多元線性回歸模型

多元線性回歸模型第一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日“多元”回歸模型在現(xiàn)實(shí)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中，事實(shí)上影響被解釋變量的因素不止一個(gè)，通常會(huì)有多個(gè)影響因素。即使我們的分析目的是考察某一個(gè)因素對(duì)被解釋變量的影響，但為了得到該因素對(duì)被解釋變量的“凈影響”，也需要將其他影響因素作為“控制變量”，使其以顯性形式出現(xiàn)在模型中，以提高模型估計(jì)精度。因此，需要建立包含兩個(gè)及以上解釋變量的多元回歸模型。第二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日基本內(nèi)容第一節(jié)多元線性回歸模型的概念（重點(diǎn)）第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)（掌握）第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（掌握）第四節(jié)非線性回歸模型（重點(diǎn)）第五節(jié)案例生產(chǎn)函數(shù)的應(yīng)用第三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日本章要點(diǎn)多元線性回歸模型多元線性回歸模型的概念多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)非線性回歸模型第四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)多元線性回歸模型的概念重點(diǎn)：

1.對(duì)多元線性回歸模型參數(shù)意義的理解

2.對(duì)無多重共線性假定的理解第五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)多元線性回歸模型的概念一、總體線性回歸模型二、樣本線性回歸模型三、多元線性回歸模型的基本假定第六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日

多元：含有兩個(gè)以上解釋變量線性：對(duì)參數(shù)而言線性如果總體回歸函數(shù)描述了一個(gè)被解釋變量與多個(gè)解釋變量之間的線性關(guān)系，由此而設(shè)定的回歸模型就稱為多元線性回歸模型。一、總體線性回歸模型第七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日假定被解釋變量Y與K個(gè)解釋變量X1，X2，……Xk存在線性相關(guān)關(guān)系:

（i=1,2,…，n）稱為總體線性回歸模型。一、總體線性回歸模型第八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日其中:

為截距項(xiàng)，代表排除在模型之外的所有因素對(duì)被解釋變量Y的平均影響；（j=1,2…k）為偏回歸系數(shù)，反映了在其它解釋變量保持不變的情況下，解釋變量Xj變化一個(gè)單位時(shí)，對(duì)被解釋變量Y的影響程度。ui為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，因此，對(duì)應(yīng)于解釋變量的每一組觀察值（X1i，X2i…，Xki），被解釋變量Yi的值是隨機(jī)的。

第九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日

多元線性回歸模型的參數(shù)與一元線性回歸模型的參數(shù)有重要區(qū)別。在多元線性回歸模型中，解釋變量對(duì)應(yīng)的參數(shù)是偏回歸系數(shù)，表達(dá)的是控制其他解釋變量不變的條件下，該解釋變量的單位變動(dòng)對(duì)被解釋變量平均值的“凈影響”。這個(gè)獨(dú)特性質(zhì)使多元回歸中不但能夠引入多個(gè)解釋變量，而且能夠“分離”出每個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變量的影響。注意：第十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日總體線性回歸函數(shù)

把被解釋變量Yi的總體條件期望與解釋變量X1，X2，…，Xk存在的線性關(guān)系式:E（Y/X1i，X2i…，Xki）=

稱為K元線性總體回歸函數(shù)。特別的，當(dāng)K=2時(shí)，二元線性總體回歸模型的形式為：二元線性總體回歸函數(shù)形式為：

第十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)多元線性回歸模型的概念一、總體線性回歸模型二、樣本線性回歸模型三、多元線性回歸模型的基本假定第十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日二、樣本線性回歸模型

K元線性樣本回歸函數(shù)表達(dá)式為：

其中，是總體均值的估計(jì)多元線性樣本回歸模型表達(dá)式為：其中，殘差項(xiàng)ei是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ui的估計(jì)。第十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日二、樣本線性回歸模型特別地，當(dāng)K=2時(shí)，二元線性樣本回歸函數(shù)為二元線性樣本回歸模型為：

第十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日二元線性樣本回歸函數(shù)幾何圖形表示

回歸平面示意圖第十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)多元線性回歸模型的概念一、總體線性回歸模型二、樣本線性回歸模型三、多元線性回歸模型的基本假定第十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日三、多元線性回歸模型的基本假定假定1：線性回歸模型，或模型是參數(shù)的線性函數(shù)。假定2：X值固定或獨(dú)立于誤差項(xiàng)。這意味著隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)和每個(gè)X變量之間的協(xié)方差為0。假定3：零均值假定，即干擾項(xiàng)均值為0。

E（ui）=0（i=1，2，…，n）假定4：同方差假定，即干擾項(xiàng)的方差保持不變。

i=1,2,…,n第十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日三、多元線性回歸模型的基本假定假定5：無自相關(guān)假定，干擾項(xiàng)之間無自相關(guān)或序列相關(guān)。

cov(ui,uj)=0，(i≠j;i,j=1,2,…n)假定6：觀測(cè)次數(shù)n必須大于待估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)。假定7：X變量值必須存在變異。第十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日三、多元線性回歸模型的基本假定另外兩個(gè)要求假定8：無設(shè)定偏誤，模型被正確地設(shè)定。假定9：解釋變量之間不存在完全共線性，沒有精確的線性關(guān)系。第十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日

無多重共線性假定：各解釋變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系，或者說各解釋變量之間線性無關(guān)；亦即解釋變量之間不存在精確的線性關(guān)系，即是說不存在一列不全為0的數(shù)，能使下式成立：反之，如果僅當(dāng)，上式才成立，就說變量是線性無關(guān)的。三、多元線性回歸模型的基本假定第二十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日注意：無多重共線性假定是針對(duì)解釋變量之間的關(guān)系而設(shè)定，根本目的是保證模型可以估計(jì)。如果解釋變量之間存在完全多重共線性，會(huì)造成數(shù)據(jù)觀測(cè)矩陣X非列滿秩，模型參數(shù)將無法估計(jì)。在實(shí)際做計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析時(shí)，很多經(jīng)濟(jì)變量雖然不存在完全的線性關(guān)系，卻通常都存在一定的相關(guān)性，不一定滿足多重共線性的假定，模型的估計(jì)可能會(huì)受到影響。三、多元線性回歸模型的基本假定第二十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日假定10：正態(tài)性進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，干擾項(xiàng)服從均值為0，方差為的正態(tài)分布。三、多元線性回歸模型的基本假定第二十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日本章要點(diǎn)多元線性回歸模型多元線性回歸模型的概念多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)非線性回歸模型第二十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)重點(diǎn)：

1.多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)

2.參數(shù)最小二乘估計(jì)式的數(shù)值性質(zhì)

3.參數(shù)最小二乘估計(jì)式的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)第二十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)二、最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì)三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)四、參數(shù)的估計(jì)誤差與置信區(qū)間第二十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日

總體線性回歸模型樣本線性回歸模型

OLS方法是要選擇未知參數(shù)值，使殘差平方和盡可能小一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)第二十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日以二元線性回歸模型為例

做最小二乘估計(jì)：一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)第二十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日OLS要求回歸平面能使

Y與該平面的離差平方和為最小第二十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日1.先對(duì)三個(gè)未知參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，并令所得結(jié)果為零，即得3個(gè)方程的方程組：

第二十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日2.化簡(jiǎn)得正規(guī)方程第三十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日3.如果觀測(cè)次數(shù)不少于3次，而X1和X2之間不存在線性關(guān)系，則由此正規(guī)方程組，可解得參數(shù)的OLS估計(jì)式如下：第三十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日4.按照用小寫字母表示對(duì)樣本均值離差的慣例，我們導(dǎo)出以下公式：第三十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)二、最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì)三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)四、參數(shù)的估計(jì)誤差與置信區(qū)間第三十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日二、最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì)1.樣本均值點(diǎn)在樣本平面上，即2.剩余項(xiàng)（殘差）ei的均值為零，即3.Y的估計(jì)值的均值等于Y的觀測(cè)值均值，即4.解釋變量與剩余項(xiàng)不相關(guān)，即cov(Xji,ei)=05.剩余ei與估計(jì)量不相關(guān)，即cov(ei,)=0第三十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)二、最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì)三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)四、參數(shù)的估計(jì)誤差與置信區(qū)間第三十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)在古典線性回歸模型的基本假定下，一元線性回歸模型的OLS估計(jì)量是最優(yōu)線性無偏估計(jì)量，這個(gè)性質(zhì)對(duì)于多元線性回歸同樣成立。

第三十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

第三十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)一、多元線性回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)二、最小二乘估計(jì)量的數(shù)值性質(zhì)三、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)四、參數(shù)的估計(jì)誤差與置信區(qū)間第三十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日四、參數(shù)的估計(jì)誤差與置信區(qū)間

根據(jù)矩陣相等的意義，矩陣相等即對(duì)應(yīng)位置的元素相等，回歸參數(shù)估計(jì)量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，協(xié)方差其中為矩陣中第i行和第j列元素。特別地，對(duì)二元回歸模型而言：第三十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日1．參數(shù)的估計(jì)誤差

可證明

由此得：令即因此，

稱為方程的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。

第四十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日2．參數(shù)的置信區(qū)間

～N（，Cj+1，j+1

）

進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化得：由數(shù)理統(tǒng)計(jì)定理可知：所以，對(duì)于給定的置信度1-，由分布表可查得臨界值使得第四十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日即：偏回歸參數(shù)的100（1-）%的置信區(qū)間為：即以100(1-)％的概率保證回歸參數(shù)屬于該區(qū)間內(nèi)。第四十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日由于偏回歸系數(shù)都是與變量的原有單位有直接的聯(lián)系，計(jì)量單位不同，彼此不能直接比較計(jì)量單位不同的解釋變量對(duì)被解釋變量的影響大小。為此，在比較被解釋變量對(duì)各個(gè)解釋變量的敏感性時(shí)，可以將偏回歸系數(shù)轉(zhuǎn)換為Beta系數(shù)，其定義如下：3.標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)(Beta系數(shù))第四十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日特別的對(duì)二元回歸模型：兩邊減去得到：變形：進(jìn)行變量的標(biāo)準(zhǔn)化變換，因?yàn)樗詣t

第四十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日1.如果將一個(gè)變量在減去其均值后再除以其標(biāo)準(zhǔn)差，我們就說把這個(gè)變量標(biāo)準(zhǔn)化了。標(biāo)準(zhǔn)化變量其均值總是0，標(biāo)準(zhǔn)差總是1。2.對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化的回歸子和回歸元做回歸，截距項(xiàng)總是0，是一個(gè)過原點(diǎn)的回歸。3.標(biāo)準(zhǔn)化變量的回歸系數(shù)Beta系數(shù)可解釋為，如果標(biāo)準(zhǔn)化回歸元增加一個(gè)單位的標(biāo)準(zhǔn)差，則標(biāo)準(zhǔn)化回歸子平均增加單位個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。度量變量影響以其標(biāo)準(zhǔn)差作為單位。注意：第四十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日5.標(biāo)準(zhǔn)化回歸模型的優(yōu)點(diǎn)在于我們可以用beta系數(shù)作為各個(gè)回歸元相對(duì)解釋力的一種度量，通過將回歸元標(biāo)準(zhǔn)化，可以將其放在同等地位并直接進(jìn)行比較。如果一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化回歸元的系數(shù)比模型中另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化回歸元的系數(shù)大，那么前者就能比后者更多地解釋回歸子。注意：第四十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日本章要點(diǎn)多元線性回歸模型多元線性回歸模型的概念多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)非線性回歸模型第四十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)重點(diǎn)：

1.為什么要對(duì)可決系數(shù)加以修正

2.個(gè)別參數(shù)顯著性t檢驗(yàn)與模型整體顯著性F檢驗(yàn)的關(guān)系

3.F檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度之間的關(guān)系第四十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)一、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)三、模型總體線性顯著性檢驗(yàn)第四十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日一、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

設(shè)估計(jì)的多元樣本線性回歸函數(shù)為

則帶殘差項(xiàng)的多元樣本線性回歸模型為

則1．總離差平方和分解第五十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日總離差平方和

由最小二乘法知因此

第五十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日回歸平方和與殘差平方和

記成TSS=RSS+ESS總離差平方和

回歸平方和殘差平方和

第五十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日2．判定系數(shù)

用回歸平方和（ESS）占總平方和（TSS）的比重作為衡量模型對(duì)樣本擬合優(yōu)度的指標(biāo)，稱為多元判定系數(shù)，用符號(hào)R2表示：顯然，，并且當(dāng)越接近于1時(shí)，越接近于0；因此，R2的值越接近1，則表明模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度越高。

第五十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日回歸平方和分解用式：減式：得：由于于是因此第五十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日在多元回歸中R2是模型中解釋變量個(gè)數(shù)的非減函數(shù)，也就是說，隨著模型中解釋變量個(gè)數(shù)的增加，的值通常都會(huì)變大。為了得到擬合優(yōu)度較高的模型，似乎加入更多解釋變量是合理選擇，但是在建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型時(shí)，隨著解釋變量個(gè)數(shù)的增加，待估計(jì)的參數(shù)也會(huì)增多，由此造成樣本自由度減少，模型參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性下降。注意：第五十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日因此，在多元回歸模型中，僅僅依據(jù)R2對(duì)模型作比較和選擇會(huì)產(chǎn)生問題，在增加新的解釋變量時(shí)，必須對(duì)由其帶來的模型自由度下降這一“負(fù)面影響”而做出“懲罰”，因此，需要對(duì)R2作出相應(yīng)的修正。注意：第五十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日3.校正判定系數(shù):在一元回歸中判定系數(shù)為由于于是第五十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日校正的辦法

將中的第二項(xiàng)乘一個(gè)不小于1的因子，若方程中解釋變量個(gè)數(shù)k大，所乘因子也大；在樣本容量一定的情況下，由于RSS的自由度n-k-1隨著解釋變量個(gè)數(shù)k的增大而減少。如果用自由度去校正所計(jì)算的變差平方和，就可以克服因?yàn)榻忉屪兞總€(gè)數(shù)不同而引起的判定系數(shù)對(duì)比的困難。因此定義

為校正判定系數(shù)。

第五十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日的聯(lián)系

由于是k＞0

n-k-1＞01-R2≥0所以即：校正的判定系數(shù)不大于一般判定系數(shù)第五十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日調(diào)整后的判定系數(shù)受哪些因素的影響第六十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日校正判定系數(shù)的特點(diǎn)

因?yàn)椋?，則由所以，當(dāng)時(shí)，，

這時(shí)就取。

第六十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日R2K變量個(gè)數(shù)K變量個(gè)數(shù)第六十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日

4.赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨準(zhǔn)則

為了比較所含解釋變量個(gè)數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標(biāo)準(zhǔn)還有:

赤池信息準(zhǔn)則（Akaikeinformationcriterion,AIC）施瓦茨準(zhǔn)則（Schwarzcriterion，SC）

這兩準(zhǔn)則均要求僅當(dāng)所增加的解釋變量能夠減少AIC值或AC值時(shí)才在原模型中增加該解釋變量。

第六十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)一、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)三、模型總體線性顯著性檢驗(yàn)第六十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)1.提出假設(shè)：2.構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：在H0成立的條件下，3.計(jì)算原假設(shè)成立時(shí)tj統(tǒng)計(jì)量的值。4.在給定顯著性水平的條件下，查t分布表，得臨界值。H0：j=0

（j=1,2…k）

H1：j0

第六十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日5．判斷：則拒絕

接受

這是因?yàn)榻邮蹾0的概率保證程度很大，也就是說,接受H1犯錯(cuò)誤的概率很?。徽f明所對(duì)應(yīng)的解釋變量對(duì)被解釋變量Y有顯著的線性影響。若則不能拒絕即與0的差異不顯著，這種情況，只有接受H0，犯錯(cuò)誤的概率才會(huì)小；說明對(duì)應(yīng)的解釋變量對(duì)被解釋變量Y線性作用不顯著。若第六十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第三節(jié)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)一、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)二、偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)三、模型總體線性顯著性檢驗(yàn)第六十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日三、模型總體線性顯著性檢驗(yàn)由于Yi的總變差可以分解為兩部分顯然，模型的總顯著性越強(qiáng),說明模型中所有解釋變量對(duì)被解釋變量Y的聯(lián)合影響程度越大，ESS在TSS中所占比重就越大,故利用比值對(duì)總體線性關(guān)系進(jìn)行推斷。由于對(duì)不同的樣本，這個(gè)比值可能不同，因此對(duì)給定的樣本，利用這個(gè)比值進(jìn)行推斷，必須在統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上作出。第六十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日總體線性顯著性檢驗(yàn)的步驟

至少有一個(gè)不為01.提出關(guān)于K個(gè)總體參數(shù)的假設(shè)。2.構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：可以證明：在k元線性回歸的條件下，和分別服從自由度為k和n-k-1的分布。即根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的定理可知，因此，利用F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行總體線性顯著性檢驗(yàn)第六十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日F檢驗(yàn)

3.在原假設(shè)成立的條件下，計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值；

4.給定顯著性水平，查F分布表得臨界值；

5.若，則拒絕，即回歸模型是顯著成立，這說明回歸模型中的解釋變量對(duì)被解釋變量是有共同影響，也就是說，回歸總體是顯著線性的。若，則不拒絕，即回歸模型不顯著成立，說明解釋變量對(duì)被解釋變量是沒有顯著的線性影響關(guān)系。第七十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日F檢驗(yàn)和判定系數(shù)R2關(guān)系

可以看出，F(xiàn)與R2同向變化,當(dāng)時(shí)，當(dāng)R2越大時(shí)，F(xiàn)值越大，當(dāng)R2趨向于1時(shí)，F(xiàn)趨向于。因此，用來判斷估計(jì)的回歸方程聯(lián)合顯著性的F檢驗(yàn)，實(shí)際也就是對(duì)判定系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。亦即，檢驗(yàn)原假設(shè)，等價(jià)于檢驗(yàn)這一虛擬假設(shè)。第七十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日本章要點(diǎn)多元線性回歸模型多元線性回歸模型的概念多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)非線性回歸模型第七十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日

被解釋變量和解釋變量之間的線性關(guān)系，包括參數(shù)線性和解釋變量線性兩種。嚴(yán)格意義上來講，OLS是針對(duì)參數(shù)、變量均線性的模型進(jìn)行估計(jì)，為什么基本假定只要求相對(duì)參數(shù)線性即可？

第四節(jié)非線性回歸模型第七十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日

即使在參數(shù)線性回歸模型的約束下，回歸模型也可以有多種形式：倒數(shù)模型雙對(duì)數(shù)模型半對(duì)數(shù)模型多項(xiàng)式模型所有這些模型的一個(gè)重要特征是，它們都是參數(shù)線性模型，或者通過簡(jiǎn)單的代數(shù)處理轉(zhuǎn)化成參數(shù)線性模型，但變量卻不一定是線性的。

第七十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日

轉(zhuǎn)換技巧：直接代換法間接代換法級(jí)數(shù)展開法應(yīng)用研究中經(jīng)常出現(xiàn)的函數(shù)形式的變形和推廣。第七十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第四節(jié)非線性回歸模型重點(diǎn)：

1.雙對(duì)數(shù)線性模型參數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義

2.半對(duì)數(shù)線性模型參數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義

3.級(jí)數(shù)展開法的基本思想第七十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第四節(jié)非線性回歸模型一、直接代換法二、間接代換法三、級(jí)數(shù)展開法第七十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日對(duì)于參數(shù)線性的模型，可以采用變量的直接代換，轉(zhuǎn)化為參數(shù)、變量均為線性的形式進(jìn)行估計(jì)。1.倒數(shù)模型函數(shù)形式為下式的稱為倒數(shù)模型：

倒數(shù)模型的一個(gè)顯著特征是，隨著X的無限增大，趨于零，Y接近漸近值。一、直接代換法第七十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日曲線形狀第七十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日令變量，則回歸函數(shù)可變?yōu)椋焊鶕?jù)解釋變量的觀測(cè)值，計(jì)算出X*i的之后進(jìn)行OLS估計(jì)，得到：因此可得到原模型的估計(jì)方程：如何轉(zhuǎn)換？第八十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日倒數(shù)變換模型特點(diǎn)

隨著X的無限增大，Yi將非線性遞減（Y將接近于零），逐漸接近極限值，即有一個(gè)漸近下限或漸近上限。由于這種模型的曲線形狀呈現(xiàn)雙曲線的變化規(guī)律，又稱其為雙曲線模型。在現(xiàn)實(shí)中，平均固定成本曲線，恩格爾消費(fèi)曲線，菲利普斯曲線恰好有類似的變動(dòng)規(guī)律，因此，可以用倒數(shù)變換模型進(jìn)行描述。第八十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日平均固定成本曲線在短期：總固定成本為一條水平線，平均固定成本曲線等于從原點(diǎn)到總成本曲線上相應(yīng)產(chǎn)量點(diǎn)連線的斜率。隨著產(chǎn)出的不斷增加，AFC將逐漸降低，最終接近臨界值。第八十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日恩格爾消費(fèi)曲線

恩格爾曲線表示消費(fèi)者在每一收入水平下對(duì)某種商品的需求量。恩格爾曲線的形狀取決于特定商品的性質(zhì)、消費(fèi)者的偏好以及保持不變的價(jià)格水平。正常商品的消費(fèi)量隨著收入的增加而增加，但其增長(zhǎng)率是遞減的。高檔商品的消費(fèi)量是隨收入增加而遞增的，且其增長(zhǎng)速度也是遞增的。

第八十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日恩格爾消費(fèi)曲線

正常商品高檔商品第八十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日恩格爾消費(fèi)曲線

若用X表示消費(fèi)者總收入，Y表示消費(fèi)數(shù)量，則正常商品的恩格爾曲線具有如下特征：1.收入有一個(gè)臨界值，在此之下，不能購(gòu)買商品。2.消費(fèi)有一個(gè)滿足水平，在此水平之上，不會(huì)再有任何消費(fèi)。第八十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日中國(guó)2006-2011年恩格爾系數(shù)第八十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第八十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日菲利普斯曲線

菲利普斯根據(jù)英國(guó)貨幣工資變化的百分比Y與失業(yè)率X的數(shù)據(jù)，得到菲利普斯曲線。工資的變化隨失業(yè)水平的變化是不對(duì)稱的：當(dāng)失業(yè)率低于自然失業(yè)率u0時(shí)，工資隨失業(yè)率單位變化而上升比在失業(yè)率高于自然失業(yè)率u0時(shí)工資隨失業(yè)率單位變化而下降得要快。第八十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日菲利普斯曲線第八十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日2.雙對(duì)數(shù)模型（不變彈性模型）模型

令可變?yōu)榫€性回歸模型

根據(jù)解釋變量的觀測(cè)值，計(jì)算出Y*i和X*i的之后用最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到：和分別是和的最佳線性無偏估計(jì)式。第九十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日雙對(duì)數(shù)模型的假設(shè)檢驗(yàn)

線性模型與雙對(duì)數(shù)模型的假設(shè)檢驗(yàn)并沒有什么不同，在隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布的假設(shè)下，估計(jì)的回歸系數(shù)服從正態(tài)分布。

第九十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日雙對(duì)數(shù)線性模型的特點(diǎn)

對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)方程兩邊微分得：雙對(duì)數(shù)線性模型的回歸系數(shù)恰好就是被解釋變量關(guān)于解釋變量的彈性。第九十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日三個(gè)變量的對(duì)數(shù)線性回歸模型：令變量，則回歸函數(shù)可變?yōu)椋焊鶕?jù)解釋變量的觀測(cè)值，進(jìn)行OLS估計(jì)，得到：因此可得到原模型的估計(jì)方程：第九十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日三個(gè)變量的對(duì)數(shù)線性回歸模型：注意：模型中的偏回歸系數(shù)又稱為偏彈性系數(shù)，每一個(gè)偏回歸系數(shù)度量了在其他變量保持不變的條件下，被解釋變量Y對(duì)某一解釋變量的偏彈性。第九十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日3.半對(duì)數(shù)模型

僅有一個(gè)變量以對(duì)數(shù)形式出現(xiàn)的回歸模型稱為半對(duì)數(shù)模型。對(duì)數(shù)-線性模型：被解釋變量為對(duì)數(shù)形式的模型線性-對(duì)數(shù)模型：解釋變量為對(duì)數(shù)形式的模型第九十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日3.半對(duì)數(shù)模型

根據(jù)解釋變量的觀測(cè)值，進(jìn)行OLS估計(jì)，得到：因此可得到原模型的估計(jì)方程：分別令：

或第九十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日半對(duì)數(shù)線性模型參數(shù)的意義

兩邊求微分得：對(duì)線性－對(duì)數(shù)模型：

從而，

對(duì)于對(duì)數(shù)－線性模型：

兩邊求微分得：

則第九十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日住房?jī)r(jià)格與空氣污染

第九十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日住房?jī)r(jià)格與空氣污染

第九十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日住房?jī)r(jià)格與空氣污染

第一百頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日廣泛使用對(duì)數(shù)模型的原因：1.使用自然對(duì)數(shù)使得對(duì)系數(shù)的解釋頗具吸引力，而且由于斜率系數(shù)不隨測(cè)度單位而變化，所以我們可以忽略以對(duì)數(shù)形式出現(xiàn)的變量的度量單位。

2.當(dāng)Y>0時(shí)，使用lnY作為被解釋變量的模型，通常比使用Y的水平值作為被解釋變量的模型更接近CLM假定。嚴(yán)格為正的變量，其條件分布常常具有異方差性或偏態(tài)性，取對(duì)數(shù)后，即使不能消除這兩方面的問題，也可以使之有所緩和。第一百零一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日廣泛使用對(duì)數(shù)模型的原因：

3.使用自然對(duì)數(shù)通常會(huì)縮小變量的取值范圍，在某些情況下還相當(dāng)可觀。這就使得估計(jì)值對(duì)被解釋變量或解釋變量的異常（或極端）觀測(cè)不是那么敏感。

第一百零二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日線性模型與對(duì)數(shù)模型的比較在線性模型、對(duì)數(shù)模型選擇過程中，有如下經(jīng)驗(yàn)規(guī)律：

1.雙變量下，做散點(diǎn)圖。

2.多變量下，依據(jù)理論基礎(chǔ)、統(tǒng)計(jì)顯著性等標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合判斷。

3.可決系數(shù)不是重要標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)榫€性模型的可決系數(shù)度量了X對(duì)Y變動(dòng)解釋的比例，而雙對(duì)數(shù)模型的可決系數(shù)度量了lnX對(duì)lnY變動(dòng)解釋的比例。Y的變動(dòng)與lnY的變動(dòng)從概念上看是不同的。第一百零三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日線性模型與對(duì)數(shù)模型的比較

4.具有大正整數(shù)特征的變量通?？梢匀?duì)數(shù)，如國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、物質(zhì)資本存量、就業(yè)人員數(shù)、人口、工資等變量。以年度量的變量通常以原有形式出現(xiàn)，如受教育年數(shù)、年齡等變量。比例或百分比變量盡管存在使用其水平值的趨勢(shì)，但我們既可以使用原有形式，也可以使用其對(duì)數(shù)形式。這是因?yàn)槿魏卧兞康幕貧w系數(shù)，都具有一種百分點(diǎn)變化的解釋，如失業(yè)率、投資率、消費(fèi)率等變量。第一百零四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日線性模型與對(duì)數(shù)模型的比較

注意：使用對(duì)數(shù)模型所受到的一個(gè)限制是，變量不能取零或負(fù)值。但在Y非負(fù)又可等于零的情形中，有時(shí)采用ln(1+Y)。除了從Y=0開始的變化外，通常的百分比變化幾乎完全保留了其解釋。一般而言，當(dāng)Y的數(shù)據(jù)包含相對(duì)較少的零時(shí)，使用ln(1+Y)，并把估計(jì)值作為變量為lnY時(shí)的解釋，通常是可以接受的。第一百零五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日對(duì)數(shù)模型的缺陷

使用對(duì)數(shù)形式的被解釋變量有一個(gè)缺陷，即更難預(yù)測(cè)原變量的值。原模型使我們能預(yù)測(cè)lnY，而不是Y。不過，把對(duì)lnY的預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)變成對(duì)Y的預(yù)測(cè)也是相當(dāng)容易的。一個(gè)相關(guān)的問題是，將Y作為被解釋變量的模型與lnY作為被解釋變量的模型進(jìn)行可決系數(shù)的比較是不合邏輯的。它們解釋的是不同變量的變異。第一百零六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日4.多項(xiàng)式模型

令變量，模型轉(zhuǎn)化成多元線性回歸模型從而最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)以及進(jìn)一步的檢驗(yàn)。這個(gè)模型在生產(chǎn)與成本函數(shù)中被廣泛使用。模型的函數(shù)為：解釋變量以不同次冪進(jìn)入模型。第一百零七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日總成本(TC)、邊際成本（MC）和平均成本AC與產(chǎn)出的關(guān)系曲線：

第一百零八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日污染對(duì)住房?jī)r(jià)格的影響

第一百零九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日污染對(duì)住房?jī)r(jià)格的影響

第一百一十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日污染對(duì)住房?jī)r(jià)格的影響

第一百一十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第四節(jié)非線性回歸模型一、直接代換法二、間接代換法三、級(jí)數(shù)展開法第一百一十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日二、間接代換法

在某些經(jīng)濟(jì)問題中，經(jīng)濟(jì)變量之間的非線性關(guān)系，不能象前面那樣直接代換轉(zhuǎn)化為線性形式，需要先通過函數(shù)變換（通常是對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)），然后進(jìn)行變量代換，使其轉(zhuǎn)化線性形式，再進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。因此，稱為間接代換法。第一百一十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日1.冪函數(shù)模型：若被解釋變量Y和解釋變量X之間的關(guān)系呈現(xiàn)冪函數(shù)形式該模型中變量Yi關(guān)于Xi和參數(shù)都是非線性的，對(duì)這類問題的線性化方法是將兩邊取對(duì)數(shù)，做恒等變換得：

令則

再令則第一百一十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日2.指數(shù)函數(shù)模型:若被解釋變量Y和解釋變量X之間的關(guān)系呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式：對(duì)這類模型線性化的方法，也是只需對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，即得：實(shí)際上是對(duì)數(shù)—線性模型，只要令

就可化為：再用線性回歸模型參數(shù)估計(jì)的方法估計(jì)出和進(jìn)一步可得

第一百一十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第四節(jié)非線性回歸模型一、直接代換法二、間接代換法三、級(jí)數(shù)展開法第一百一十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日三、級(jí)數(shù)展開法（迭代估計(jì)法）

基本思想：通過泰勒級(jí)數(shù)展開法，先使非線性模型在某一初始參數(shù)估計(jì)值附近線性化，然后對(duì)這一線性模型應(yīng)用最小二乘估計(jì)方法，得出一組新的參數(shù)估計(jì)值，接著使原非線性的模型在新參數(shù)估計(jì)值附近線性化，對(duì)新的線性模型再應(yīng)用最小二乘估計(jì)方法，又得出一組新的參數(shù)估計(jì)值，不斷重復(fù)上述過程，直至參數(shù)估計(jì)值收斂時(shí)為止。第一百一十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日具體步驟如下：設(shè)模型：其中：k為解釋變量個(gè)數(shù)，p為參數(shù)的個(gè)數(shù)，f為非線性函數(shù)，且f是的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。第一步，選定一組參數(shù)初始估計(jì)值將函數(shù)f在初始值處展開（3-97）整理得：第一百一十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第二步：作變量代換，令：

第三步：由于上式是一個(gè)多元線性回歸模型，可用最小二乘法估計(jì)出一組參數(shù)。第一百一十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日第四步，重復(fù)第一步，對(duì)作另一次泰勒級(jí)數(shù)展開得，

代換后得到新的線性回歸模型，再應(yīng)用最小二乘法，又得出一組參數(shù)的估計(jì)值;第五步，如此反復(fù)，得到一系列直到參數(shù)估計(jì)值收斂或第

次估計(jì)值的估計(jì)誤差

小于事先取定的誤差精度時(shí)為上，即滿足如下條件時(shí)為止：第一百二十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日以第次的計(jì)算結(jié)果作為參數(shù)的估計(jì)值。

從上述估計(jì)過程可以看出，迭代估計(jì)過程的收斂性及收斂速度與參數(shù)初始值的選取密切相關(guān)。若選取的初始值與參數(shù)真值比較接近，則收斂速度較快；反之，則收斂緩慢甚至發(fā)散。因此，估計(jì)模型時(shí)最好依據(jù)參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義和有關(guān)先驗(yàn)信息，設(shè)定好參數(shù)的初始值。這種方法計(jì)算量較大，而且迭代過程可能不收斂，這時(shí)應(yīng)重選一組新的初始參數(shù)值，重新作逐次線性的近似估計(jì)。第一百二十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日說明：首先，由于非線性模型中的參數(shù)估計(jì)量同隨機(jī)項(xiàng)不成線性關(guān)系，所以它們不服從正態(tài)分布，也不能從回歸殘差中得出隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差的無偏估計(jì)量，其結(jié)果使得t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)都不適用。其次，用上面方法得出的樣本回歸方程，可用來預(yù)測(cè)未來某個(gè)時(shí)期f的因變量的值。第一百二十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日

非線性回歸模型應(yīng)用舉例第一百二十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日研究的選題1.要盡量選擇在經(jīng)濟(jì)和社會(huì)領(lǐng)域中受到廣泛關(guān)注的問題，所研究問題的題目要具體化。2.要明確研究的范圍。3.所選題目的大小要適中。4.要充分考慮數(shù)據(jù)來源的可能性。第一百二十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日應(yīng)用舉例一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的設(shè)定二、變量說明與數(shù)據(jù)處理三、參數(shù)估計(jì)與計(jì)量檢驗(yàn)四、宏觀經(jīng)濟(jì)研究問題

第一百二十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的設(shè)定（一）數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建（二）樣本數(shù)據(jù)特征觀察（三）計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型建立第一百二十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建1.新古典生產(chǎn)函數(shù)的基本假定(1)假定經(jīng)濟(jì)中僅有物質(zhì)資本和勞動(dòng)兩種投入，生產(chǎn)函數(shù)形式為：

(2)假定資本折舊率是一個(gè)常數(shù)。在一個(gè)時(shí)點(diǎn)上物質(zhì)資本存量的變化等于總投資減去生產(chǎn)過程中的資本損耗。第一百二十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建2.新古典生產(chǎn)函數(shù)的性質(zhì)如果忽略技術(shù)進(jìn)步，也就是說我們假定F（·）獨(dú)立于t，生產(chǎn)函數(shù)可以采取如下形式：（1）對(duì)所有K>0和L>0，生產(chǎn)函數(shù)F（·）對(duì)每一投入具有正的且遞減的邊際產(chǎn)品：第一百二十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建（2）F（·）呈現(xiàn)出不變規(guī)模報(bào)酬，滿足一次齊次性：

（3）滿足稻田條件，即隨著資本或勞動(dòng)趨于零，資本或勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品趨于無窮大；隨著資本或勞動(dòng)趨于無窮大，資本或勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品趨于零：第一百二十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建3.新古典生產(chǎn)函數(shù)的形式科布-道格拉斯函數(shù)提供了對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)的合理描述，在此假定生產(chǎn)函數(shù)符合科布-道格拉斯函數(shù)形式：第一百三十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日應(yīng)用舉例一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的設(shè)定二、變量說明與數(shù)據(jù)處理三、參數(shù)估計(jì)與計(jì)量檢驗(yàn)四、宏觀經(jīng)濟(jì)研究問題

第一百三十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日樣本數(shù)據(jù)特征觀察變量隨著時(shí)間變動(dòng)趨勢(shì)第一百三十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日樣本數(shù)據(jù)特征觀察以國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為橫軸第一百三十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日樣本數(shù)據(jù)特征觀察以國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為縱軸第一百三十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的設(shè)定（一）數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建（二）樣本數(shù)據(jù)特征觀察（三）計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型建立第一百三十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型建立1.確定模型包含的變量因素：產(chǎn)出、物質(zhì)資本、勞動(dòng)變量：GDP、資本存量K、勞動(dòng)力人數(shù)L數(shù)據(jù)可得性變量之間的關(guān)系：GDP被解釋變量、K和L解釋變量第一百三十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型建立2.確定模型的數(shù)學(xué)形式單一方程還是聯(lián)立方程模型？——單一方程具體函數(shù)形式：根據(jù)相關(guān)經(jīng)濟(jì)理論得出符合科布-道格拉斯函數(shù)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)做出的變量關(guān)系圖印證C-D生產(chǎn)函數(shù)隨機(jī)回歸方程設(shè)定為：對(duì)數(shù)變換第一百三十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型建立3.擬定模型中待估參數(shù)的理論期望值區(qū)間符號(hào)：+大小：0-1之間，兩者之和是否接近于1第一百三十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型設(shè)定柯布-道格拉斯函數(shù)提供了對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)的合理描述，刻畫了一個(gè)反映產(chǎn)出與勞動(dòng)力和資本投入之間的關(guān)系的生產(chǎn)函數(shù)：

C-D生產(chǎn)函數(shù)隨機(jī)回歸方程設(shè)定為：第一百三十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日應(yīng)用舉例一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的設(shè)定二、變量說明與數(shù)據(jù)處理三、參數(shù)估計(jì)與計(jì)量檢驗(yàn)四、宏觀經(jīng)濟(jì)研究問題

第一百四十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日變量說明與數(shù)據(jù)處理（一）數(shù)據(jù)來源

1.年鑒《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》及各地區(qū)統(tǒng)計(jì)年鑒《新中國(guó)60年統(tǒng)計(jì)資料匯編》《中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值核算歷史資料（1952~1996）》《中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值核算歷史資料（1952~2004）》

專業(yè)年鑒如《中國(guó)金融年鑒》、《中國(guó)科技統(tǒng)計(jì)年鑒》第一百四十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日變量說明與數(shù)據(jù)處理2.網(wǎng)絡(luò)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)網(wǎng)頁中國(guó)人民銀行統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)網(wǎng)頁中國(guó)證券監(jiān)督管理委員會(huì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)網(wǎng)頁世界銀行WDI數(shù)據(jù)庫(kù)聯(lián)合國(guó)UNdata數(shù)據(jù)庫(kù)第一百四十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日變量說明與數(shù)據(jù)處理3.共享人大經(jīng)濟(jì)論壇中國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)教育科研網(wǎng)新浪愛問經(jīng)濟(jì)學(xué)家各大高校網(wǎng)站（如南開大學(xué)、山東大學(xué)）第一百四十三頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日變量說明與數(shù)據(jù)處理（二）變量說明

1.產(chǎn)出變量國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)指按市場(chǎng)價(jià)格計(jì)算的一個(gè)國(guó)家(或地區(qū))所有常住單位在一定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)活動(dòng)的最終成果。在實(shí)際核算中，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值有三種計(jì)算方法，即生產(chǎn)法、收入法和支出法。三種方法分別從不同的方面反映國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值及其構(gòu)成。

第一百四十四頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日變量說明與數(shù)據(jù)處理2.資本變量——物質(zhì)資本存量支出法國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值中資本形成總額或全社會(huì)固定資產(chǎn)投資3.勞動(dòng)力變量經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口就業(yè)人員合計(jì)第一百四十五頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日變量說明與數(shù)據(jù)處理（三）數(shù)據(jù)處理

1.真實(shí)GDP

常規(guī)錯(cuò)誤：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)是根據(jù)兩個(gè)時(shí)期不變價(jià)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值計(jì)算得到，因此將國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)看作是GDP平減指數(shù)。國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)（上年=100）的定義為：第一百四十六頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日變量說明與數(shù)據(jù)處理則GDP平減指數(shù)的環(huán)比指數(shù)公式為：

GDP定基指數(shù)真實(shí)GDP=名義GDP除以GDP平減指數(shù)第一百四十七頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日變量說明與數(shù)據(jù)處理2.真實(shí)資本存量普遍采用的資本存量的測(cè)算方法是永續(xù)盤存法，基本公式為：

《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》自1991年開始才公布固定資產(chǎn)投資價(jià)格指數(shù)資本折舊率的取值

第一百四十八頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日變量說明與數(shù)據(jù)處理（2）地區(qū)資本存量的估算可以寫作：3.就業(yè)人數(shù)第一百四十九頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日應(yīng)用舉例一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的設(shè)定二、變量說明與數(shù)據(jù)處理三、參數(shù)估計(jì)與計(jì)量檢驗(yàn)四、宏觀經(jīng)濟(jì)研究問題

第一百五十頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日參數(shù)估計(jì)估計(jì)結(jié)果第一百五十一頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)

Lucas（1988）的內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論認(rèn)為經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)是規(guī)模報(bào)酬遞增的，規(guī)模報(bào)酬遞增來源于人力資本及其外部效應(yīng)。人力資本的外部效應(yīng)——社會(huì)勞動(dòng)力的平均人力資本水平——具有核心作用，并且這些效應(yīng)會(huì)從一個(gè)人擴(kuò)散到另一個(gè)人，因而會(huì)對(duì)所有生產(chǎn)要素的生產(chǎn)率都有貢獻(xiàn)，從而使生產(chǎn)呈現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬遞增收益，而正是這種源于人力資本外部效應(yīng)的遞增收益使人力資本成為“增長(zhǎng)的發(fā)動(dòng)機(jī)”。第一百五十二頁，共一百六十六頁，2022年，8月28日模型修正沿用第一部分的設(shè)定的生產(chǎn)函數(shù)形式，重新寫