華中師范大學2014-量子力學A卷-參考答案講解

第二一頁日…頁）第二一頁日…頁）華中師范大學2014-2015學年第一學期期末考試試卷（A）??號學??名姓生學.?級年??業(yè)專>系1院線封密課程名稱量子力學課程編號83810113任課教師題型填空題判斷題證明題簡答題計算題總分分值2010162034100得分得分評閱人一、填空題：（共10題，每題2分，共20分）1.若某種光的波長為九，則其光子的能量為_hc/九_，動量大小為—h/九.戴維遜一革末實驗主要表現(xiàn)出電子具有波動性。.若WG,t）是歸一化的波函數(shù)，則,G,t）|2dx表示t時刻x附近dx體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率。.設(shè)力學量算符F與G不對易，且其對易子為［FG卜ik，則它們的不確定性關(guān)系為kAFAG>—。25.厄米算符在自身表象是對角矩陣。6.從量子力學的觀點看，氫原子中核外電子的運動不再是圓軌道上的運動，而是電子云的圖像，電子云是電子電荷在核外的概率分布。.設(shè)氫原子處于態(tài)W（r,6,中）=2R（r?（①明-巨R（r?（仇明，求氫原子的角動量321103211-1z分量的平均值-5/9。.證明電子具有自旋的實驗是鈉黃線的精細結(jié)構(gòu)/復雜塞曼效應(yīng)/斯特恩-蓋拉赫實TOC\o"1-5"\h\z.兩個角動量，角量子數(shù)分別為j=1,j=1,它們耦合的總角動量的角量子數(shù)J=1223/2或1/2。.周期性微擾下，當tTB時，躍遷概率為W=把IF|25（e（0）-E（0）土3）。式中nfmmnmn8函數(shù)的物理意義是躍遷過程能量守恒。得分評閱人二、判斷題：（共10題，每題1分，共10分）.光電效應(yīng)證實了光的粒子性，康普頓效應(yīng)進一步證實了光的粒子性。（J）.若W州,",是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加12nV=CV+CV++CV+（其中C,C,,C,為復常數(shù)）也是體系的一個可1122nn12n能狀態(tài)。（J）.不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)。（X）.因為坐標與動量算符均是厄米算符，所以它們的乘積一定是厄米算符。（X）.若兩個力學量算符不對易，則它們一般沒有共同本征態(tài)。（J）.粒子在中心力場中運動，若角動量Lz是守恒量，那么Lx就不是守恒量。（X）.在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：U（-x）=U（x），則粒子的束縛態(tài)波函數(shù)一定具有確定的宇稱。（J）.費米子體系的哈密頓算符H必須是交換反對稱的,玻色子體系的哈密頓算符H必須是交換對稱的。（X）.全同粒子體系的波函數(shù)具有一定的對稱性，是來自于全同粒子的不可區(qū)分性。（J）.自由粒子所處的狀態(tài)只能是平面波。（X）

得分評閱人三、證明題：（共2題，每題8分，共16分）.用狄拉克符號證明：（1）厄米算符的本征值是實數(shù)；（2）厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非簡并情形）。（8分）證明：（1）設(shè)F才=F，其本征值方程為F|f'）：=f\f}①1n.n1n,用本征矢的共軛矢量;fj左乘上式，得到（f|F|f）=（f\f\f）=f（f\f戶f②nn1nnn1n1nfnxn'nn對上式取共軛，得"|F|f；*=f*③nnn封-利用厄米算符的定義（f\Ff）*=〈f\Ftf}=（f\Ff），得出②式與③式相等，即n1n，nn1nfnn1n封-f*=fnn（2）厄米算符的本征值方程記為F\i}=fji）或Fj=fj\j，用j左乘前式，用（"左乘后式，得TOC\o"1-5"\h\zjF|i）=（jf.槨=fij④（ilFlj=C'lf7lj=j\j⑤④式取共軛得（ilFj=f.（ilj⑥⑤式與⑥式相減，左邊為零，得（f「fj）《\j=0而（f—f）牛0，則（ij=0，證畢。ij\'第二—頁日頁）第二—頁日頁）第」一頁日…頁）第」一頁日…頁）2.證明處于1s，最大。（提示:氫原子波函數(shù)V(r,0,6=R(2.證明處于1s，最大。（提示:氫原子波函數(shù)V(r,0,6=R(r)Y(0,⑺，nlmnlIm2.上其中R(r)=ea0，10a3/2

0R21(r)=1(2a)3/2

03/232Ia0)181<15Ia0)e3a0。(8分)2p和3d態(tài)的氫原子，分別在r=a，4a和9a的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率000證明：rr+dr證明：rwnl(r)dr=fdJd9加(r,0,4)2r2sin0drwnl=R=R(r)2r2dr

nlY(0,⑺|2sin0d0Im00=R2(r)r2drnl得1s態(tài)，2p態(tài)和3d態(tài)的徑向概率密度為w(r)=R2(r)r2=10104r2e-2r/w(r)=R2(r)r2=10104r2e-2r/a0a30w(r)=R2(r)r2=2121r4e-r/a024a500w(r)=R2(r)r2=32328r6e-2r/3a812x15a700概率密度w（r）的極值由一階偏導數(shù)為零得出，即nlSw(r)

——10Sr4(「/2、=一2re-2r/a0+r2e-2ra0(-一)dw(r)

——21—dr24a50(1)4r3e-r/a0+r4e-r/a0(-一)=0dw(r)

——32—dr812x15a70(6r5e-2r/3a0+r6e-2r/3a0(I得r=9a。證畢。

0得分評閱人四、簡答題：（共5題，每題4分，共20分）.簡述玻爾的量子論，并對它進行簡單的評價。答：為了解釋原子穩(wěn)定性的問題和光譜的線狀譜，玻爾的工作：（a）首先假設(shè)了不連續(xù)的定態(tài)，處于定態(tài)的電子不輻射。定態(tài)由量子化條件決定。（b）還引進了量子躍遷的概念。這一模型解決了上述兩個困難，其定態(tài)的概念依然保留在近代量子論中，為人們認識微觀世界和建立量子理論打下了基礎(chǔ)。其缺點是，量子化條件是輸入，而不是輸出；保留了經(jīng)典的概念，如軌道，沒有成為一個完整的量子理論體系。.處于定態(tài)的體系具有哪些性質(zhì)。答：（a）定態(tài)是能量有確定值的狀態(tài)；（b）處于定態(tài)的系統(tǒng)，幾率分布與時間無關(guān)，幾率流密度與時間無關(guān)；（c）任何力學量（不顯含時間）的平均值不隨時間變化?？傊?，定態(tài)是一種力學性質(zhì)穩(wěn)定的狀態(tài)。.隧道效應(yīng)。答：微觀粒子能穿越比它的能量高的勢壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。它是微觀粒子波動性的體現(xiàn)。封-封-4.躍遷的選擇定則及其理論依據(jù)。答:光照射原子時，即使入射光中與玻爾頻率對應(yīng)的能量密度不為零，躍遷也不一定發(fā)生。還要求兩能級的量子數(shù)滿足Al=l—l=±1,Am=m-m=0,±1,這稱為選擇定則。其理論依據(jù)是，在電偶極近似下躍遷概率Wnfm論依據(jù)是，在電偶極近似下躍遷概率Wnfmocrmnmn3mn）中0時，若rmn『=0，導致躍遷概率為零，躍遷是禁戒的。允許的躍遷要滿足|r,2w0，就得到選擇mnrmn定則。.分波法的基本思想。答：對于中心力場，角動量是守恒量。應(yīng)用角動量守恒，把受勢場作用前后的定態(tài)按分波展開，各分波在散射過程中可以分開來一個一個處理，勢場對各分波的效應(yīng)在于改變分波的相位。

得分評閱人五、計算題：（共3題，共34分）1.質(zhì)量為目的一維諧振子的基態(tài)波函數(shù)為V0（x）=（奈e-32x2，其中a=｛吧，求粒子出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)的概率。（10分）(積分公式：fe-x2dx=---,1e-x2dx=0.75)2001解：諧振子的能量表達式E=T+-^W2x2，因經(jīng)典粒子的動能必小于等于總能量，其轉(zhuǎn)折點（動能2E為零的點）滿足E=0+29A2，得2E為零的點）滿足E=0+29A2，得x=±.。對于基態(tài)，E=13，轉(zhuǎn)折點x=±旦3，（經(jīng)典禁區(qū)為-8，-

I日3」一）明癡,+］。量子諧振子出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)的概率為|2dx+=21+\.|2dx+=21+\.2dx=2平aJ-^=e-a2x2dx—，?兀+)總e-&2d工-1=0.154+1在經(jīng)典禁區(qū)，粒子出現(xiàn)的概率不為零，對于基態(tài)，在經(jīng)典禁區(qū)出現(xiàn)的概率為15.4%。

2.已知在L和L的共同表象中，算符L和L的矩陣表示分別為z0、z0、10J和L對角化，y寫出使矩陣對角化的么正變換矩陣U。和L對角化，y寫出使矩陣對角化的么正變換矩陣U。（12分）解：Lx的本征值方程為-2a1a2a3a1a2a3久期方程的解為X=,0,-分別帶入本征值方程，得歸一化本征矢1&2同理，L的本征值方程為y同理，L的本征值方程為yb2

b1b3Jb2b1b3，久期方程的解為入=,0,-，歸一化-1-1IJ(1、L-/-1lJ為了將矩陣Lx和Ly對角化，需要做表象變換，為了將矩陣Lx和Ly對角化，需要做表象變換，變到它們自身的表象，就對角化了。表象變換的矩陣分別為u:21-22<210-、2i22-1L(L(Lx)=U十L(Lz)U=L(Ly)=UtL(Lz)U第^頁日頁）第^頁日頁）第^頁日頁）第^頁日頁）3.已知某表象中哈密頓算符的矩陣形式3.已知某表象中哈密頓算符的矩陣形式H=1c0c3000c—2（1）設(shè)c1，應(yīng)用微擾論求哈密頓算符的本征值到二級近似;（2）求精確解，并與上面的微擾論結(jié)果比較。（12分）（1解：當c1，可把哈密頓分解為H=H+H'=0H是對角矩陣，是H是對角矩陣，是H在自身表象的形式。所以，零級近似的能量和態(tài)矢為E（0）=1,E（0）=3,E（0）=一2;甲=由無簡并微擾公式，E（1）=H',E（2）nnE（1）=H'=0,由無簡并微擾公式，E（1）=H',E（2）nnE（1）=H'=0,E（1）=H'=0,11H'nlE（0）—E（0）l豐nnl二c，得能量的一級修正為J1lE（0）—E（0）=12E（0）—E（0）+13:E（0）—E（0）lW11l1213VIH'|2|H'|2|H'|2/JO7.-1-2^^21E（0）—E（0）E（0）—E（0）123E（0）—E（0）l豐22l2123V|H'|2|H'|2|H'|2:乙3■=31-+3222IH'|2IH'|2E⑵233能量的二級修正為牛1=—C22E（0）—E（0）lw33l3132E（0）—E（0）E（0）