新型浮動利率債券定價df

第三講無套利定價原理什么是套利什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論第一部分什么是套利什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論商業(yè)貿(mào)易中的套利行為

15,000元/噸翰陽公司賣方甲買方乙17,000元/噸銅銅在商品貿(mào)易中套利時需考慮的成本：（1）信息成本：

（2）空間成本

（3）時間成本

金融市場中的套利行為

專業(yè)化交易市場的存在

信息成本只剩下交易費用產(chǎn)品標準化金融產(chǎn)品的無形化－－沒有空間成本金融市場存在的賣空機制大大增加了套利機會

金融產(chǎn)品在時間和空間上的多樣性也使得套利更為便捷

套利的定義套利指一個能產(chǎn)生無風險盈利的交易策略。這種套利是指純粹的無風險套利。但在實際市場中，套利一般指的是一個預(yù)期能產(chǎn)生無風險盈利的策略，可能會承擔一定的低風險。

第二部分什么是套利什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論無套利定價”原理無套利定價”原理

金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在套利機會那什么是套利機會呢？套利機會的等價條件（1）存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益（payoff）相同，但它們的成本卻不同；損益：現(xiàn)金流不確定狀態(tài)下：每一種狀態(tài)對應(yīng)的現(xiàn)金流（2）存在兩個相同成本的資產(chǎn)組合，但是第一個組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個組合，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個組合的損益要大于第二個組合的支付。（3）一個組合其構(gòu)建的成本為零，但在所有可能狀態(tài)下，這個組合的損益都不小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下這個組合的損益要大于零。無套利利定價價原理理（1））同損損益同同價格格如果兩兩種證證券具具有相相同的的損益益，則則這兩兩種證證券具具有相相同的的價格格。（2）靜態(tài)態(tài)組合合復(fù)制制定價價：如果一一個資資產(chǎn)組組合的的損益益等同同于一一個證證券，，那么么這個個資產(chǎn)產(chǎn)組合合的價價格等等于證證券的的價格格。這這個資資產(chǎn)組組合稱稱為證證券的的“復(fù)復(fù)制組組合””（replicatingportfolio）。（3）動態(tài)態(tài)組合合復(fù)制制定價價：如果一一個自自融資資（self-financing）交易易策略略最后后具有有和一一個證證券相相同的的損益益，那那么這這個證證券的的價格格等于于自融融資交交易策策略的的成本本。這這稱為為動態(tài)態(tài)套期期保值值策略略（dynamichedgingstrategy）。確定狀態(tài)態(tài)下無套套利定價價原理的的應(yīng)用案例1：：假設(shè)兩個個零息票票債券A和B，，兩者都都是在1年后的的同一天天支付100元元的面值值。如果果A的當當前價格格為98元。另另外，假假設(shè)不考考慮交易易成本。。問題：（1）B的價格格應(yīng)該為為多少呢呢？（2）如果B的市場價格只只有97.5元，問如何套套利呢？應(yīng)用同損益同同價格原理：：B的價格也為為98元如果B的市場場價格只有97.5元，，賣空A，買買進B案例2：假設(shè)當前市場場的零息票債債券的價格為為：①1年后到到期的零息票票債券的價格格為98元；；②2年后到到期的零息票票債券的價格格為96元；；③3年后到到期的零息票票債券的價格格為93元；；另外，假設(shè)不不考慮交易成成本。問題：（1）息票率率為10％，，1年支付1次利息的三三年后到期的的債券的價格格為多少呢？？（2）如果息票率率為10％，1年支付1次利息的三年年后到期的債債券價格為120元，如何套利利呢？看未來損益圖圖：1年末2年末3年末1010110靜態(tài)組合復(fù)制制策略（1）購買0.1張的1年后到期的的零息票債券券，其損益剛剛好為100×0.1＝＝10元；（2）購買0.1張的2年后到期的的零息票債券券，其損益剛剛好為100×0.1＝＝10元；（3）購買1.1張的3年后到期的的零息票債券券，其損益剛剛好為100×1.1＝＝110元；；根據(jù)無套利定定價原理的推推論0.1×98＋0.1××96＋1.1×93＝＝121.7問題2的答案案：市場價格為120元，低低估B，則買買進B，賣出出靜態(tài)組合（1）買進1張息票率為為10％，1年支付1次次利息的三年年后到期的債債券；（2）賣空0.1張的1年后到期的的零息票債券券；（3）賣空0.1張的2年后到期的的零息票債券券；（4）賣空1.1張的3年后到期的零零息票債券；；案例3：假設(shè)從現(xiàn)在開開始1年后到到期的零息票票債券的價格格為98元，，從1年后開開始，在2年年后到期的零零息票債券的的價格也為98元（1年年后的價格））。另外，假假設(shè)不考慮交交易成本。問題：（1）從現(xiàn)在在開始2年后后到期的零息息票債券的價價格為多少呢呢？（2）如果現(xiàn)在開開始2年后到期的零零息票債券價價格為99元，如何套利利呢？(1)從現(xiàn)現(xiàn)在開始1年年后到期的債債券Z0×1第1年末支付:100價格:98(2)1年年后開始2年年后到期的債債券Z1×2第2年末支付:100價格:98(3)從現(xiàn)現(xiàn)在開始2年年后到期的債債券Z0×2第2年末支付:100價格:？動態(tài)組合復(fù)制制策略：（1）先在當當前購買0.98份的債債券Z0×1；（2）在第1年末0.98份債券Z0×1到期，獲得0.98×100＝98元；（3）在第1年末再用獲得得的98元去購買1份債券Z1×2；自融資策略的的現(xiàn)金流表交易策略現(xiàn)金流當前第1年末第2年末(1)購買0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計：-96.040100這個自融資交交易策略的損損益：就是在第2年年末獲得本金金100元，，這等同于一一個現(xiàn)在開始始2年后到期期的零息票債債券的損益。。這個自融資交交易策略的成成本為：98×0.98＝96.04如果市價為99元，如何何套利構(gòu)造的套利策策略如下：（1）賣空1份Z0×2債券，獲得99元，所承承擔的義務(wù)是是在2年后支支付100元元；（2）在獲得得的99元中中取出96.04元，購購買0.98份Z0×1；（3）購買的的1年期零息息票債券到期期，在第一年年末獲得98元；（4）再在第第1年末用獲獲得的98元元購買1份第第2年末到期期的1年期零零息票債券；；（5）在第2年末，零息票票債券到期獲獲得100元，用于支付付步驟（1）賣空的100元；交易策略現(xiàn)金流當前第1年末第2年末(1)賣空1份Z0×299

-100(2)購買0.98份Z0×1-0.98×98=-96.040.98×100=98

(3)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計：99-96.04=2.9600不確定狀態(tài)下下的無套利定定價原理的應(yīng)應(yīng)用不確定狀態(tài)：：資產(chǎn)的未來損損益不確定假設(shè)市場在未未來某一時刻刻存在有限種種狀態(tài)在每一種狀態(tài)態(tài)下資產(chǎn)的未未來損益已知知但未來時刻到到底發(fā)生哪一一種狀態(tài)不知知道案例4：假設(shè)有一風險險證券A，當當前的市場價價格為100元1年后的市場場出現(xiàn)兩種可可能的狀態(tài)：：狀態(tài)1和狀狀態(tài)2。狀態(tài)1時，A的未來損益益為105元元，狀態(tài)2時時，95元。。有一證券B，，它在1年后后的未來損益益也是：狀態(tài)態(tài)1時105元，狀態(tài)2時95元。。另外，假設(shè)不不考慮交易成成本。問題：（1）B的合合理價格為多多少呢？（2）如果B的價格為99元，如何套利利？答案：（1）B的合合理價格也為為100元；；（2）如果B為99元，，價值被低估估，則買進B，賣空A案例5：假設(shè)有一風險險證券A，當當前的市場價價格為100元1年后的市場場出現(xiàn)兩種可可能的狀態(tài)：：狀態(tài)1和狀狀態(tài)2。狀態(tài)1時，A的未來損益益為105元元，狀態(tài)2時時，95元。。有一證券B，，它在1年后后的未來損益益也是：狀態(tài)態(tài)1時120元，狀態(tài)2時時110元。另外，假設(shè)不不考慮交易成成本，資金借借貸也不需要要成本。問題：（1）B的合合理價格為多多少呢？（2）如果B的價格為110元，如何套利利？證券未來損益益圖10010595風險證券APB120110風險證券B111資金借貸靜態(tài)組合策略略：要求x份份的證券A和和y份的的資金借貸構(gòu)構(gòu)成B解得：X=1,y=15所以：B的價格為：：1*100+15*1=115第二個問題：：當B為110元時，如何何構(gòu)造套利組組合呢？套利組合：買進B，賣空A，借入資金15元。

期初時刻的現(xiàn)金流期末時刻的現(xiàn)金流第一種狀態(tài)第二種狀態(tài)(1)買進B-110120110(2)賣空A100-105-95(3)借入資金15元15-15-15合計500案例6：假設(shè)有一風險險證券A，當當前的市場價價格為100元1年后的市場場出現(xiàn)三種可能的狀態(tài)態(tài)：狀態(tài)1、、2和3。狀態(tài)1、2和和3時，A的的未來損益分分別為110.25，99.75，，90.25元。有一證券B，，它在1年后后的未來損益益也是：狀態(tài)態(tài)1、2和3時，分別為為125，112.5和和109元。另外，假設(shè)不不考慮交易成成本，資金借借貸的年利率率為5.06％，半年利利率為2.5％。問題：（1）B的合合理價格為多多少呢？（2）如果B的價格為110元，如何套利利？證券未來損益益圖100110.2599.75風險證券A風險證券B資金借貸90.25PB125112.510911.05061.05061.0506構(gòu)造靜態(tài)組合合：x份A和y份資金金借貸構(gòu)成B方程無解！動態(tài)組合復(fù)制制動態(tài)：我們把1年的持有期拆拆成兩個半年年，這樣在半半年后就可調(diào)調(diào)整組合假設(shè)證券A在半年后的的損益為兩兩種狀態(tài)，，分別為105元和95元證券B的半半年后的損損益不知道道110.2599.75風險證券A風險證券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025構(gòu)造如下的的組合：（1）1份的證券A；（2）持有現(xiàn)金金13.56。在半年后進進行組合調(diào)調(diào)整(1)證券券A的損益為105時：再買進0.19份的證券A，需要現(xiàn)金金19.95元（0.19×105＝19.95）持有的現(xiàn)金金13.56，加上利息息變?yōu)椋?3.56×1.025＝13.90。半年后的組組合變?yōu)椋海?.19份證券A現(xiàn)金－6.05（（13.90––19.95）在1年后此組合合損益狀態(tài)態(tài)為：(2)證券A的損益為95時：賣出0.632份的證券A，得到0.632×95＝60.04元持有的現(xiàn)金金13.56，加上利息息變?yōu)椋?3.56×1.025＝13.90半年后的組組合變?yōu)椋海?.368份證券A現(xiàn)金73.94（13.90＋60.04＝73.94）在1年后此組合合損益狀態(tài)態(tài)為：110.2599.7590.2510010595原始組合：：(1)持有有1份A(2)持有有現(xiàn)金13.56操作：賣出出0.632份A組合為：(1)持有有0.368份A(2)持有有現(xiàn)金73.94操作：買進進0.19份A組合為：(1)持有有1.19份A(2)持有有現(xiàn)金-6.05組合的支付付為：125112.5109半年后的組組合調(diào)整是是如何得到到呢？動態(tài)策略調(diào)調(diào)整方法：：多期的靜態(tài)態(tài)復(fù)制策略略從后往前應(yīng)應(yīng)用靜態(tài)復(fù)復(fù)制策略110.2599.75風險證券A風險證券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）證券在中中期價格為為105時：解得：x=1.19，y＝－5.90此時B的價價格為：B1＝1.19×105－5.90×1.025＝118.90110.2599.75風險證券A風險證券B90.2510010595PB118.90B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）證券在中中期價格為為95時：解得：x=0.368，y＝72.14此時B的價價格為：B2＝0.368×95＋72.14×1.025＝108.90110.2599.75風險證券A風險證券B90.2510010595PB118.90108.90125112.51091.05061.05061.050611.0251.025解得：x＝1，y＝13.56B的當前價價格為：B＝1×100＋13.56×1＝113.56無套利定價價原理的簡簡單總結(jié)無套利定價價原理就是是金融學(xué)，，金融工程程的核心思思想“同損益同同價格”實實際上就是是“一價定定理”靜態(tài)和動態(tài)態(tài)組合復(fù)制制策略則是是用于給衍衍生產(chǎn)品定定價的基本本思想如果市場存存在摩擦（（交易成本本）時，只只能給出一一個定價區(qū)區(qū)間。在這這個定價區(qū)區(qū)間內(nèi)，市市場無法實實現(xiàn)套利。。第三部分什么是套利利什么是無套套利定價原原理無套利定價價原理的基基本理論Arrow-Debreu模模型1、市場環(huán)環(huán)境2、套利組組合的定義義3、無套利利組合等價價定理4、完全全市場與與不完全全市場1、市場環(huán)環(huán)境假設(shè)設(shè)市場中有有N個證券，，s1,s2,s3,…,sN兩個投資資時刻，，0和1時刻第i種證券在在初始0時刻的價價格為pi，則N種證券的的價格向向量為：P=(p1,p2,…,pN)T市場在未未來1時刻有M種可能狀狀態(tài)，第第i種證券在在第j種狀態(tài)下下的損益益為Dij，則這些些證券的的損益矩矩陣為：：D＝（dij），i=1～N，j=1～M假設(shè)損益益矩陣D的值對于于投資者者是已知知的，但但是投資資者無法法提前知知道在1時刻這些些證券處處于M種狀態(tài)中中的哪一一種狀態(tài)態(tài)證券組合合用向量量θ表示：θ=(θ1,θ2,…,θN)θi表示持有有的第i種證券的的數(shù)量，，多頭時時，θi>0；空頭時時，θi<0時。假設(shè)市場場是無摩摩擦的，，即不考考慮交易易費用，，稅收等等證券組合合θ在初始0時刻的價價格則為為：這個組合合在第j種狀態(tài)態(tài)下的損損益則為為：2、套利組組合的定定義一個證券券組合θ定義為套套利組合合，如果果它滿足足：或者：3、無套套利組合合等價定定理定理1：：市場不存存在套利利組合的的等價條條件是：：存在一個個正向量量，，使使得，即狀態(tài)價格格無套利組組合等價價定理的的含義：：如果市場場不存在在套利組組合，則則資產(chǎn)的的當前價價格與未未來損益益之間要要滿足一一定的條條件。這這個條件件是要存存在一個個對應(yīng)于于M個狀態(tài)的的向量，，一般稱稱之為狀狀態(tài)價格格（state-prices）?；A(chǔ)資產(chǎn)產(chǎn)假設(shè)市場場另外存存在M種資產(chǎn)，，sN+1,sN+2,…,sN+M。這M種資產(chǎn)的的未來損損益為，，只在一一種狀態(tài)態(tài)下為1，其余狀狀態(tài)下都都是零。。即對于于資產(chǎn)sN+j，它的未未來損益益只是在在第j種狀態(tài)為為1，其余狀狀態(tài)為0。這M種資產(chǎn)就就構(gòu)成了了“基礎(chǔ)礎(chǔ)資產(chǎn)””，由它它們生成成的組合合的未來來損益可可以表示示任意一一種資產(chǎn)產(chǎn)的未來來損益。?；A(chǔ)資產(chǎn)產(chǎn)的價格格假設(shè)M個基礎(chǔ)資資產(chǎn)的價價格分別別為：u1，u2，…,uM根據(jù)無套套利定價價原理，，任何一一種未來來損益為為(d1,d2,…,dM)的資產(chǎn)產(chǎn)價格應(yīng)應(yīng)該為：：按照定理理1的表表述，u1，u2，…,uM就是滿足足定理1條件的的正向量量所以，我我們稱稱為為狀態(tài)價價格，即即每種狀態(tài)態(tài)下單位位未來損損益的資資產(chǎn)價格格。風險中性性概率把狀態(tài)價價格歸一一化，即即讓M個分量的的和變?yōu)闉?：問題：狀狀態(tài)價格格的分量量和表表示什么么呢？就是未來來損益都都是1的的資產(chǎn)的的價格未來損益益都是1，即是是無風險險債券的的價格定理1的的式子可可重新寫寫成：通常把歸歸一化后后的狀態(tài)態(tài)價格稱稱為風險險中性概概率或風風險調(diào)整整調(diào)整概概率，它它指的是是經(jīng)過投投資者風風險調(diào)整整的每一一種狀態(tài)態(tài)可能發(fā)發(fā)生的概概率推論如果市場場不存在在套利組組合，而而且假設(shè)設(shè)無風險險借貸的的利率為為r，則存在在一個概概率測度度使得任任意一個個資產(chǎn)的的價格等等于其未未來可能能損益（（現(xiàn)金流流）的期期望值以以無風險險借貸利利率貼現(xiàn)現(xiàn)的貼現(xiàn)現(xiàn)值。問題：風險中性性概率與與實際中中各個狀狀態(tài)發(fā)生生的概率率之間有有什么關(guān)關(guān)系呢？？記為為未來第第j種狀狀態(tài)發(fā)生生的概率率，即統(tǒng)統(tǒng)計意義義上的概概率。就反映了了投資者者對不同同狀態(tài)的的風險偏偏好程度度。如果對于于所有的的j＝1～M，，，即即：則稱市場場是風險險中性的的。3、完全全市場與與不完全全市場完全市場場的定義義：一個具具有N種資產(chǎn)產(chǎn)，M種損益益狀態(tài)態(tài)的市市場，，如果果對于于任意意一個個未來來損益益向量量d=（d1,d2,…,dM），都都存在在一個個N種資產(chǎn)產(chǎn)的組組合(θ1,θ2,…,θN)，其未未來損損益等等于（（d1,d2,…,dM），則則我們們稱市市場是是完全全的。。定理2：在市場場不存存在套套利組組合的的假設(shè)設(shè)下，，市場場是完完全的的充要要條件件是只只有唯唯一的的一組組狀態(tài)態(tài)價格格滿足足定理理1中中的式式子，，即狀狀態(tài)價價格唯唯一或或者風風險中中性概概率唯唯一。。Arrow-Debreu模模型的的應(yīng)用用1、兩兩狀態(tài)態(tài)模型型2、三三狀態(tài)態(tài)模型型兩狀態(tài)態(tài)模型型市場的的未來來損益益只有有兩種種狀態(tài)態(tài)，M＝2只存在在兩種種資產(chǎn)產(chǎn)，一一種是是無風風險借借貸，，其借借貸利利率為為r另一種種是資資產(chǎn)s，當前前的價價格為為p。假設(shè)設(shè)資產(chǎn)產(chǎn)s在未來來的損損益為為：狀狀態(tài)1時為pu＝p×u，狀態(tài)態(tài)2時為pd＝p×d，其中中u和d表示價價格變變化的的倍數(shù)數(shù)，假假設(shè)u>d。問題：：市場場不存存在套套利組組合的的條件件？比如：：資產(chǎn)s，當當前價價格為為100，，未來來兩種種損益益分別別為：：110，，95。投投資周周期為為1年年，當當前年年利率率為5％。。問題：：存在在套利利組合合嗎？？如何套套利？？根據(jù)定定理1：即：求解可得：方程求求解可可得：：即任意意一個個資產(chǎn)產(chǎn)，其其未來來損益益為：：在1狀態(tài)時時d1，在2狀態(tài)時時d2，都可可由資資產(chǎn)s和無風風險借借貸的的組合合復(fù)制制，而而且其其價格格v為：比如，，有一一基于資資產(chǎn)s的金融融產(chǎn)品品，其其未來來損益益為：：d1＝pu－k，d2＝0可解得得其價價格為為：三狀態(tài)態(tài)模型型假設(shè)市市場有有三種種狀態(tài)態(tài)，但但僅有有兩種種資產(chǎn)產(chǎn)，無無風險險借貸貸，其其利率率為r；另外外一種種資產(chǎn)產(chǎn)s，價格格為p，其在在未來來損益益為：：狀態(tài)態(tài)1時，損損益為為pu（即為為原價價格的的u倍）；；狀態(tài)態(tài)2時為pm，狀態(tài)態(tài)3時為pd，假設(shè)設(shè)d<m<u。市場不不存在在套利利組合合的條條件求解可得：根據(jù)定定理2，這這個方方程的的解不不唯一一實際上上是一一條直直線第一個個端點點第二個個端點點：如果，，則則為：：如果，，則則為：：謝謝謝1月-2301:13:0101:1301:131月-231月-2301:1301:1301:13:011月月-231月月-2301:13:012023/1/61:13:019、靜靜夜夜四四無無鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、雨雨中中黃黃葉葉樹樹，，燈燈下下白白頭頭人人。。。。01:13:0201:13:0201:131/6/20231:13:02AM11、以我獨獨沈久，，愧君相相見頻。。。1月-2301:13:0201:13Jan-2306-Jan-2312、故人江海別別，幾度隔山山川。。01:13:0201:13:0201:13Friday,January6,202313、乍見見翻疑疑夢，，相悲悲各問問年。。。1月-231月-2301:13:0201:13:02January6,202314、他鄉(xiāng)生白發(fā)發(fā)，舊國見青青山。。06一月20231:13:02上午01:13:021月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:13上午午1月-2301:13January6,202316、行動出成成果，工作作出財富。。。2023/1/61:13:0201:13:0206January202317、做前，能能夠環(huán)視四四周；做時時，你只能能或者最好好沿著以腳腳為起點的的射線向前前。。1:13:02上上午1:13上上午01:13:021月-239、沒有有失敗敗，只只有暫暫時停停止成成功！！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結(jié)結(jié)果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變變也也沒沒有有。。。。01:13:0201:13:0201:131/6/20231:13:02AM11、成功就是日日復(fù)一日那一一點點小小努努力的積累。。。1月-2301:13:0201:13Jan-2306-Jan-2312、世間成事事，不求其其絕對圓滿滿，留一份份不足，可可得無限完完美。。01:13:0201:13:0201:13Friday,January6,202313、不知知香積積寺，，數(shù)里里入云云峰。。。1月-231月-2301:13:0201:13:02January6,202314、意意志志堅堅強強的的