微積分習題（一、二、三）

...wd......wd......wd...微積分習題一一、填空題〔每題3分，總計15分〕。1、，那么.2、設(shè)在處連續(xù)，且，那么.3、在處有極值-2，那么的極大值為.4、.5、假設(shè)向量垂直于向量與向量，且與向量的數(shù)量積等于-6，那么向量.二、單向選擇填空題〔每題3分，總計15分〕1、設(shè)函數(shù)，以下關(guān)系正確的選項是〔〕.A.B.C.D.2、以下廣義積分收斂的是〔〕.A.B.C.D.3、=〔〕.A.1B.eC.2D.04、曲線的弧長為〔〕.A.B.C.D.5、函數(shù)處處連續(xù)，那么().A.2B.-2C.1D.–1三、計算題〔每題6分，總計48分〕。1.設(shè)連續(xù)，且求2.設(shè)函數(shù)可導，求的導數(shù)。3.是由方程所確定的隱函數(shù)，求.4.，求在處的值.5.求6.求7.求通過直線和點的平面方程.8.求四、應(yīng)用題〔15分〕。1、設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形的面積為又設(shè)與直線所圍成的圖形的面積為〔1〕試確定的值及使到達最小，并求出最小值.〔2〕求由該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.2.設(shè)有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿了水.問將池中的水全部抽出需作多少功五、證明題〔共7分〕1.證明不等式在時成立.2.設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導，且試證明存在，使得答案：一、填空題〔每題3分，總計15分〕。1、2、A.3、極大值為.4、.5、.二、單向選擇填空題〔每題3分，總計15分〕1.B2.C3.D4.A5.B三、計算題〔每題6分，總計48分〕。1.設(shè)連續(xù)，且求2.設(shè)函數(shù)可導，求的導數(shù)。3.是由方程所確定的隱函數(shù)，求.4.，求在處的值.5.求6.求7.求通過直線和點的平面方程.8.求四、應(yīng)用題〔15分〕1.設(shè)有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿了水.問將池中的水全部抽出需作多少功2、設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形的面積為又設(shè)與直線所圍成的圖形的面積為〔1〕試確定的值及使到達最小，并求出最小值.〔2〕求由該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.2.設(shè)有一半徑為4米的半球形水池，里面充滿了水.問將池中的水全部抽出需作多少功五、證明題〔共7分〕1.證明不等式在時成立.令2.設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導，且試證明存在，使得微積分習題二一、填空題〔本大題共5小題，每題3分，共15分〕1.極限＝_______.2.曲線的凸(向上凸)區(qū)間是______________.3.設(shè)在內(nèi)處處可導，那么極限＝____________________.4.曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面方程是_______________.5.微分＝_________________.二、單項選擇題〔本大題共5小題，每題3分，共15分〕1.設(shè)均為非零向量，那么與向量不垂直的向量為〔〕.A.B.C.D.2.假設(shè)函數(shù)滿足，那么此函數(shù)必().A.有極值B.無極值C.不單調(diào)D.不可導3.以下廣義積分發(fā)散的是().A.B.C.D.4.星形線的全長是()A.B.C.D.5.一物體按規(guī)律作直線運動，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，比例常數(shù)為，那么此物體從移至時抑制媒質(zhì)阻力所作的功為().A.B.C.D.三、計算題〔本大題共7小題，每題7分，共49分〕1.求極限.2.求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù)3.設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.4.計算積分5.計算積分.6.計算定積分7.直線過點且與直線相交，又平行于平面，求此直線方程.四、應(yīng)用題〔本大題共2小題，每題7分，共14分〕1.在一個半徑為的圓內(nèi)內(nèi)接一個矩形，當矩形的長和寬為多少時，矩形的面積最大2.求由曲線與軸所圍成的平面圖形的面積，及此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.五、證明題〔本大題共2小題，第1小題4分，第2小題3分〕1.當時，證明不等式.2.設(shè)在上連續(xù)，在上可積，且，那么在上至少存在一點，使得.答案：一1.2.3.4.5.二1.2.3.4.5.三1.解:原式2.解:3.解:方程兩邊同時微分得:整理得:即4.解:原式5.解:原式6.解:原式=7.解:過點與平面平行的平面方程為記為與的交點為方程組的解解得交點為故所求的直線方程為：四1.解:設(shè)矩形的長和寬分別為那么滿足,矩形面積解得(負值舍去)當時時故在時,取得極值考慮實際意義,在區(qū)間端點處故在時,取得極值即為最大值2.解:曲線與軸的交點為:和五1.證明:令那么故單調(diào)減少,即所以2.證明:令取分別為在上的最大值和最小值那么故由連續(xù)函數(shù)介值定理知:使得即:微積分習題三浙江大學2004級微積分〔上〕期中測驗試題解答填空〔每題4分，共32分〕判斷以下函數(shù)的連續(xù)點的類型：是的第一類〔可去〕連續(xù)點；是的第一類〔跳躍〕連續(xù)點；是的第二類連續(xù)點。2．假設(shè)，那么。3．假設(shè)，那么。4．設(shè)當時，是比高階的無窮小，那么。5．設(shè)，那么其n階導數(shù)在點處取到極小值。6．設(shè)點是曲線的拐點，那么參數(shù)。7．函數(shù)的圖形有鉛垂?jié)u近線和斜漸近線。8．，且，那么。計算與證明〔共68分〕〔6分〕解：〔6分〕解1：解2：設(shè)，試確定a，b，使在處可導，并求?！?分〕解：在處可導因而連續(xù)，，且那么求由方程所確定的函數(shù)的微分以及在處的切線方程?！?分〕解：方程兩邊求微分：或切線斜率，切線方程為：即設(shè)，求以及在處的曲率半徑?！?分〕解：曲率，那么曲率半徑求的取值范圍，使得方程有實根?！?分〕解：設(shè)故有唯一極小值點，極小值為。而當時，方程有唯一實根，當時，方程有兩個實根，于是，。設(shè)，試證存在，并求此極限?！?分〕證：，設(shè)成立，那么單調(diào)遞增。又設(shè)成立，那么有上界。于是收斂。設(shè)，那么，。設(shè)在上可導，且，試證至少存在一點，使。〔6分〕解：設(shè)在上連續(xù)，可導，且由羅爾定理，至少存在一點，使，即。求〔6分〕解：求〔6分〕