高三數(shù)學第一輪復習-任意角的三角函數(shù)課件-新人教B版

學案2任意角的三角函數(shù)名師伴你行SANPINBOOK名師伴你行SANPINBOOK考點1考點2填填知學情課內(nèi)考點突破規(guī)律探究考綱解讀考向預測考點3考點4考點5考點62.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK考綱解讀任意角的三角函數(shù)與誘導公式(1)理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切）的定義.(2)能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出±α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.(3)理解同角三角函數(shù)的基本關系式:sin2x+cos2x=1,=tanx.3.名師伴你行SANPINBOOK考向預測

主要作為工具對三角函數(shù)進行恒等變換，考查恒等變形能力.題型主要是三角函數(shù)的求值，以及三角函數(shù)式的化簡,為研究函數(shù)作基礎，是本編的重點內(nèi)容.返回目錄

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1.三角函數(shù)的定義設α是一個任意角,α的終邊上任意一點P(不和原點重合)的坐標是(x,y)，它到原點的距離是r(r=＞0)，那么(1)

叫做角α的正弦，記作sinα，即sinα=

;(2)

叫做角α的余弦，記作cosα，即cosα=

;(3)

叫做角α的正切，記作tanα，即tanα=

;名師伴你行SANPINBOOK5.返回目錄

(4)

叫做角α的余切，記作cotα，即cotα=

;(5)

叫做角α的正割，記作secα，即secα=

;(6)

叫做角α的余割，記作cscα，即cscα=

.角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以

為自變量,以比值為

的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).2.三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域sinαcosαtanα角函數(shù)值{α|α≠kπ+,k∈Z}RR名師伴你行SANPINBOOK6.返回目錄

3.三角函數(shù)在各象限的符號根據(jù)三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)在各象限的符號如表所示:可以采用“一全正，二正弦，三兩切，四余弦,余正割隨著正余弦”的記憶方法.ⅠⅡⅢⅣsinθ,cscθ++--cosθ,secθ+--+tanθ,cotθ+-+-名師伴你行SANPINBOOK7.返回目錄

4.同角三角函數(shù)的基本關系式基本關系式:

=1,tanα=

.補充:tan2α+1=

,cot2α+1=

,cotα=

,tanα·cotα=

,sinα·cscα=

,cosα·secα=

.5.誘導公式（1）角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關系cos(α+k·2π)=

;sin(α+k·2π)=

;tan(α+k·2π)=

.sin2α+cos2αsec2αcsc2α111cosαsinαtanα名師伴你行SANPINBOOK8.(2)角α與-α的三角函數(shù)間的關系sin(-α)=

;cos(-α)=

;tan(-α)=

.(3)角α與α+（2k+1）π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關系sin［α+(2k+1)π］=

;cos［α+(2k+1)π］=

;tan［α+(2k+1)π］=

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-sinαcosα-tanα-sinα-cosαtanα名師伴你行SANPINBOOK9.(4)角α與α+的三角函數(shù)間的關系cos(α+)=

;sin(α+)=

;tan(α+)=

;cot(α+)=

.(5)角α與-α+π2的三角函數(shù)間的關系cos(-α+)=

;sin(-α+)=

;tan(-α+)=

;cot(-α+)=

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-sinαcosα-cotα-tanαsinαcosαcotαtanα名師伴你行SANPINBOOK10.考點1三角函數(shù)的定義設α為第四象限角，其終邊上的一個點是P(x,-)，且cosα=x，求sinα和tanα.【分析】若能求出問題中的未知數(shù)x，則由定義sinα和tanα可求，解題技巧即是設法建立關于x的一個方程.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

11.【解析】∵α是第四象限的角，∴x>0,又P點到坐標原點O的距離r,∴由cosα，得.∴x=,r=2.∴sinα,tanα.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

12.

容易出錯的地方是得到x2=3后，不考慮P點所在的象限，x的取值分正負兩種情況去討論.一般地，在解此類問題時，可以優(yōu)先注意角α所在的象限，對最終結(jié)果作一個合理的預測.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

13.已知角α的終邊在直線3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.【解析】∵角α的終邊在直線3x+4y=0上，∴在角α的終邊上任取一點P(4t,-3t)(t≠0),則x=4t,y=-3t,

當t>0時,r=5t,名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

14.當t<0時，r=-5t,綜上可知，當t>0時，sinα=,cosα=,tanα=;當t<0時,sinα=,cosα=-,tanα=-.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

15.考點2單位圓與三角函數(shù)線

［2010年高考四川卷］（1）①證明兩角和的余弦公式C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;②由C(α+β)推導兩角和的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(2)已知△ABC的面積S=,AB·AC=3，且cosB=，求cosC.【分析】利用單位圓證明①.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

16.【解析】(1)①如圖,在直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O,并作出角α,β與-β,使角α的始邊為Ox,交⊙O于點P1,終邊交⊙O于點P2;角β的始邊為OP2,終邊交⊙O于點P3,角-β的始邊為OP1,終邊交⊙O于點P4.則P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).由P1P3=P2P4及兩點間的距離公式,則［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2展開并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ).∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

17.②由①易得cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα，sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)=sinαcosβ+cosαsinβ,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

18.名師伴你行SANPINBOOK(2)由題意,設△ABC的角B,C的對邊分別為b,c,則S=bcsinA=，AB·AC=bccosA=3>0,∴A∈(0,),cosA=3sinA.又sin2A+cos2A=1,∴sinA=,cosA=.由cosB=,得sinB=.∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=.故cosC=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-.返回目錄

19.本題利用單位圓證明了兩角和的余弦公式，同時考查了誘導公式，同角三角函數(shù)的關系等基礎知識及運算能力.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

20.已知0<α<,求證:(1)sinα+cosα>1;(2)sinα<α<tanα.證明:如圖,設α的終邊與單位圓交于P點,作PM⊥x軸,垂足為M,過點A(1,0)作AT⊥x軸,交α的終邊于T,則sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

21.(1)在△OMP中,∵OM+MP>OP,∴cosα+sinα>1.(2)連結(jié)PA,則S△OPA<S扇形OPA<S△OTA,即OA·MP<OA·α<OA·AT,即sinα<α<tanα.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

22.考點3同角三角函數(shù)間的關系已知<x<0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；(2)求的值.【分析】(1)由sinx+cosx=及sin2x+cos2x=1可求出sinx,cosx的值,從而求出sinx-cosx的值;另外,由<x<0,可求出sinx<0,cosx>0,從而判定sinx-cosx的符號,只需求(sinx-cosx)2即可.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

23.【解析】(1)解法一:聯(lián)立方程:sinx+cosx=,①sin2x+cos2x=1,②由①得sinx=-cosx,將其代入②,整理得25cos2x-5cosx-12=0.sinx=-cosx=,(2)由(1)可求出tanx,而想法使分子、分母都出現(xiàn)tanx即可.∵<x<0,∴∴sinx-cosx=-.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

24.解法二:∵sinx+cosx=,∴(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,∴2sinxcosx=-.∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+=.①又∵<x<0,∴sinx<0,cosx>0,∴sinx-cosx<0.②由①②可知，sinx-cosx=-.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

25.(2)由已知條件及(1)可知sinx+cosx=sinx=-sinx-cosx=-,cosx=,∴tanx=-.解得又∵名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

26.名師伴你行SANPINBOOK

(1)方程思想在解決同角三角函數(shù)間的關系中起著重要的作用,一定要注意其應用.(2)注意sinx+cosx,sinx·cosx,sinx-cosx三者間的相互轉(zhuǎn)化,若令sinx+cosx=t,則sinx·cosx=.返回目錄

27.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π).求值:(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ;(3)sin3θ+cos3θ.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

28.解法一:∵sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),∴(sinθ+cosθ)2==1+2sinθcosθ,∴sinθcosθ=<0.由根與系數(shù)的關系知，sinθ,cosθ是方程x2-x-=0的兩根，解方程得x1=,x2=-.∵sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ=,cosθ=-.∴(1)tanθ=-.(2)sinθ-cosθ=.(3)sin3θ+cos3θ=.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

29.解法二：(1)同解法一.(2)(sinθ-cosθ)2=1-2sinθ·cosθ=1-2×(-)=.∵sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ-cosθ>0,∴sinθ-cosθ=.(3)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=×1+=.返回目錄

30.考點4求值問題已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sinαcosα+2.【分析】由已知可以求出tanα，再由同角三角函數(shù)關系式可以求得sinα和cosα，進而求出(1)、(2)的值.但實際操作中，往往借助題目條件的特殊性來整體考慮使用條件.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

31.【解析】由已知得tanα=.（1）（2）sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2(cos2α+sin2α)名師伴你行SANPINBOOK32.

形如asinα+bcosα和sinαcosα+ccos2α的式子分別稱為關于sinα,cosα的一次齊次式和二次齊次式，對涉及它們的三角式的變換常有如上的整體代入方法可供使用.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

33.已知tan=2,求：（1）tan(α+)的值；（2）的值.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

34.（1）名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

35.（2）由（1）得tanα=,名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

36.考點5誘導公式化簡:【分析】(1)直接利用誘導公式.(2)對k是偶數(shù)還是奇數(shù)分類討論.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

37.【解析】(1)原式=(2)當k為偶數(shù)時,記k=2n(n∈Z),原式=名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

38.名師伴你行SANPINBOOK當k為奇數(shù)時，記k=2n+1(n∈Z),原式=綜上，原式=-1.返回目錄

39.

(1)應用誘導公式，重點是“函數(shù)名稱”與“正負號”的正確判斷.求任意角的三角函數(shù)值的問題,都可以通過誘導公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題,具體步驟為“負角化正角”→“正角化銳角”→求值.(2)使用誘導公式要注意三角函數(shù)值在各個象限的符號,如果出現(xiàn)kπ±α的形式時,需要對k的值進行分類討論,以確定三角函數(shù)值的符號.返回目錄

40.已知cos(π+α)=-,且α是第四象限角,計算:(1)sin(2π-α);(2)名師伴你行SANPINBOOK【解析】∵cos(π+α)=-,∴-cosα=-,cosα=.又∵α是第四象限角,∴sinα=.返回目錄

41.名師伴你行SANPINBOOK(1)sin(2π-α)=sin［2π+(-α)］=sin(-α)=-sinα=.(2)返回目錄

42.考點6誘導公式在三角形中的應用【分析】本題首先利用誘導公式把所給兩個等式化簡,然后利用sin2α+cos2α=1,求出cosA的值,再利用A+B+C=π進行求解..名師伴你行SANPINBOOK在△ABC中，若sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三內(nèi)角.返回目錄

43.名師伴你行SANPINBOOKsinA=2sinB,①3cosA=2cosB.②①2+②2得2cos2A=1,即cosA=±.(1)當cosA=時,cosB=,又A,B是三角形內(nèi)角,∴A=,B=,∴C=π-(A+B)=.【解析】由已知得返回目錄

44.名師伴你行SANPINBOOK(2)當cosA=-時，cosB=-.又A,B是三角形內(nèi)角,∴A=,B=,不合題意.綜上知,A=,B=,C=.誘導公式在解三角形時應用廣泛,注意其正確應用,特別是誘導公式的口訣要記熟會用.返回目錄

45.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其中c邊最長,并且sin2A+sin2B=1.(1)求證:△ABC為直角三角形;(2)當c=1時,求△ABC面積的最大值.

【解析】(1)證明:∵c邊為最長邊,∴A,B均為銳角.由sin2A+sin2B=1得sin2A=cos2B.∵sinA,cosB均為正數(shù),∴sinA=cosB.∴sinA=sin(