2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2.2利用基本不等式求最值學(xué)案新人教A版

第2課時(shí)利用基本不等式求最值同課前自主預(yù)習(xí), C］學(xué)習(xí)目標(biāo).會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大 (小)值問題..能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題.E)要點(diǎn)梳理基本不等式與最值已知x,y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2/；(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值：S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)， 必須有：(1)x、y>0,(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件.四思考診斷判斷正誤(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)若a>0,b>0,且a+b=16,則ab<64.( )(2)若ab=2,則a+b的最小值為2? )號(hào)，所以函數(shù)y的最小值是2\/*.( )(3)當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)號(hào)，所以函數(shù)y的最小值是2\/*.( )(4)若xCR,則x+2+x2^2>2.(［答案］(1)，(2)X(3)X(4)置課堂互動(dòng)探究題型一利用基本不等式求最值…... .. . 9..?...【典例1】(1)右x>0,求y=4x+一的取小值；x、一3 ,一，，(2)設(shè)0<x<2,求函數(shù)y=4x(3—2x)的取大值；, 4，一，…(3)已知x>2,求x+-^的最小值；x—2

(4)已知x>0,y>0,且1+9=1,求x+y的最小值.xy通過變形使其和或積為定［思路導(dǎo)引］利用基本不等式求最值，當(dāng)積或和不是定值時(shí),值，再利用基本不等式求解.通過變形使其和或積為定［解］(1)「x〉。，由基本不等式得4x?[=2^/36=12,由基本不等式得4x?[=2^/36=12,9 3 9當(dāng)且僅當(dāng)4x=9 3 9當(dāng)且僅當(dāng)4x=即x=,時(shí)，y=4x+-取最小值12.

x 2 x3(2)??-0<x<2, 3-2x>0,y=4x(3—2x)=2[2x(3—2x)]<22x+3—<22x+3—2x

292.3當(dāng)且僅當(dāng)3當(dāng)且僅當(dāng)2x=3—2x,即x=4時(shí)取"=9y的最大值為2.(3).x>？，.??x-2>0,4 4?x+口=(x—2)+xT2+2>2A/、2 .+2=6.當(dāng)且僅當(dāng)x—2=工，x-2，r , 4 …一，一即x=4時(shí)，x十一取最小值6.⑷..x>0,y>0,19_xy—⑷..x>0,y>0,19_xy—，x+y=(x+y)1+9=10+/>10+2,9=16.y9x19當(dāng)且僅當(dāng)x=9"且L9=1時(shí)等號(hào)成立，即x=4,y=12時(shí)等號(hào)成立.，當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y有最小值16.

4,一,一,，［變式］(1)本例(3)中，把“x>2”改為“x<2”，則x+—^的最值又如何?X—2x—2x+4(2)本例(3)中，條件不變，改為求 丁的最小值.x—2［解］(1).x<2,..2—x>0,X+X+口=X—2+口+2=-i+2-x-7r4—+2=—2.2-x，…， 4r ,當(dāng)且僅當(dāng)2—x=^—，即x=0時(shí),2—x4，一x+x2取最大值—2.x2-2x+4x-22+2x-2+4(2) = 「 x-2 x-2=x-2+—4-+2>2Ax-2?-47+2=6x-2\ix-2，…， 4 - ，—，，一，一當(dāng)且僅當(dāng)x—2=口，即x=4時(shí)，原式有最小值6.|名師提醒A(1)若是求和式的最小值， 通?；?或用J用)積為定值；若是求積的最大值，通?；?或利用)和為定值，其解答技巧是恰當(dāng)變形、合理拆分項(xiàng)或配湊因式.(2)若多次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件應(yīng)相同.［針對(duì)訓(xùn)練］xy1已知人y>0，且?^足3+4=1,則刈的最大值為［解析］,「x,y>0,xy1>234xy1>234xy12'得xyw3,當(dāng)且僅當(dāng)：=：即x=|,y=2時(shí)，取“=”號(hào),34 2，xy的最大值為3.［答案］32.已知x,y>0,且x+y=4,則1+3的最小值為 xy［解析］二)，y>0,，(x+y)x+3=4+y+3x>4+鄧,xyxy

當(dāng)且僅當(dāng)y*,即x=2(0—1),y=2(3—43)時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)y*,即x=2(0—1),y=2(3—43)時(shí)取“=”號(hào),又x+y=4,13 3??x+L+多，13 故-+-的最小值為

xy1+喙3.若x<3,則實(shí)數(shù)4，一，，…"刈=口+x的取大值為［解析］?.?xvB, x-3<0,?-f(x)=---+x=4+(x—3)+3x-3x-3~2.士3-x+3=T,， ， 4 ， ，，，，當(dāng)且僅當(dāng)--=3-x,即x=1時(shí)取“=”號(hào).3-x，f(x)的最大值為一1.［答案］—1題型二利用基本不等式解決實(shí)際問題【典例2】如圖，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻,其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.(1)現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24R,則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小？［思路導(dǎo)引］設(shè)每間虎籠長(zhǎng)xm,寬ym,則問題是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值.［解］(1)設(shè)每間虎籠長(zhǎng)xm,寬為ym,則由條件知4x+6y=36,即2x+3y=18.

設(shè)每間虎籠面積為S,則S=xy.解法一：由于2x+3y>2yj2x?3y=2y6xy,一 27?-2>y6xy<18,得xy<—,27即27即S<—,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)，等號(hào)成立.2x+3y=18,由2x=3y,解得x=4.5,y=3.故每間虎籠長(zhǎng)為4.5m,寬為3m時(shí)，可使面積最大.解法二：2x+3y=18,S=xy=1（2x）（3y）w，2x鏟y2x+3y=18,由2x=3y,解得x=4.5,y=3.故每間虎籠長(zhǎng)為4.5m,寬為3m時(shí)，可使面積最大.解法二：2x+3y=18,S=xy=1（2x）（3y）w，2x鏟y2=81=27.（以下同解法一）6 6 2 6 2（2）由條件知S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為l,則l=4x+6y.??-2x+3y>2^2x-3y=2^6xy=24,|=4x+6y=2（2x+3y）>48,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)，等號(hào)成立.2x=3y, x=6,由 解得xy=24, y=4.故每間虎籠長(zhǎng)6m,寬4m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小.|名師提醒A解決實(shí)際問題時(shí)，先弄清題意（審題），建立數(shù)學(xué)模型（列式），再用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題（求解），最后要回應(yīng)題意下結(jié)論 （作答）.［針對(duì)訓(xùn)練］4.某單位用2160萬元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少 10層，每層2000m2的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（x>10）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為 560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層?（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=購(gòu)地總費(fèi)用建筑總面積）［解］設(shè)將樓房建為x層，則每平方米的平均購(gòu)地費(fèi)用為2160X104108002000x=x于是每平方米的平均綜合費(fèi)用y=560+48x+10800=560+48x+225(x>10),

x x225當(dāng)x+M^最小時(shí)，y有最小值?225 225-x>0, x+—>2a/x?=30,225 . .. .當(dāng)且僅當(dāng)x=225,即x=15時(shí)，上式等號(hào)成立.x???當(dāng)x=15時(shí)，y有最小值2000元.因此該樓房建為15層時(shí)，每平方米的平均綜合費(fèi)用最小.課堂歸納小結(jié).利用基本不等式求最大值或最小值時(shí)應(yīng)注意:x,y一定要都是正數(shù);(2)求積xy最大值時(shí)，應(yīng)看和x+y是否為定值；求和x+y最小值時(shí)，應(yīng)看積xy是否(2)為定值;等號(hào)是否能夠成立.以上三點(diǎn)可簡(jiǎn)記為“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件,2.利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件,解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)建應(yīng)用..求解應(yīng)用題的方法與步驟⑴審題；（2）建卞H（列式）；（3）解模；（4）作答.西隨堂鞏固驗(yàn)收 二1.已知y=x+--2（x>0）,貝U丫有（ ）1.xA.最大值為0B.最小值為C.A.最大值為0B.最小值為C.最小值為一2D.最小值為［答案］2.已知0Vx2.已知0Vx<1,則當(dāng)x（1—x）取最大值時(shí),x的值為1A.311A.31B.21C.42D.3［解析］-,10<x<1,?.1—x>0.，x(1—x)wx+1［解析］-,10<x<1,?.1—x>0.，x(1—x)wx+1—x

22 1,i, r1=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x,即x=2［答案］3.［答案］3.已知p,qCR,pq=100,貝Up2+q2的最小值是［答案］［答案］200 a .已知函數(shù)f(x)=4x+-(x>0,a>0)在x=3時(shí)取得取小值，則a=x［解析］由基本不等式，得4x+x>2、，4x?又=4^”，當(dāng)且僅當(dāng)4x=-,即x=、2"時(shí)等號(hào)成立，即號(hào)=3,a=36.［答案］36.某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位月處理成本 y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=；x2—200x+80000,該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均80000

x80000

xy1由題意可知，氧化碳每噸的平均處理成本為x=2x+由題意可知，1 80000200A2、/-x 200=200,,2x，當(dāng)且僅當(dāng)1x=80000,即x=400時(shí)等號(hào)成立,x故該單位月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元.課后彳^業(yè)（十二）復(fù)習(xí)鞏固、選擇題.當(dāng).當(dāng)x>0時(shí)，y=-+4x的最小值為(

x4C.83［解析］.■x>0, —>0,4x>0.y=~x x8D.162\傳4x=8、/3.當(dāng)且僅當(dāng)1x==4x,即x=y3時(shí)取最小值8小，.?.當(dāng)x>0時(shí)，x=y3時(shí)取最小值8小，.?.當(dāng)x>0時(shí)，y的最小值為8^3.［答案］C2.設(shè)x,y為正數(shù)，則（x+y）1+4的最小值為（ ）xy6C.129D.15［解析］14(x+y)x+y=x4+4x+y+y?4=1+4+4x+y>5+2、邛=9.

xyxy yx :yx［答案］B.若x>0,y>0,且2+8=1,則*丫有( )xy1A.最大值64 B.最小值-641C.最小值2 D.最小值64xy有最?。劢馕觯萦深}意xy=X+yxy=2y+8x>2^2y-8x=8yfxy, ^xy>8,xy有最小值64,等號(hào)成立的條件是x=4,y=16.［答案］D4.已知p>0,q>0,p+q=1,Hx=p+-,y=q+-,則x+y的最小值為(pqTOC\o"1-5"\h\zA.6 B.5C.4 D.3［解析］由p+q=1,-x+y=p+-+q+-=1+-+-=1+!(p+q)pqpqpq=1+2+q+p>3+2A/q-p=5,pq,pqqp 1當(dāng)且僅當(dāng)q=p即p=q=1時(shí)取等號(hào)，pq1 12所以B選項(xiàng)是正確的.［答案］B,, 1 ….若a<1,則a+-;有最 (填“大”或“小”)值，為 .a1［解析］.「a<1,'''a—1<0,一—二(1—a)+』”?a+1

a—1?a+1

a—10-2,1

a—1當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)取等號(hào).［答案］大—1二、填空題

.已知0<x<1,則x(3—3x)取得最大值時(shí)x的值為.?、一, 1 l3x+3—3x23,_,, r［解析］由x(3—3x)=3X3x(3—3x)w3x——2——=4，當(dāng)且僅當(dāng)3x=3-3x,即1 ―，x=2時(shí)等號(hào)成立.i［答案］2, …一 J1,一，….已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,則-+-的最小值為xy［解析］.x,y為正數(shù)，且x+2y=1,??-1+-=(x+2y)-+1=3+2y+x>3+2J2,xy xyxy-當(dāng)且僅當(dāng)2y=y,即當(dāng)x=^2-i,y=i—￥時(shí)等號(hào)成立.3+2平.3+2平.F-的取小值為xy［答案］3+2小.某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=噸.［解析］每年購(gòu)買次數(shù)為400次.x400，總費(fèi)用=—-4+4x>2^6400=160,1600 ,當(dāng)且僅當(dāng)——=4x,即x=20時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)x［答案］20三、解答題.已知a,b,x,y>0,x,y為變量，a,b為常數(shù)，且a+b=10,~+-=1,x+y的xy ’最小值為18,求a,b.［解］x+y=(x+y)a+y=a+b+^x+ay>a+b+2ijab=(Va+Vb)2，bxay當(dāng)且僅當(dāng)一=ay時(shí)取等號(hào).yx故(*+丫)(^=(6+冊(cè))2=18,即a+b+2^/ab=18,①又a+b=10,②

由①②可得｛a=2,b=8或｛a=8,b=2.4.(1)已知x<3,求f(x)=「^+x的最大值;X—J(2)設(shè)x>0,y>0,且2x+8y=xy,求x+y的最小值.［解］(1),^<3, x-3<0..."x)=Kx=Kx—3+34當(dāng)且僅當(dāng)「.f(x)的最大值為一1.4當(dāng)且僅當(dāng)「.f(x)的最大值為一1.=3-x,即x=1時(shí)取等號(hào),<5—X(2)解法一：由2x+8y—xy=O,得y(x-8)=2x,2x-x>0,y>0, x-8>0,y=(2)解法一：由2x+8y—xy=O,得y(x-8)=2x,2x-x>0,y>0, x-8>0,y= X一o2x2X-16+16??x+y=x+ ~=x+ -3x-8 x-816

=(x-8)+—+10

X一o>2、x-8x禺+10

\ x-8=18.當(dāng)且僅當(dāng)x-8=16X—當(dāng)且僅當(dāng)x-8=16X—8,即x=12時(shí)，等號(hào)成立.「.x+y「.x+y的最小值是18.g2解法二：由2x+8y—xy=O及x>0,y>0,#-+-=1,82x+y=(82x+y=(x+y)一十一8y2x—+—+10>2xy=18.8v2x當(dāng)且僅當(dāng)=18.8v2x當(dāng)且僅當(dāng)士飛,即x=2y/2時(shí)等號(hào)成立,.1.x+y的最小值是18.綜合運(yùn)用時(shí),11.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=a+b的最小值是（ ）［解析］14

,a+b=--a+b=2,14a+b—I ab2綜合運(yùn)用時(shí),11.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=a+b的最小值是（ ）［解析］14

,a+b=--a+b=2,14a+b—I ab2成立），故y=a+b2—=1，5 2ab=2+b-+2a5 2ab9 ?2ab.>2+2\/可「嗎=2（當(dāng)且僅當(dāng)石=有，即b=2a.. 9a+b的最小值為2.［答案］C12.若xy是正數(shù)，則x+立2+y+12的最小值是（ ）2y 2XA.3B.7C.4D.92 2… 1