多元函數(shù)微分學(xué)二

多元函數(shù)微分學(xué)二1第一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日一、主要內(nèi)容第4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈導(dǎo)法則)則復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計(jì)算具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),定理:2第二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日注意:1.(*)式中兩邊z的含義不同,左邊的z表示已經(jīng)復(fù)合的函數(shù),右邊的z表示還沒有復(fù)合的函數(shù),2.(*)式兩邊都在點(diǎn)取值.3第三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日?項(xiàng)數(shù)問:每一項(xiàng)?中間變量函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)該中間變量對(duì)其指定自變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù)).的個(gè)數(shù).函數(shù)對(duì)某自變量的偏導(dǎo)數(shù)之結(jié)構(gòu)分量原則4第四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日網(wǎng)絡(luò)圖uv5第五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日二.介紹”網(wǎng)絡(luò)圖”全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)6第六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日7第七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日引入記號(hào):設(shè)記8第八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日三、全微分形式不變性具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有全微分則有全微分全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)9第九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日第5節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法一、一個(gè)方程的情形在一元函數(shù)微分學(xué)中,現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法給出隱函數(shù)(1)的求導(dǎo)法.并指出:曾介紹過隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,隱函數(shù)存在的一個(gè)充分條件.10第十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日隱函數(shù)存在定理1設(shè)二元函數(shù)的某一鄰域內(nèi)滿足:在點(diǎn)則方程的某一鄰域內(nèi)并有(1)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);它滿足條件在點(diǎn)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(2)

(3)

恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)(證明從略)僅推導(dǎo)公式.將恒等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo),由全導(dǎo)數(shù)公式,得11第十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日或簡(jiǎn)寫:于是得所以存在的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域內(nèi)12第十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日如,方程記(1)的鄰域內(nèi)連續(xù);所以方程在點(diǎn)附近確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、且隱函數(shù)存在定理1的隱函數(shù)則(2)(3)13第十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日注意:1.定理只說明了隱函數(shù)的存在性,并不一定能解出.2.定理的結(jié)論是局部的.3.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍含有x與y,理解:4.定理的條件只是充分條件.如:5.注意哪個(gè)是隱函數(shù),哪個(gè)是自變量.求高階導(dǎo)時(shí),利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.14第十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日則方程內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的并有具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);若三元函數(shù)的某鄰域內(nèi)函數(shù)它滿足條件在點(diǎn)在點(diǎn)2.由三元方程確定二元隱函數(shù)隱函數(shù)存在定理2的某一鄰域(1)(2)(3)滿足:15第十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日(證明從略)僅推導(dǎo)公式.將恒等式兩邊分別關(guān)于x和y求導(dǎo),應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得是方程所確定的隱設(shè)函數(shù),則所以存在的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域內(nèi)因?yàn)檫B續(xù),于是得16第十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日二、方程組的情形(隱函數(shù)組)下面討論由聯(lián)立方程組所確定的隱函數(shù)的確定兩個(gè)二元函數(shù)求故由方程組求導(dǎo)方法.17第十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日將恒等式兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo),解這個(gè)以為未知量的線性方程組,由鏈導(dǎo)法則得:求18第十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日解得當(dāng)系數(shù)行列式不為零時(shí),即雅可比行列式Jacobi,C.G.j.(德)1804-185119第十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日同理,兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo),得求20第二十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日第6節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)1.方向?qū)?shù)的定義設(shè)有二元函數(shù)沿任何方向的變化率．考慮函數(shù)在某點(diǎn)射線是指有方向的半直線,即21第二十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日定義如果極限存在,則將這個(gè)極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)記為即注方向?qū)?shù)是函數(shù)沿半直線方向的變化率.22第二十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日2.方向?qū)?shù)的幾何意義的幾何意義為曲面,當(dāng)限制自變量沿方向變化時(shí),對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)形成過的鉛垂平面與曲面的交線,這條交線在點(diǎn)M有一條記此半切線與方向的夾角為則由方向?qū)?shù)的半切線,定義得23第二十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日ρ一定為正!是函數(shù)在某點(diǎn)沿任何方向的變化率.方向?qū)?shù)偏導(dǎo)數(shù)分別是函數(shù)在某點(diǎn)沿平行于坐標(biāo)軸的直線Δx、Δy可正可負(fù)！的變化率.注結(jié)論：24第二十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日證由于函數(shù)可微,得到3.關(guān)于方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式充分條件定理可微,則函數(shù)且則增量可表示為兩邊同除以25第二十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日故有方向?qū)?shù)26第二十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日注即為(1)(2)計(jì)算方向?qū)?shù)只需知道l的方向及函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).在定點(diǎn)的方向?qū)?shù)為(3)(4)關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在可微27第二十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日可微如，結(jié)論28第二十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日連續(xù)。結(jié)論如29第二十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對(duì)于三元函數(shù)它在空間一點(diǎn)的方向?qū)?shù),可定義為同理,當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí),那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在,且有是l的方向向量.30第三十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日問題?二、梯度概念與計(jì)算已知方向?qū)?shù)公式方向：模：

方向一致時(shí),方向?qū)?shù)取最大值f變化率最大的方向f的最大變化率之值函數(shù)沿什么方向的方向?qū)?shù)為最大(gradient)一個(gè)二元函數(shù)在給定的點(diǎn)處沿不同方向的方向?qū)?shù)是不一樣的.31第三十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日定義記作讀作nable.即為函數(shù)稱向量梯度(gradient),稱為或算子,或向量微分算子.引入算符哈米爾頓算子,設(shè)函數(shù)可偏導(dǎo),利用梯度的概念,可將方向?qū)?shù)計(jì)算公式寫成32第三十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量,方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,它的而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的模為33第三十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日在幾何上曲面被平面所得曲線在xOy面上投影是一條平面曲線等值線梯度為等值線上的法向量表示一個(gè)曲面,所截得如圖:34第三十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日

法線的斜率為:為等值線上點(diǎn)P處的法向量.所以梯度事實(shí)上,由于等值線上任一點(diǎn)等值線35第三十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日類似于二元函數(shù),此梯度也是一個(gè)向量,其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)三元函數(shù)在空間區(qū)域G內(nèi)則對(duì)于每一點(diǎn)都可定義一個(gè)向量(梯度)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),36第三十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日類似地,設(shè)曲面為函數(shù)此函數(shù)在點(diǎn)的梯度的方向與過點(diǎn)P的等量面在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同,的等量面指向數(shù)值較高的等量面,等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).且從數(shù)值較低而梯度的模37第三十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).

1.空間曲線的方程為參數(shù)方程一、空間曲線的切線與法平面第7節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用38第三十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日考察割線趨近于極限位置——上式分母同除以割線的方程為切線的過程39第三十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日曲線在M處的切線方程切向量法平面切線的方向向量稱為曲線的切向量.過M點(diǎn)且與切線垂直的平面.40第四十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為法平面方程為2.空間曲線的方程為曲線的參數(shù)方程是由前面得到的結(jié)果,在M(x0,y0,z0)處,令切線方程為x為參數(shù),兩個(gè)柱面的交線41第四十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)空間曲線方程為3.空間曲線的方程為確定了隱函數(shù)(此曲線方程仍可用方程組

兩邊分別對(duì)表示.)x求全導(dǎo)數(shù):兩個(gè)曲面的交線42第四十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日利用2.結(jié)果,

兩邊分別對(duì)x求全導(dǎo)數(shù)43第四十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日法平面方程為切線方程為在點(diǎn)

M(x0,y0,z0)處的44第四十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日今在曲面Σ上任取一條1.設(shè)曲面Σ的方程為的情形隱式方程二、曲面的切平面與法線函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零.點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于參數(shù)不全為零.過點(diǎn)M的曲線Γ,設(shè)其參數(shù)方程為45第四十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日由于曲線Γ在曲面Σ上,所以在恒等式兩端對(duì)t求全導(dǎo)數(shù),

并令則得若記向量曲線Γ在點(diǎn)M處切線的方向向量記為則※式可改寫成即向量垂直.※46第四十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)榍€Γ是曲面Σ上過點(diǎn)M的任意一條曲線,所有這些曲線在點(diǎn)M的切線都與同一向量垂直,因此這些切線必共面,稱為曲面Σ在點(diǎn)M的過點(diǎn)M且垂直于切法線,又是法線的方向向量.向量稱為曲法向量.切平面,由切線形成的這一平面,平面的直線稱為曲面Σ在點(diǎn)M的面Σ在點(diǎn)M的47第四十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日曲面在M(x0,

y0,

z0)處的法向量:切平面方程為法線方程為所以曲面Σ上在點(diǎn)M的48第四十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日2.曲面方程形為的情形曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令或顯式方程49第四十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程:全微分的幾何意義表示切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量50第五十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它與z軸的正向所成的角是銳角,則法向量的方向余弦為51第五十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日一、多元函數(shù)的極值和最值1.極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值的定義:是在一點(diǎn)附近將函數(shù)值比大小.定義點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn).

類似可定義極小值點(diǎn)和極小值.?設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域,為極大值.則稱第8節(jié)多元函數(shù)的極值52第五十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日

注

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是局部的,一般來說:極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.有時(shí),極值.極值點(diǎn).內(nèi)的值比較.是與P0的鄰域極小值可能比極大值還大.53第五十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例例例函數(shù)存在極值,在(0,0)點(diǎn)取極小值.在(0,0)點(diǎn)取極大值.(也是最大值).在(0,0)點(diǎn)無極值.?橢圓拋物面下半個(gè)圓錐面馬鞍面在簡(jiǎn)單的情形下是容易判斷的.函數(shù)函數(shù)(也是最小值).函數(shù)54第五十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日2.極值的必要條件證定理1(必要條件)則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:有極大值,不妨設(shè)都有說明一元函數(shù)有極大值,必有類似地可證55第五十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日推廣如果三元函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在有極值的必要條件為均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)極值點(diǎn)(對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言)仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn),駐點(diǎn).如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如,駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).?

注56第五十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日3.極值的充分條件定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,有極大值,有極小值;(2)沒有極值;(3)可能有極值,也可能無極值.57第五十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日求函數(shù)極值的一般步驟:第一步解方程組求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值第三步定出的符號(hào),再判定是否是極值.58第五十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日取得.然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如:函數(shù)不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.

在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).注由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處但也可能是極值點(diǎn).在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)59第五十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日其中最大者即為最大值,

與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.4.多元函數(shù)的最值求最值的一般方法最小者即為最小值.將函數(shù)在D內(nèi)的所有可能極值點(diǎn)的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,60第六十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)自變量有附加條件的極值.其他條件.無條件極值對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無條件極值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法61第六十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日解例5已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的和為18,問長(zhǎng)、寬、高各取什么值時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大？設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為由題意長(zhǎng)方體的體積為且長(zhǎng)方體體積一定有最大值,體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)、寬、高都為6時(shí)長(zhǎng)方由于V在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),62第六十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)的極值,要受到條件的限制,這便是一個(gè)條件極值問題.目標(biāo)函數(shù)約束條件

有時(shí)條件極值目標(biāo)函數(shù)中化為無條件極值.可通過將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介紹解決條件極值問題的一般方法:下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法63第六十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日乘數(shù)法:現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下取得利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法如函數(shù)(1)在由條件(1)(2)極值的必要條件.取得所求的極值,那末首先有(3)確定y是x的隱函數(shù)

不必將它真的解出來,則于是函數(shù)(1)即,取得所取得極值.求的極值.64第六十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日其中代入(4)得:由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知:(4)取得極值.在(3),(5)兩式取得極值的必要條件.就是函數(shù)(1)在條件(2)下的65第六十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)上述必要條件變?yōu)?(6)中的前兩式的左邊正是函數(shù):(6)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在的值.函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子,是一個(gè)待定常數(shù).66第六十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日乘數(shù)法:極值的必要條件在條件要找函數(shù)下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù),其中可由解出其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).67第六十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日如何確定所求得的點(diǎn)實(shí)際問題中,

非實(shí)際問題我們這里不做進(jìn)一步的討論.拉格朗日乘數(shù)法可推廣:判定.可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來的情況.自變量多于兩個(gè)是否為極值點(diǎn)?68第六十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日推廣:求函數(shù)在條件下的極值的步驟:(1)作輔助函數(shù)(2)解方程組得到可能極值點(diǎn).69第六十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日二、典型例題例1.設(shè)求例2.設(shè)求70第七十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例3.已知f(t)可微,證明滿足方程提示t,y為中間變量,x,y為自變量.引入中間變量,則71第七十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日引入記號(hào):設(shè)記例4.設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo),求72第七十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日注對(duì)復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),需注意:導(dǎo)函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù).故對(duì)導(dǎo)函數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),仍需用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法.73第七十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例5.設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),試求在新坐標(biāo)系下的相應(yīng)表達(dá)式.74第七十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例6.設(shè)求通過全微分求所有一階偏導(dǎo)數(shù),比網(wǎng)絡(luò)圖法則或分量原則求偏導(dǎo)數(shù)有時(shí)會(huì)顯得靈活方便.75第七十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例7.求由確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo).例8.設(shè)方程確定了隱函數(shù)其中f有連續(xù)偏導(dǎo).證明:76第七十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日8.設(shè)是由方程組確定的函數(shù),其中f,g均連續(xù)可微,且求77第七十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例9.證明:函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在,但偏導(dǎo)不存在.78第七十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例10.設(shè)點(diǎn)求函數(shù)的方向?qū)?shù).79第七十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例11設(shè)函數(shù)(1)求出沿什么方向具有最大的增長(zhǎng)率,方向的變化率.(2)最大增長(zhǎng)率為多少?解

(1)

PQ方向的方向向量為80第八十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日沿什么方向具有最大的增長(zhǎng)率,(2)最大增長(zhǎng)率為多少?解

方向具有最大的增長(zhǎng)率,最大的增長(zhǎng)率為:即為梯度方向.81第八十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日解切線方程法平面方程例12即82第八十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日13.設(shè)曲線證

因原點(diǎn)即于是證明此曲線必在以原點(diǎn)為的法平面都過原點(diǎn),在任一點(diǎn)中心的某球面上.曲線過該點(diǎn)的法平面方程為故有

在法平面上,任取曲線上一點(diǎn)83第八十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例14.證明曲面上任意一點(diǎn)處的切平面都與直線平行,其中f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且為常數(shù).84第八十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日

例15微分法在幾何上的應(yīng)用其中有連續(xù)導(dǎo)數(shù).

例16求函數(shù)在此點(diǎn)的外法線方向的方向?qū)?shù).85第八十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日解令練習(xí)得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的單位法向量為().旋轉(zhuǎn)面方程為86第八十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例17證明函數(shù)有無窮多個(gè)極大值點(diǎn),但無極小值點(diǎn).例18.求函數(shù)的極值點(diǎn).提示:87第八十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例19.求函數(shù)在圓域