第八章無窮級數(shù)-2常數(shù)斂法

常數(shù)項級數(shù)的判一、正項級數(shù)及其判斂

如果級數(shù)un中各項均有un這種級數(shù)稱為正項級數(shù)定理：正項級數(shù)un收斂的充分必要條是它的部分和數(shù)列Sn有上界即un(un0)M0,使得SnM證必要性:若級數(shù)un收斂

則limSn存在充分性如果數(shù)列Sn有上界,因為un是正項級數(shù)所以un0(n1則Sn單調(diào)不減S1S2S3Sn由單調(diào)增加且有上界的數(shù)列必有極限可知,limSn

存在

正項級數(shù)un收斂注：正項級數(shù)un發(fā)散的充分必要條件它的部分和Sn滿足limSn比較判別

設(shè)un和vn均為正項級數(shù)， 且unvn(n12,)，若vn收斂，則un收斂 反之，若un發(fā)散，則vn發(fā)散. 證明(1)設(shè)vn unvn且Snu1u2unv1v2vn即部分和數(shù)列有上界

un收斂(2)設(shè)Sn (n則nSnvn發(fā)散.

且unvn推論若un收斂，且vn(nN,k0)，則vn收斂 推論2：若un發(fā)散，且kun(nN,k0)，則vn發(fā)散 3 判別2 3

解2n

0,

n

n

2nsin

22 2

(n

3 32q

級數(shù)3

收斂 n由比較判別法知級數(shù)2

3n例2討論P級數(shù)(P1111 1的斂散性 解設(shè)0P

P級數(shù)發(fā)散yyx(Po1 4n設(shè)P1,由圖可

n1xPn 1nP

1 2

1 x

n1x1

n x

1

P

(1

nP

)1

P即Sn有上界,則P級數(shù)收斂P級 n1nP

當(dāng)P時,收斂當(dāng)P時,發(fā)散重要參考級何級數(shù),P和級數(shù) 當(dāng)

時 收斂aq

當(dāng)

時

P級數(shù)

當(dāng)P時

收斂n1

當(dāng)P時 發(fā)散調(diào)和級

11

111n1

例3判別級 的斂散性 n(nn(nn(n

n1而級數(shù)

發(fā)散nn(nn(n

發(fā)散比較判別法的極限形 設(shè)un與vn都是正項級數(shù)，若

n 當(dāng)l0時，若vn收斂，則un收斂 當(dāng)l時，若vn發(fā)散，則un發(fā)散 證明(1)由lim nN,當(dāng)nN時

對于l2ll2ll ll 即l 3l (nN 由比較判別法的推論,得證limunn0,N0,nN,有

0,nun ,un

vn vn收斂,un收斂 自已思考證明例 判定下列級數(shù)的斂散性 sin (2)

sin

解

1 故原級數(shù)發(fā)散nn n

1解(2)lim3n

n

n1且

1收斂 故原級數(shù)收斂 比值判斂法(達朗貝爾D’Alembert 設(shè)un是正項級數(shù)，如果 (為數(shù)或

；證明當(dāng)為數(shù)時 對N,當(dāng)nN時, 即

(nN當(dāng)時,取1, 使r即 (nN), r

uN

N1

N3

N2

NuN uN1,而級數(shù)

rm1u收斂N收斂 uNm un收斂 當(dāng)時,取

un收斂使r

un單調(diào)增加

發(fā)注1.1時比值審斂法失效 數(shù)發(fā)散n1

(級 n1

2.條件充分而非必要例5判別下列級數(shù)的收斂性n1

1

(2n1) (n 解

n1

0(n),

n

n1

收斂 解un1

(n1)!

n

(n), 故級

發(fā)散 (2n1)解lim

(2n1)

n(2n1)(2n 1 (2n1)

且級數(shù)

n2收斂

2n(2n

收斂 2例 判別級數(shù)un

1

的斂散性n為偶解

22(2(1)n

n為奇limun1不存在

(比值審斂法un

2(1)n3

且

收斂 2(

n12級數(shù)un 2

根值審斂法(柯西判別)nn

u是正項級數(shù)，如果nn

(為數(shù)或則時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散；時失效例如級 1n1nn1 nn1n

0(n

級數(shù)收斂例 討論下列級數(shù)的斂散性 n1

(an n n1解

nn a

級數(shù)

n1

收斂 a

級數(shù)

n1

發(fā)散 a時,級數(shù)為

n1 lim lim

n1

1nn

nn1

n11 n n 不滿足級數(shù)收斂的必要條件 a時級數(shù)

n1

發(fā)散n1 b

,其中

a(nanabn1 nnn

且annban

b b

n b 即ab時a

收斂n1 nb b 即ab時a

發(fā)散.n1 n例 判斷級數(shù)斂散性

(1)

n 解un

1nn 1

n1(n 1(n n

(1 1lim(11)nlim[(11)n2

e0 1

1lim limxxe0 limun1 n不滿足級數(shù)收斂的必要條件原級數(shù)發(fā)散ncos2 3 解

ncos2

n

令 n

n

limn1

n1

,

1

1e01nnln(n annln(n當(dāng)011即a時 原級數(shù)收斂a當(dāng)11即0a時 原級數(shù)發(fā)散aln(n當(dāng)a時

原級數(shù)n1(1

1n

ln(n2)

原級數(shù)發(fā)散n(11n二、交錯級數(shù)及其審斂定義:正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù) 1)n1u或

(其中un

(1)n1

滿足條件limun

un (n1,2, 且其和Su1, rnun1.證明un1un且S2n(u1u2(u3u4(u2n1u2n數(shù)列S2n單調(diào)增加S2nu1(u2u3)(u2n2u2n1)數(shù)列S2n有上界limu2n1nlimS2n1lim(S2n

limS2nSnu2n1)S,級數(shù)收斂于和S,且S余項r(1)n

(1)n1 (1)n2 (1)n

n

rnun1un2滿足收斂的兩個條件,

un1例 判別級數(shù)

(1)n1

1111

的斂散性,并估計誤解(1) n解(1) n為交錯級數(shù)lim lim1 1

n

n

(1n11滿足萊布尼茲收斂定理條件n原級數(shù)收斂 且

un1

nnn例10判別級數(shù)

n

的斂散性

n nnnxxx

)

(1

0(x x(x故函數(shù) x單調(diào)遞減 x(xx 原級數(shù)收斂三、絕對收斂與條件收定義:正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為.定理若

un收斂，則un收斂

n證明令vn2(un )(n1,2,),n顯然vn 且vn

un

vn收斂,又un

un

un 定義：若un收斂，則稱un為絕對收斂 若un發(fā)散，而un收斂，則稱un條件收 收斂,則un絕對收斂

若收斂,則

條件收斂

發(fā)散

un發(fā)散

例11判別級數(shù)

的斂散性解

1

n1

收斂例12判別級數(shù)

是否收斂？若收斂n是條件收斂還是絕對收斂(n (n n

而

發(fā)散n

((n

n

發(fā)散即原級數(shù)非絕對收斂 (

是交錯級數(shù) 由萊布尼茨定理

n lim

nn

n1n又limlnnlimlnxlim1 x1

nn

n1n令f(x)x (xf(x)110(xxf(x)xl