利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立能成立問題

JbV3/2bV9/4,即：1VbV9/4綜上：bV9/4點評：考查學(xué)生的解題思維，萬變不離其宗，只要會了函數(shù)的求導(dǎo)就不難解該題了．8.不等式x3-3x2+2-aV0在區(qū)間x￡[-1,1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍(2,+8).考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．專題：計算題．分析：變形為x3-3x2+2Va在閉區(qū)間￡[-1,1]上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為三次多項式函數(shù)在區(qū)間上求最值的問題，可以分兩步操作：①求出f(x)=x3-3x2+2的導(dǎo)數(shù)，從而得出其單調(diào)性；②在單調(diào)增區(qū)間的右端求出函數(shù)的極大值或區(qū)間端點的較大函數(shù)值，得出所給函數(shù)的最大值，實數(shù)a要大于這個值.解答：解：原不等式等價于x3-3x2+2Va區(qū)間x￡[-1,1]上恒成立，設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2,xE[-1,1]求出導(dǎo)數(shù)：f/(x)=3x2-6x,由f/(x)=0得x=0或2可得在區(qū)間(-1,0)上f/(x)>0,函數(shù)為增函數(shù)，在區(qū)間(0,1)上f/(x)V0,函數(shù)為減函數(shù)，因此函數(shù)在閉區(qū)間[-1,1]上在x=0處取得極大值f(0)=2,并且這個極大值也是最大值所以實數(shù)a>2故答案為：(2,+8)點評：本題利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)在區(qū)間上的最值,處理不等式恒成立的問題時注意變量分離技巧的應(yīng)用,簡化運算．.當(dāng)x￡(0,+8)時，函數(shù)f(x)=ex的圖象始終在直線y=kx+1的上方，則實數(shù)k的取值范圍是(-8,1].考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.專題：常規(guī)題型.分析：構(gòu)造函數(shù)G(x)=f(x)-y=ex-kx+1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，最小值大于0時k的范圍，即k的取值范圍解答：解：G(x)=f(x)-y=ex-kx+1,G'(x)=ex-k,,/x￡(0,+8).,.Gz(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時G，(x)最小，當(dāng)x=0時G，(x)=1-k當(dāng)G，(x)>0時G(x)=f(x)-y=ex-kx+1單調(diào)遞增，在x=0出去最小值0所以1-k20SPkE(-oo,1].故答案為：(-8,1L點評：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷其增減性，求k值，屬于簡單題..設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x￡R),若對于任意的x￡[-1,1]都有f(x)20成立，則實數(shù)a的值為4.考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.專題：計算題.分析：弦求出f'(x)=0時x的值，進(jìn)而討論函數(shù)的增減性得到f(x)的最小值，對于任意的x￡[-1,1]都有f(x)20成立，可轉(zhuǎn)化為最小值大于等于0即可求出a的范圍.解答：解：由題意，f,(x)=3ax2-3,當(dāng)aW0時3ax2-3V0,函數(shù)是減函數(shù)，(0)=1,只需(1)20即可，解得a22,與已知矛盾，_當(dāng)a>0時，令f,(x)=3ax2-3=0解得x=土工^,a①當(dāng)xV-時，f,(x)>0,f(x)為遞增函數(shù)，②當(dāng)-VxV時，f,(x)V0,f(x)為遞減函數(shù)，③當(dāng)x>時，f(x)為遞增函數(shù).所以f()20,且f(-1)20,且f(1)20即可由千()20,即a?-3^+120,解得a24,由f(-1)20,可得aW4,由f(1)20解得2WaW4,綜上a=4為所求.故答案為：4.點評：本題以函數(shù)為載體，考查學(xué)生解決函數(shù)恒成立的能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題..若關(guān)于x的不等式x2+12kx在[1,2]上恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是(-8,2].考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.專題：計算題.分析：被恒等式兩邊同時除以X,得到kWx+工，根據(jù)對構(gòu)函數(shù)在所給的區(qū)間上的值域，得到當(dāng)式子恒成立時，k要小于函數(shù)式的%小值.解答：解：..?關(guān)于X的不等式x2+12kx在[1,2]上恒成立,，kWx+,V在[1,2]上的最小值是當(dāng)x=2時的函數(shù)值2,，kW2,??.k的取值范圍是(-8,2]故答案為：(-8,2].點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是對于所給的函數(shù)式的分離參數(shù)，寫出要求的參數(shù)，再利用函數(shù)的最值解決.12.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=()x-m,若Vx[￡[O,3],3x2G[1,2],使得f(x)2g(x2),則實數(shù)m的取值范圍是()A.[,+8)B.(-°°,]C.[,+8)D.(-°0,-]考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.專題：計算題.分析：先利用函數(shù)的單調(diào)性求出兩個函數(shù)的函數(shù)值的范圍，再比較其最值即可求實數(shù)m的取值范圍.解答：解：因為々￡[0,3]時，f(x)G[0,In4];x2G[1,2]時，g(x2)G[-m,-m].故只需02-mom》.故選A.點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力和分析問題的能力，屬于中檔題.13.已知,,若對任意的2],總存在2],使得g(x)=f(x2),則m的取值范圍是()A.[0,]B.[,0]C.[,]D.[,1]考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；特稱命題.專題：綜合題.分析：根據(jù)對于任意x1￡[-1,2],總存在%￡[-1,2],使得g(x1)=f(x2),得到函數(shù)g(x)在[-1,2]上值域是f(x)在[-1,2]上值域的子集，然后利用求函數(shù)值域的方法求函數(shù)f(x)、g(x)在[-1,2]上值域，列出不等式，解此不等式組即可求得實數(shù)a的取值范圍即可.解答：解：根據(jù)對于任意?-1,2］,總存在2］,使得g(x)=f(x2),得到函數(shù)w(x)在［-1,2］上值域是f(x)在［-1,2］上值域的子集3f⑺二、■一工求導(dǎo)函數(shù)可得：/(x)=X2-1=(x+1)(X-1)，，函數(shù)f(x)在［-1,1)上單調(diào)減，在(1,2］上單調(diào)增.-.f(-1)=,f(1)=-,f⑵=，(x)在［-1,2］上值域是［-,］；m>0時，函數(shù)g(x)在［-1,2］上單調(diào)增，"(x)在［-1,2］上值域是［-m+,2m+］-m+-且22m+「.OVmWmR時，g(x)=滿足題意；mVO時，函數(shù)g(x)在［-1,2］上單調(diào)減，「.g(x)在［-1,2］上值域是［2m+,-m+1.,.2m+2-且2-m+-WmVO綜上知m的取值范圍是［,］故選C.點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)的值域，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題..已知集合A={x￡R|W2},集合B={a￡R|已知函數(shù)f(x)=-1+lnx,3xq>0,使f(xo)WO成立},則AC1B=()A.{x|x<}B.{x|xW或x=1}C.{x|x<或x=1}D.{x|x<或x21}考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；交集及其運算.專題：計算題.分析：解分式不等式求出集合A,根據(jù)集合B可得aWx-xlnx在(0,+-)上有解.利用導(dǎo)數(shù)求得h(x)=x-xlnx的值域為(-8,1］,要使不等式aWxInx在(0,+8)上有解，只要a小于或等于h(x)的最大值即可，即aW1成立，故B={a|aW1},由此求得AAB.解答：解：集合A={x￡R|W2}={x|}={x|}={x|(x-1)(2x-1)20,且2x-1十0}={x|x<，或x21}.由集合B可知f(x)的定義域為{x|x>0},不等式-1+lnxW0有解,即不等式aWx-xlnx在(0,+-)上有解.令h(x)=x-xlnx,可得h，(x)=1-(lnx+1)=-Inx,令h，(x)=0,可得x=1.再由當(dāng)0VxV1時，h，(x)>0,當(dāng)x>1時，h，(x)<0,可得當(dāng)x=1時，h(x)=x-xlnx取得最大值為1.要使不等式aWx-xlnx在(0,+-)上有解，只要a小于或等于h(x)的最大值即可.即aW1成立，所以集合B={a|aW成.所以AAB={x|xV,,或x=1}.故選C.點評：本題主要考查集合的表示方法、分式不等式的解法，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，兩個集合的交集的定義和求法，屬于中檔題..設(shè)函數(shù)，(P是實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；(2)若在［1,e］上至少存在一點x°,使得f(x0)>g(xo)成立，求p的取值范圍.考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.專題：計算題.分析：(1)求導(dǎo)/(x)=,要使“f(x)為單調(diào)增函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為葉，(x)20恒成立"，再轉(zhuǎn)化為“p?=恒成立"，由最值法求解.同理，要使“f(x)為單調(diào)減函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為“產(chǎn)(x)W0恒成立"，再轉(zhuǎn)化為“PW=恒成立"，由最值法求解，最后兩個結(jié)果取并集.(2)因為“在［1,e］上至少存在一點x0,使得f(x0)>g(xo)成立”，要轉(zhuǎn)化為“f(x)喇,g(x)解決，易知g(x)=在［1,e］上為減函數(shù)，所以g(x)e［2,2e］,①當(dāng)pWO時，千6)在［1,e］上遞減;②當(dāng)p21時，f(x)在［1,e］上遞增；③當(dāng)0VpV1時，兩者作差比較.解答：解：(1)f'(x)=，要使“f(x)為單調(diào)增函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為“f,(x)20恒成立"，即p2=恒成立，又，所以當(dāng)p21時，f(x)在(0,+8)為單調(diào)增函數(shù).同理，要使“f(x)為單調(diào)減函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為“f,(x)W0恒成立，再轉(zhuǎn)化為“pW=恒成立"，又，所以當(dāng)pW0時，f(x)在(0,+8)為單調(diào)減函數(shù).綜上所述，f(x)在(0,+8)為單調(diào)函數(shù)，p的取值范圍為p21或pW0(2)因g(x)=在［1,e］上為減函數(shù)，所以g(x)e［2,2e］①當(dāng)pW0時，由(1)知f(x)在［1,e］上遞減nf(x)max=f(1)=0V2,不合題意②當(dāng)p21時，由(1)知f(x)在［1,e］上遞增，f(1)<2,又g(x)在［1,e］上為減函數(shù)，故只需f(x)(x)xe［1,e］,即：f(e)=p(e-—)-21ne>2=>p>.e③當(dāng)0VpV1時，因X-20,x￡［1,e］所以f(x)=p(x-)-2lnxW(x-)-2lnxWe--2lneV2不合題意綜上，P的取值范圍為(，+8)點評：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零，已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題..若函數(shù)y=f(x),x￡D同時滿足下列條件：(1)在D內(nèi)的單調(diào)函數(shù)；(2)存在實數(shù)m,n,當(dāng)定義域為［m,n］時，值域為［m,n］.則稱此函數(shù)為D內(nèi)可等射函數(shù)，設(shè)(a>0且a十1),則當(dāng)f(x)為可等射函數(shù)時，a的取值范圍是(0,1)U(1,2).考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域.專題：新定義.分析：求導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)可等射函數(shù)的定義，可得m,n是方程的兩個根，構(gòu)建函數(shù)g(x)=，則函數(shù)g(x)=有兩個零點，分類討論，即可確定a的取值范圍.解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f,(x)=ax>0,故函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)???存在實數(shù)m,n,當(dāng)定義域為［m,n］時，值域為［m,n］./.f(m)=m,f(n)=n??.m,n是方程的兩個根構(gòu)建函數(shù)g(x)=，則函數(shù)g(x)=有兩個零點，g,x)=ax-1①0VaV1時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,0),單調(diào)減區(qū)間為(0,+8)???g(0)>0,.??函數(shù)有兩個零點，故滿足題意；②a>1時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,+8)要使函數(shù)有兩個零點，則g(0)V0,...,Aa<2/.1<a<2綜上可知，a的取值范圍是(0,1)U(1,2)故答案為：(0,1)U(1,2).點評：本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確理解新定義是關(guān)鍵..存在xVO使得不等式x2V2-|x-t|成立，則實數(shù)t的取值范圍是（-厘，2）.4考點：絕對值不等式.專題：計算題.分析：本題利用純代數(shù)討論是很繁瑣的，要用數(shù)形結(jié)合.原不等式x2V2-即|x-t|<2-x2,分別畫出函數(shù)y2=2-x^,這個很明確，是一個開口向下，關(guān)于y軸對稱，最大值為2的拋物線；要存在xVO使不等式|x-t|V2-x2成立，則y1的圖象應(yīng)該在第二象限（xV0）和y2的圖象有交點，再分兩種臨界講座情況，當(dāng)tW0時，y1的右半部分和y2在第二象限相切；當(dāng)t>0時，要使y1和y2在第二象限有交點，最后綜上得出實數(shù)t的取值范圍.解答：解：不等式x2V2-|x-t|,即|x-t|V2-x2,令y1=|x-t|,y1的圖象是關(guān)于x二t對稱的一個V字形圖形，其象位于第一、二象限；y2=2-x2,是一個開口向下，關(guān)于y軸對稱，最大值為2的拋物線；要存在xV0,使不等式|x-t|V2-x2成立，則y1的圖象應(yīng)該在第二象限和^的圖象有交點，兩種臨界情況，①當(dāng)tW0時，y1的右半部分和y2在第二象限相切：y1的右半部分即y1=x-t,聯(lián)列方程y=x-t,y=2-x2,只有一個解；即x-t=2-x2,即x2+x-t-2=0,△=1+4t+8=0,得:t=-；此時匕恒大于等于y2,所以t二-取不到；所以-VtW0；②當(dāng)t>0時，要使y1和y2在第二象限有交點，即y1的左半部分和y2的交點的位于第二象限；無需聯(lián)列方程，只要y1與y軸的交點小于2即可；y1=t-x與y軸的交點為（0,t）,所以tV2,又因為t>0,所以0VtV2；綜上，實數(shù)t的取值范圍是：-VtV2;故答案為：（-,2）.點評：本小題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用、二次函數(shù)、絕對值不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題..存在實數(shù)x,使得x2-4bx+3bV0成立，則b的取值范圍是b>至或bV0.考點：函數(shù)恒成立問題.專題：計算題；轉(zhuǎn)化思想.分析：先把原命題等價轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)x,使得函數(shù)y=x2-4bx+3b的圖象在X軸下方，再利用開口向上的二次函數(shù)圖象的特點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與X軸有兩個交點，對應(yīng)判別式大于0即可解題.解答：解：因為命題：存在實數(shù)x,使得x2-4bx+3bV0成立的等價說法是：存在實數(shù)x,使得函數(shù)y=x2-4bx+3b的圖象在X軸下方，即函數(shù)與X軸有兩個交點，故對應(yīng)的△=(-4b)2-4X3b>00bV0或b>.故答案為：bV0或b>.點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象分布以及函數(shù)圖象與對應(yīng)方程之間的關(guān)系，是對函數(shù)知識的考查，屬于基礎(chǔ)題..已知存在實數(shù)x使得不等式|x-3|-|x+21213a-1|成立則實數(shù)a的取值范圍是.考點：絕對值不等式.專題：數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想.分析：由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，令其大于等于13a-1|,即可解出實數(shù)a的取值范圍解答：解：由題意借助數(shù)軸，|x-3|-|x+2|e[-5,5]???存在實數(shù)x使得不等式|x-3|-|x+21213a-1|成立，.??52|3a-l|,解得-5W3a-1W5,即-WaW2故答案為點評：本題考查絕對值不等式，求解本題的關(guān)鍵是正確理解題意，區(qū)分存在問題與恒成立問題的區(qū)別，本題是一個存在問題，解決的是有的問題，故取|3a-l|W5,即小于等于左邊的最大值即滿足題意，本題是一個易錯題，主要錯誤就是出在把存在問題當(dāng)成恒成立問題求解，因思維錯誤導(dǎo)致錯誤..存在實數(shù)a使不等式aW2-x+i在[-1,2]成立，則a的范圍為(-8,4].考點：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.專題：計算題.分析：由x的范圍可得1-x的范圍，由此得到2-x+i的范圍，從而得到a的范圍.解答：解：由于-1WxW2,，-1W1-xW2,「.W2-x+1W4.???存在實數(shù)a使不等式aW2-x+1在[-1,2]成立，.言?4.故a的范圍為(-8,4],故答案為(-8,4].點評：本題主要考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于中檔題..若存在x￡[-E,—],使成立，則實數(shù)a的取值范圍為.34考點：正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)的圖象與圖象變化.專題：計算題.分析：根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，分別求出當(dāng)OWxW和WxWO時|sinx|的范圍，進(jìn)而推知乂金時，|sinx|的最大值.進(jìn)而可知要使成立，只需小于其最大值即可.解答：解：當(dāng)OWxW時，O^|sinx|=sinxW當(dāng)WxWO時，OWsinx|二-sinxW即當(dāng)x￡,OW|sinx|W??.要使成立，則需V即故答案為：點評：本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性.屬基礎(chǔ)題..設(shè)存在實數(shù)，使不等式成立，則實數(shù)t的取值范圍為t.考點：函數(shù)恒成立問題.專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：考慮關(guān)鍵點x=1處，分為以下兩端：①x￡(,1]時，t>:②乂金。，3]時，t2，綜上所述，t>.解答：解：考慮關(guān)鍵點x=1處，分為以下兩端：①x￡(,1]時，-x20,lnxW0,于是t+-x>e-lnx,即t>—+x+=x>，此時t>.②x￡(1,3]時，-x<0；lnx>0,于是t-+x>elnx,即t>-x+x=，此時t2,綜上所述，t>.故答案為：t.點評：本題考查不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運用..若存在實數(shù)p￡[-1,1],使得不等式px2+(p-3)x-3>0成立，則實數(shù)x的取值范圍為(-3,-1).考點：函數(shù)恒成立問題；一元二次不等式的解法.分析：把已知不等式整理為關(guān)于P的一元一次不等式，而不等式左邊為關(guān)于P的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得此函數(shù)的最值只有在［-1,1］的端點取得，根據(jù)題意不等式恒成立可得當(dāng)p=-1時，最小值大于0即可，故把p=-1代入不等式，得到關(guān)于X的不等式，求出不等式的解集即可得到X的取值范圍.解答：解：不等式px2+(p-3)x-3>0可以化為：p(x2-3x)-3x-3>0,這是一個關(guān)于P的一元一次不等式，函數(shù)p(x2-3x)-3x-3是關(guān)于p的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖象是直線，在定義域上是單調(diào)遞增或遞減，P￡［-1,1］時，函數(shù)p(x2-3x)-3