2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)

名稱:反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)年級學科九年級數(shù)學教材版本人教版一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課內(nèi)容是在已經(jīng)學習了平面直角坐標系和一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步研究反比例函數(shù)的圖像，并通過圖像的研究和分析，來確定反比例函數(shù)的性質(zhì)．反比例函數(shù)是最基本的初等函數(shù)之一，是后續(xù)學習各類函數(shù)的基礎(chǔ)．反比例函數(shù)的核心內(nèi)容是反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)．反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的核心，是圖像“特征”、函數(shù)“特性”以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，這也正是反比例函數(shù)的本質(zhì)屬性所在．反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，蘊含著豐富的數(shù)學思想．首先，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體．通過對圖像的研究和分析，可以確定函數(shù)本身的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．這在學習數(shù)軸、平面直角坐標系時，學生已經(jīng)接觸過，結(jié)合本課內(nèi)容，可以進一步加強對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解，發(fā)揮從“數(shù)”和“形”兩個方面共同分析解決問題的優(yōu)勢．其次，從本節(jié)課知識的形成過程來看，由“解析式（確定自變量取值范圍）”到“作圖（列表、描點、連線）”，再到“性質(zhì)（觀察圖像探究性質(zhì)）”，充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，這種函數(shù)解析式及性質(zhì)與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，突出體現(xiàn)了兩者間的轉(zhuǎn)化對分析解決問題的特殊作用，是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用．二、教學目標（1）能描點畫出反比例函數(shù)的圖像．（2能根據(jù)圖像數(shù)形結(jié)合地分析，從而發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)觀察、歸納、概括的能力．（3）能利用反比例函數(shù)性質(zhì)分析并解決一些基本問題，抓住函數(shù)的變化規(guī)律是由決定的這一性質(zhì)．（4）在探究活動中，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于探索的科學精神，在師生、生生的交流活動中，學會與人合作，學會傾聽、欣賞和感悟．重點：能描點畫出反比例函數(shù)的圖像并探索其性質(zhì)．難點：類比一次函數(shù)圖像及其性質(zhì)探索并理解反比例函數(shù)圖像的特征．三、學習者特征分析學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)，基本熟練掌握了一次函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)與應(yīng)用，同時前一課也初步認識、感知了反比例函數(shù)的概念．但是反比例函數(shù)自身的特殊性以及學生學習一次函數(shù)所產(chǎn)生的“慣性”，會導致學生在畫圖、探究反比例函數(shù)的性質(zhì)等方面出現(xiàn)負遷移等問題．為此，教學時將采取正面引領(lǐng)（展示學生所畫的正確圖像，回顧作圖步驟）、反面剖析（展示學生所畫的錯誤圖像，分析錯誤原因）、實踐操作（學生再畫函數(shù)圖像時，不僅能正確作出函數(shù)的圖像，而且能在作圖中體驗、探索函數(shù)的性質(zhì)）3個步驟加以解決．四、教學過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知問題1我們已經(jīng)學習了正比例函數(shù)的哪些內(nèi)容？是如何研究的？以正比例函數(shù)為例，請同學們從圖像形狀、位置、變化趨勢和函數(shù)增減性4個方面填寫表1．表1函數(shù)圖像形狀圖像分布圖像變化趨勢函數(shù)增減性師生活動：教師提問，學生思考、回答，教師根據(jù)學生回答的情況加以補充，并將答案寫在表格中，強調(diào)是從形狀、位置、變化趨勢和函數(shù)增減性4個方面去研究的．教師特別指出：本節(jié)課我們先研究反比例函數(shù)圖像及其形狀和分布．【設(shè)計意圖】通過復習正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及研究函數(shù)的一般方法，為學習反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)做好鋪墊．（二）操作探究，形成新知問題2反比例函數(shù)的圖像會是什么形狀的？利用描點法畫出反比例函數(shù)的圖像來看一看．同時注意點在什么位置，這些點構(gòu)成什么圖形？列表（如表2）．…………列表時，關(guān)注學生是否注意到自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義（即），同時，所取的點既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)?yīng)的函數(shù)值太大或是太小，以便于描點和全面反映圖像的特征．（2）描點：一般情況下，所選的點越多圖像越精確．（3）連線：（重點分析）師生活動：教師引導學生列表、描點、作圖；展示學生作品；教師板書示范，并通過課件演示反比例函數(shù)圖像的生成過程，給出雙曲線的名稱，并滲透它的形態(tài)特征．【設(shè)計意圖】圖像是直觀地描述和研究函數(shù)的重要工具，通過經(jīng)歷用描點法畫出反比例函數(shù)圖像的基本步驟，可以使學生對反比例函數(shù)先有一個初步的感性認識．問題3教師巡視學生作圖后展示幾幅學生的作品，作圖是否正確？如果你認為不正確，能不能反思一下它們的問題在哪里？（用實物投影展示學生用描點法畫出的作品）學生可能會出現(xiàn)的作圖錯誤：①用折線段連接；②圖像與軸、軸相交（顯然，，圖像一定不經(jīng)過坐標原點，也永遠不會與軸、軸相交）；③不能完整反映其圖像“漸進”的特征．問題4反比例函數(shù)的圖像不能用折線段連接，為什么是平滑的曲線呢？師生活動：（1）教師引導學生在范圍內(nèi)描5個點，細畫的圖像的一段（如表3）（2）教師利用計算機在范圍內(nèi)描10個點，細畫的圖像的一段．（3）教師利用計算機在范圍內(nèi)描50個點，細畫的圖像的一段．（4）教師利用計算機在范圍內(nèi)描100個點，細畫的圖像的一段．（5）教師利用計算機在范圍內(nèi)描1000個點，畫的圖像．【設(shè)計意圖】在這個過程中，由具體一段函數(shù)圖像變化的研究，讓學生體驗隨著點的個數(shù)的不同，反比例函數(shù)的圖像是如何由折線變化成曲線的．并說明：平時我們畫反比例函數(shù)的圖像，當然是希望取較少的點就能畫出精確的圖像，于是可以借助特殊點，利用在研究過程中積累的經(jīng)驗，把它們用平滑的曲線連起來．問題5觀察反比例函數(shù)的圖像，有哪些特征？師生活動：教師引導學生觀察、類比正比例函數(shù)，歸納說出反比例函數(shù)圖像的形狀、分布．結(jié)論：觀察反比例函數(shù)的圖像是兩條曲線（給出函數(shù)圖像名稱：雙曲線），兩條曲線分別位于第一、三象限．【設(shè)計意圖】通過類比正比例函數(shù)，引導學生觀察圖像的形狀、分布，感受“形”的特征，使學生對反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)形成初步的印象．問題6是不是所有的反比例函數(shù)的圖像都具有這樣的特征呢？以討論反比例函數(shù)為例．在教師的引導下，學生借鑒畫反比例函數(shù)的圖像的經(jīng)驗，自主畫出反比例函數(shù)的圖像，教師巡視指導．作圖完成后，學生展示作品，并說出該函數(shù)圖像的特征，教師適時點評．【設(shè)計意圖】通過再次畫出反比例函數(shù)的圖像，幫助學生鞏固前面已獲得的作圖經(jīng)驗，提高學生利用描點法畫出函數(shù)圖像的能力．同時，在總結(jié)、說出反比例函數(shù)的圖像特征的過程中，增強學生對圖像的觀察、感知、分析、概括的能力，讓學生經(jīng)歷畫出函數(shù)圖像、并利用圖像研究函數(shù)性質(zhì)的過程．問題7反比例函數(shù)與的圖像有哪些共同特征？有哪些不同點？是由什么決定的？師生活動1：教師啟發(fā)學生對比、思考、組織學生討論，引導學生關(guān)注反比例系數(shù)“”的作用．教師特別指出：我們從反比例函數(shù)的解析式同樣能發(fā)現(xiàn)“反比例函數(shù)圖像的位置特征”．對于反比例函數(shù)，當時，、的正負符號相同，以為坐標的點位于第一或第三象限；當時，、的正負符號相反，以為坐標的點位于第二或第四象限．【設(shè)計意圖】學生通過觀察比較，總結(jié)這兩個反比例函數(shù)圖像的特征，在活動中，讓學生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，實現(xiàn)學生主動參與、探究新知的目的．同時，強調(diào)回歸解析式的必要性，這種從“數(shù)”的方面的再強調(diào)，會使學生對反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)的認識更加科學精確．問題8當取不同的值，上述結(jié)論是否適用于所有的反比例函數(shù)？教師借助《幾何畫板》，賦予不同的值，畫出了更多反比例函數(shù)的圖像，觀察所得到的不同的反比例函數(shù)圖像的特征，引導學生歸納“變化中規(guī)律性”．然后，從解析式的角度，引導學生分析上述結(jié)論的合理性．【設(shè)計意圖】通過計算機動態(tài)演示，驗證猜想，使學生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，加強對反比例函數(shù)圖像“特征”和函數(shù)“特性”以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的認識．問題9總結(jié)反比例函數(shù)圖像的特征和性質(zhì)．教師幫助學生梳理、歸納，填寫表4：表4名稱解析式圖像形狀圖像分布反比例函數(shù)【設(shè)計意圖】通過與正比例函數(shù)的比較，加深學生對反比例函數(shù)的性質(zhì)的理解，尤其是要理解決定了函數(shù)的變化規(guī)律，提高學生的歸納、概括能力．鞏固提高，應(yīng)用新知課堂練習1．反比例函數(shù)的圖像位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D(zhuǎn)．第二、四象限2．若反比例函數(shù)的兩支曲線分別位于第一、三象限，則的值可以是（）A．B．C．D．3．矩形的面積為4，它的長與寬之間的函數(shù)關(guān)系用圖像大致可表示為（）4.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象交點個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5.函數(shù)(a≠0)與y=(a≠0)在同一坐標系中的大致圖象是（）xxxxxyyyyBACD6．已知下列反比例函數(shù)：①；②；③；④；⑤．圖像兩支分別在第一、三象限內(nèi)的函數(shù)是________________；圖像兩支分別在第二、四象限內(nèi)的函數(shù)是________________；【設(shè)計意圖】通過一系列的練習，實現(xiàn)知識向能力的轉(zhuǎn)化．（四）歸納反思，深化新知這節(jié)課，我學到的知識方法、思想有：________________________________________這節(jié)課，讓我