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文檔簡介
無窮 數(shù)項級1.數(shù)項級數(shù)給定一個數(shù)列u2u3un
次相加un,稱上式為nun叫做級數(shù)的一般項,n項和
∞
例
∞例∞例??1∞2∞ 例 2???∞∞1??=1??+
例 (?
)=1
收斂 但是
調和級數(shù)發(fā) ??+
(比較審斂法
(k0 ;
發(fā)散,則強級 . n(n例 n(n
limunl,n0l時
兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散ll例3
ln
2 nln(11 解:
limn2ln ln(11)1ln(11)1
2收斂 D’alembert判別法 為正項級數(shù),且limun1,
時當1;時.根值審斂法(Cauchy判別法 級數(shù)
nn
,注：時上述定理2例 判別級數(shù)2n1en
解 lim
(n1)2
1n
1e
ne en 收斂交錯級un0n12,,
稱為交錯級數(shù)(Leibnitz判別法 un (n1,2,);limun0,則級數(shù)(1)n1un收斂定義:對任意項級數(shù) 絕對收斂
.sin 證
,n1
sinn4因此 sin
. 冪級axn
n
=
+??1??+
+?+???? +Abel定理收斂例：1+??+??2+?+????+?，當 <1時收斂，則收斂半徑為： < 收
冪級Abel
=
+??1??+??2?? +?+???? +axn
an反之,若當
x冪級數(shù)都絕對收斂.,則對滿足不等式x 收
例：1+??+??2+?+????+?，當 <1時收斂，則收斂半徑為： <axn*例6.
x3在x1 解：由Abelx3處絕對收斂，x1絕對收斂。例7.已 處條件收斂,問該級數(shù)收答 根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂. 當≠0時
R1當＝0時 R當＝∞時
R0R
例8..求冪1解:R
n1n對端點x=1,級數(shù)為交錯級 對端點x=－1,級數(shù)為發(fā)散 1x2x3xn
1
ex
1x
x3
sinx
(
(2n1)!
x2x x2
(1)n
n 設f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在f(x)1
x1 1 0x 1求S(0),S(S3S()的值 求
o 將f(x)展 解:(1)當xk,S(x) 1,S(3)f(x),S( 當xkS(x)11)0S(0S(20101
(1)sin3xdx
01sin4 0101
(1)cosnxdx
1cosnxd0 (n0,1,2,0101
(1)sinnxdx
1sin01cosnx
1cosnx 2
cosn
4
n 21(1)n
n0
當n135當n
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