎn)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型【規(guī)律方法】1、球內(nèi)接圓錐如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計(jì)算．如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．例38．球內(nèi)接圓臺(tái)，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．【典型例題】例39．（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)高三階段練習(xí)）已知一圓臺(tái)高為7，下底面半徑長4，此圓臺(tái)外接球的表面積為，則此圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．例40．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的外接球的表面積為______．例41．（2022·上海·曹楊二中高三階段練習(xí)）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為___________.例42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為______.核心考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球【規(guī)律方法】等體積法，即【典型例題】例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）球O是棱長為1的正方體的內(nèi)切球，球與面、面、面、球O都相切，則球的表面積是_______________．例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正四棱錐內(nèi)接于球，且底面過球心，則球的半徑與正四棱錐內(nèi)切球的半徑之比為__________.例45．（2022·山東濟(jì)南·二模）在高為2的直三棱柱中，AB⊥AC，若該直三棱柱存在內(nèi)切球，則底面△ABC周長的最小值為___________.核心考點(diǎn)十四：棱切球【規(guī)律方法】找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形【典型例題】例46．（2022?涪城區(qū)校級(jí)開學(xué)）一個(gè)正方體的內(nèi)切球、外接球、與各棱都相切的球的半徑之比為A． B． C． D．例47．（2022?江蘇模擬）正四面體的棱長為4，若球與正四面體的每一條棱都相切，則球的表面積為A． B． C． D．例48．（2022?昆都侖區(qū)校級(jí)一模）已知正三棱柱的高等于1，一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為A． B． C． D．【新題速遞】一、單選題1．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知某圓臺(tái)的體積為，其上底面和下底面的面積分別為，且該圓臺(tái)兩個(gè)底面的圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知A，B，C均在球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，若三棱錐體積的最大值為6，則球O的體積為（

）．A． B． C． D．3．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知，，，為球的球面上的四點(diǎn)，記的中點(diǎn)為，且，四棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2022·黑龍江·海倫市第一中學(xué)高三期中）已知四面體ABCD的所有頂點(diǎn)在球O的表面上，平面BCD，，，，則球O的體積為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的球的球面上，若該正四棱錐的高為，且，則該正四棱錐的體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））已知正三棱錐的底面邊長為6，體積為，A，B，C三點(diǎn)均在以S為球心的球S的球面上，P是該球面上任意一點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．7．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知體積為的正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，當(dāng)球的表面積取得最小值時(shí)，該正三棱柱的底面邊長與高的比值為（

）A． B． C． D．8．（2022·福建·浦城縣第三中學(xué)高三期中）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一.”下圖解釋了這段話中由一個(gè)長方體得到塹堵、陽馬、鱉臑的過程.在一個(gè)長方體截得的塹堵和鱉臑中，若塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為1，則鱉臑體積的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知棱長為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，點(diǎn)為球面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．球在正方體外部分的體積為B．若點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則C．若點(diǎn)在平面下方，則直線與平面所成角的正弦值最大為D．若點(diǎn)??在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則最小值為10．（2022·福建泉州·高三開學(xué)考試）已知正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，為內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．平面 B．球的表面積為C．的最小值為 D．與平面所成角的最大值為60°11．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為，其軸截面是邊長為6的為正三角形，為底面的圓心，為圓的一條直徑，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），點(diǎn)是球與圓錐側(cè)面的交線上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．圓錐的表面積是 B．球的體積是C．四棱錐體積的最大值為 D．的最大值為12．（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個(gè)圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱