一般矩陣可逆的判定

一般矩陣可逆的判定Good（11統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院1111060231）摘要：作為一張表，矩陣的運(yùn)算規(guī)則具有特殊性。在運(yùn)算的過程中，逆矩陣則是作為矩陣乘法的逆運(yùn)算而存在的。由于矩陣乘法的逆運(yùn)算僅限于方陣，故而逆矩陣又作為一項(xiàng)特殊的矩陣除法運(yùn)算而存在。對(duì)于矩陣的運(yùn)算來說，逆矩陣是不可缺少的一部分。在以線性代數(shù)為基礎(chǔ)的研究中，逆矩陣是解決實(shí)際問題的一個(gè)最直觀，最實(shí)用的工具。然而在實(shí)際研究中，并不是所有方陣都存在逆矩陣，那么對(duì)于矩陣可逆的判定就顯得極其重要了。關(guān)鍵字：八階方陣4；4H0；rA=兀；r人#0；AB=BA=/九0引言逆矩陣是矩陣乘法逆運(yùn)算的結(jié)果。這個(gè)逆運(yùn)算的過程被作為矩陣運(yùn)算的一部分而不可或缺。對(duì)于所有矩陣而言，只有方陣中可逆的那部分才存在逆矩陣；就好像四邊形一樣，只有當(dāng)矩形的四邊相等才能被叫做正方形。然而也就是這很特殊的一小部分，它的運(yùn)用卻充斥著所有與線性代數(shù)相關(guān)的領(lǐng)域。比如：物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，統(tǒng)計(jì)學(xué)，數(shù)學(xué)，社會(huì)管理學(xué)等等。對(duì)于矩陣的運(yùn)算來說，逆矩陣的運(yùn)算至關(guān)重要。由于矩陣在實(shí)際運(yùn)用中具有的重要作用，而逆矩陣對(duì)于矩陣來說又具有重要的作用。在以矩陣為研究對(duì)象的研究過程中，研究逆矩陣也就有了很重要的意義。對(duì)于研究逆矩陣的過程中，“什么樣的矩陣才可逆？”是值得深討的問題。就像求四邊形中的正方形一樣，要求正方形，最基本的前提就是：四邊形必須是矩形。只有四邊形滿足四個(gè)內(nèi)角都是90度的時(shí)候，四邊形才稱的上是矩形。而對(duì)于矩形來說，只有滿足矩形的四條邊都相等時(shí)，這樣的矩形才能被稱為正方形。對(duì)于矩陣可逆來說，一個(gè)矩陣要可逆，最基本的前提：必須滿足矩陣的行列相等，矩陣必須是一個(gè)方陣才行。研究方陣的可逆，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用才存在實(shí)際意義。那么對(duì)于方陣來說，又需要滿足什么樣的條件，方陣才可逆呢？本文也就是從可逆矩陣的判定條件入手，著重分析可逆判定的充要條件。最后介紹幾種常用的求解逆矩陣的方法。1矩陣的概念1.0矩陣的定義定義1:令F是一個(gè)數(shù)域,矩陣列，則稱為加x八陣，用F上的6x幾個(gè)數(shù)%（=1,2,…，m;j=1,2,…，幾）排成定義1:令F是一個(gè)數(shù)域,矩陣列，則稱為加x八陣，aii

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a22in2namn1.1逆矩陣的定義定義2：設(shè)4是數(shù)域F上的八階方陣，若數(shù)域F上同時(shí)存在一個(gè)八階方陣3,使得AB=BA=In則稱3是4的逆矩陣，記作：B=4-1。

2矩陣可逆的判定2.0矩陣可逆判定的前提對(duì)于一個(gè)矩陣，要判定該矩陣是否可逆，首先必須要知道的就是該矩陣是不是方陣。跟要判斷一個(gè)四邊形是不是正方形一樣，如果四邊形不是矩形，那么也就不可能是正方形。如果已經(jīng)是矩形，那么就需要進(jìn)一步判定是不是正方形。內(nèi)容不一樣，但思想是相通的。這里要判定矩陣是否可逆，最基本的前提就是：矩陣必須是方陣！在滿足該前提的情況下，再去討論矩陣是否可逆才具有意義，否則是沒意義的。2.1由定義判定由“2.0矩陣可逆判定的前提”和定義“1.1逆矩陣的定義”可知，從滿足前提的矩陣可知，若存在一個(gè)方陣3,使得矩陣43=BA=1n，那么就可以稱矩陣4是可逆的，矩陣3就是矩陣4的逆矩陣。記作：B=A-1。如果不存在方陣3使得43=BA=In，那么就說矩陣4是不可逆的。但是這種通過定義判斷的方法存在局限性，只適用于很直觀，很簡單的矩陣。下面通過一個(gè)例子來分析。例子1：設(shè)存在一個(gè)方陣4和方陣C，如下所示：00 3-11A=020 C=20 1002 1-12解析：從題目可知矩陣4和矩陣C同時(shí)滿足可逆的前提條件。但對(duì)于矩陣C來說，定義無法直接給出矩陣C的逆矩陣，因而無法判斷C是否可逆。但是卻可以馬上判斷出矩陣4是可逆的，并且可以馬上寫出矩陣4的逆矩陣3,即:AB=BA=/20020000202002000020012000120000 1020=0102 00矩陣秩的判定定理1:設(shè)4是數(shù)域F上的八階方陣，若4可逆，那么rA=n0-1121332533-1-1300從定理1可知，一個(gè)矩陣可逆，矩陣必須是滿秩的。在例子1中，矩陣4很明顯是滿秩。即rA=3，即矩陣4是可逆的。那么對(duì)于矩陣C是否可逆，則需要經(jīng)過矩陣的初等變換求出矩陣-1-1300-113 302213 302經(jīng)過初等變換，可以得出rC=3,那么矩陣C也是可逆的。行列式判別法定理2：設(shè)4是數(shù)域F上的八階方陣，若4H0,那么4是可逆的。對(duì)于例子1中的方陣4和方陣C，可以求出A=8H0，那么方陣4可逆。對(duì)于方陣C，要求相對(duì)應(yīng)的行列式C的值。通過行列式的性質(zhì)可將C化簡。

-113-11=20 1=21-113-11=20 1=211-12-111=4中0302由于C豐0,所以通過行列式判斷C也是可逆的。特征值判別法定理3:設(shè)4是數(shù)域F上的八階方陣，若存在特征向量入使得A-AI=0,若特征向量入中的任意的一個(gè)元素V（中0,那么4是可逆的。對(duì)于例子1中的矩陣C有C-XI=0，即：—入一1 1C-AI= 2—入1 =01 -12-入解析：22-A-A2-A3-A=0A-1A-22=0A1=1,A2=A3=2通過求解矩陣C的特征值，對(duì)于V乙。0，所以矩陣C是可逆的。3逆矩陣的求解定義法求逆矩陣從定義2和2.1可知用定義法求解逆矩陣存在很大的局限性，只適用于很直觀，很簡單的矩陣。初等變換求逆矩陣定義3：矩陣的初等變換＜第一類〉對(duì)調(diào)矩陣中任意兩行（列）的位置。＜第二類〉用一非零數(shù)乘以矩陣的某一行（列）。＜第三類〉將矩陣中的某一行（列）乘以常數(shù)加到另一行（列）。定義4：若4是數(shù)域F上可逆的九階方陣，則4可以通過初等變換為單位矩陣/，在變換的過程中，當(dāng)4轉(zhuǎn)換為/時(shí)，相應(yīng)的/也轉(zhuǎn)換為4-1。記為：AIt/4-1對(duì)于例子1中的矩陣C，由于判定的結(jié)果是可逆的，那么下面將利用初等變換法來求出矩陣C的逆矩陣C-1。解析：CITIC-1332133213-1110020 1010-1-1200111133321213-103212001；；~223-1CC-i=201-11144C-1C=-1_4411~22\o"CurrentDocument"11133321213-103212001；；~223-1CC-i=201-11144C-1C=-1_4411~22\o"CurrentDocument"1 1-4 4\o"CurrentDocument"1 3--，根據(jù)定義4,那么。-1=--4 41 1\o"CurrentDocument"2 -243414 45 14 -41 1-1 1 10 00 1 = 01 0=1n-1 2 00 13.3伴隨矩陣求逆矩陣定理4：幾階矩陣人可逆的充要條件是4非奇異，那么4-1=二,AAA???A1112InAA???A2122?.2nAA???Anln2nn定義5:伴隨矩陣:A*=1-41-41-2---21-45-41-24*為矩陣4的伴隨矩陣。,4.是4中a..的代數(shù)余子式。/*為矩陣4的伴隨矩陣。IJ IJ定義6：A=auAu+a21A21+a31^31+-+anlAnl=%=i%/is〈行列式展開式,若swr,則；,s=i4/is=°；s=廠，；,s=i4/is=%，其中%=(T>+/%〈代數(shù)余子式》分析步驟：設(shè)九階矩陣4是非奇異陣，那么4可逆。那么44*如下所示:AA*= 21*a12人22aInJ2nIn2n%2ann???若s?則黑=內(nèi)/「°；若s=%na，4=4rfs=llrIs-4-Ann根據(jù)定義6可知A4*的值為AI。A0…010…0dd ° A44*=…0? ??? ：=401…0???：00…A00…1例子1中的矩陣c??通過前面的判別分析可以知道矩陣C是可逆的。??矩陣C是非奇異的。下面用矩陣伴隨矩陣法求出矩陣C的逆矩陣。1>求出伴隨矩陣C*。1 1 -1C*=—35—1-222<2>求出矩陣C的行列式C。3-11TOC\o"1-5"\h\zC=20 1=41-12<3>根據(jù)定理4求出矩陣C的逆矩陣C-1=^11 1C*111-1C-1=—=—X-35-1C4-22244 435 144 411 122 2<4>驗(yàn)證43=BA=/nCC-1=C-1C=In11CC-1=CC-1=3-1120 11-1244 435 144 411 1100010001C-1CC-1C=44 411 122 2-11 1000 1 =010=/n-12 001<5>結(jié)論用伴隨矩陣的方法和初等變換法所求的結(jié)果是一致的，只不過伴隨矩陣的方法比較繁瑣，當(dāng)矩陣的階數(shù)高于3階時(shí)，初等變換法相對(duì)較方便。除此以外還有其他的一些其逆矩陣的方法，比如：分塊矩陣求逆矩陣，分解矩陣求逆矩陣，遞推法求逆矩陣，特征多項(xiàng)式法等多種方法。這里就不一一介紹這些方法了。在實(shí)踐中只有最簡便的方法，才是最實(shí)用的，很多的方法雖然可以求出逆矩陣，但是方法太過復(fù)雜，但不能忽略那些思想，也許在某一個(gè)領(lǐng)域，這種思想才是最實(shí)用的。4總結(jié)在求解一個(gè)矩陣的逆矩陣，很多人往往直接求解而不注重分析一個(gè)矩陣是否可逆，甚至有人直接拿著一個(gè)不是方陣的矩陣去求解逆矩陣，他就不會(huì)想到一個(gè)矩陣要可逆，最基本的前提：矩陣必須是一個(gè)方陣。然而也有很多的人知道這個(gè)前提，雖然知道怎么求解一個(gè)矩陣的逆矩陣，但是卻不會(huì)去判斷一個(gè)矩陣是否可逆。這樣做很多時(shí)候只會(huì)浪費(fèi)時(shí)間去求一個(gè)不可逆的矩陣。本文中也介紹了幾種判斷矩陣可逆的方法，雖然不是很全面，但是對(duì)一般矩陣可逆的判斷已經(jīng)足夠了。在知道矩陣可逆之后，再去求解矩陣的逆矩陣才是明智的。對(duì)于矩陣的逆矩陣求解，本文介紹了兩種求一般矩陣逆矩陣的方法，初等