復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)序列二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、復(fù)數(shù)序列1.基本概念定義設(shè)為復(fù)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)序列。極限設(shè)

為一復(fù)數(shù)序列，又設(shè)

為一確定的復(fù)數(shù)，當(dāng)

n

>

N時(shí)，總有

|

zn-

a

|

<

e

成立，或或稱

a

為復(fù)數(shù)序列的極限，收斂于復(fù)數(shù)

a，則稱復(fù)數(shù)序列記作使得如果對(duì)任意給定的

e>

0，相應(yīng)地存在自然數(shù)N，第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、復(fù)數(shù)序列2.復(fù)數(shù)序列極限存在的充要條件則

的充要條件是定理設(shè)證明必要性“”若則當(dāng)時(shí)，第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日則

的充要條件是一、復(fù)數(shù)序列2.復(fù)數(shù)序列極限存在的充要條件定理設(shè)證明充分性“”則當(dāng)

時(shí)，若第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日解由或發(fā)散，即得也發(fā)散。已知故序列收斂。附考察實(shí)序列

的收斂性。(其中見上例)根據(jù)復(fù)數(shù)模的三角不等式有第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日注(1)序列收斂序列收斂；(2)例設(shè)討論序列的收斂性。即序列收斂。解第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.基本概念定義設(shè)為一復(fù)數(shù)序列，(1)稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，(3)如果序列收斂，即則稱級(jí)數(shù)收斂，(4)如果序列不收斂，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。簡(jiǎn)記為(2)稱為級(jí)數(shù)的部分和；并且極限值

s

稱為級(jí)數(shù)的和；第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件級(jí)數(shù)

和

都收斂。則級(jí)數(shù)

的部分和即得級(jí)數(shù)

收斂的充要條件是

和

都收斂。則級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是定理設(shè)證明令

和

分別為級(jí)數(shù)和

的部分和，由于序列收斂的充要條件是和都收斂，第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件則

收斂的必要條件是定理設(shè)等價(jià)于因此

收斂的必要條件是證明由于級(jí)數(shù)

收斂的充要條件是

和

都收斂，而實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

和

收斂的必要條件是：第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日級(jí)數(shù)收斂，解但級(jí)數(shù)發(fā)散，因此級(jí)數(shù)發(fā)散。(幾何級(jí)數(shù)時(shí)收斂)(

p

級(jí)數(shù)時(shí)發(fā)散)第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日解由于級(jí)數(shù)和均為收斂，(絕對(duì)收斂)故有級(jí)數(shù)和均收斂，即得級(jí)數(shù)收斂。記為在復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中是否也能引入絕對(duì)收斂的概念呢？第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日4.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)若

發(fā)散，

收斂，則稱

條件收斂。由收斂，證明收斂，定理若收斂，則必收斂。又根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法可得，和

均收斂，和均收斂，收斂。定義(1)若

收斂，則稱絕對(duì)收斂。第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日解由于即絕對(duì)收斂，故收斂。第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日分析由于發(fā)散，(

p

級(jí)數(shù)，比階法)因此不能馬上判斷

是否收斂。解故級(jí)數(shù)收斂。記為(萊布尼茲型的交錯(cuò)級(jí)數(shù))收斂，收斂，第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日§4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、基本概念二、冪級(jí)數(shù)三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、基本概念1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)稱為區(qū)域

G

內(nèi)(1)稱為區(qū)域

G

內(nèi)的復(fù)變函數(shù)序列。定義設(shè)復(fù)變函數(shù)在區(qū)域

G

內(nèi)有定義，的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、基本概念2.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義(1)稱為級(jí)數(shù)的部分和。定義設(shè)為區(qū)域G

內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂。z0則稱級(jí)數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)收斂。此時(shí)，稱(2)如果對(duì)

G

內(nèi)的某一點(diǎn)，有z0則為和函數(shù)，D

為收斂域。(3)如果存在區(qū)域D

G

，有第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的概念其中，

為復(fù)常數(shù)。定義稱由下式給出的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)：(

I

)(Ⅱ)只需將換成

即可應(yīng)用到型冪級(jí)數(shù)。(

I

)z(2)對(duì)于型冪級(jí)數(shù)，在

點(diǎn)肯定收斂。(Ⅱ)特別地，當(dāng)

時(shí)有(Ⅱ)注(1)下面主要是對(duì)型冪級(jí)數(shù)進(jìn)行討論，所得到的結(jié)論第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)2.阿貝爾

(

Abel

)

定理(1)如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則它在

上絕對(duì)收斂；對(duì)于冪級(jí)數(shù)，有定理(2)如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則它在

上發(fā)散。則存在

M，使對(duì)所有的

n

有即得收斂。其中，當(dāng)時(shí)，證明(1)由收斂，有第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日對(duì)于冪級(jí)數(shù)，有二、冪級(jí)數(shù)2.阿貝爾

(

Abel

)

定理(1)如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則它在

上絕對(duì)收斂；定理(2)如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則它在

上發(fā)散。證明(2)反證法：與已知條件矛盾。已知級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，假設(shè)存在使得級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，由定理的第

(1)

條有，級(jí)數(shù)在上絕對(duì)收斂；級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日

利用阿貝爾定理，不難確定冪級(jí)數(shù)的收斂范圍，對(duì)于任一個(gè)冪級(jí)數(shù)來說，它的收斂情況不外乎三種：iii)既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù).設(shè)

(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)收斂,(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的.這時(shí),根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.ii)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)3.收斂圓與收斂半徑發(fā)散發(fā)散收斂收斂分析第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)3.收斂圓與收斂半徑發(fā)散發(fā)散收斂收斂定義如圖設(shè)

CR

的半徑為

R，(1)稱圓域?yàn)槭諗繄A。(2)稱

R

為收斂半徑。R注意級(jí)數(shù)在收斂圓的邊界上各點(diǎn)的收斂情況是不一定的。約定表示級(jí)數(shù)僅在z

=

0點(diǎn)收斂；表示級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上收斂。第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日例考察級(jí)數(shù)的收斂性。收斂半徑為(必要條件)例考察級(jí)數(shù)的收斂性。由收斂，因此級(jí)數(shù)在全平面上收斂，故級(jí)數(shù)僅在點(diǎn)收斂，收斂半徑為對(duì)任意固定的解當(dāng)時(shí)，有對(duì)任意的解都有收斂，第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日級(jí)數(shù)的部分和為解級(jí)數(shù)發(fā)散。級(jí)數(shù)收斂；(1)當(dāng)時(shí)，和函數(shù)為(2)當(dāng)時(shí)，故級(jí)數(shù)收斂半徑為▲第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)4.求收斂半徑的方法(1)比值法如果則收斂半徑為對(duì)于冪級(jí)數(shù)，有推導(dǎo)考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)利用達(dá)朗貝爾判別法：當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日(2)根值法如果則收斂半徑為二、冪級(jí)數(shù)4.求收斂半徑的方法(1)比值法如果則收斂半徑為對(duì)于冪級(jí)數(shù)，有(利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西判別法即可得到)第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時(shí)的情形)或解(1)因?yàn)榈诙彭?，共四十八頁?022年，8月28日所以收斂半徑即原級(jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散,收斂的級(jí)數(shù)所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級(jí)數(shù)第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日說明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂.發(fā)散.原級(jí)數(shù)成為調(diào)和級(jí)數(shù)，解：(2)(并討論時(shí)的情形)第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。由解收斂圓為收斂半徑為例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。由解收斂圓為收斂半徑為得得第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。收斂圓為故級(jí)數(shù)的收斂半徑為由于解第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日令則在內(nèi)有三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)P86第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)即(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即(1)函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析。(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)設(shè)性質(zhì)則第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日3.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)性質(zhì)在把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)時(shí)，上述三類性質(zhì)有著重要的作用。又設(shè)函數(shù)在

內(nèi)解析，且滿足設(shè)級(jí)數(shù)

在內(nèi)收斂，和函數(shù)為性質(zhì)當(dāng)時(shí)，有則三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日解方法一

利用乘法運(yùn)算性質(zhì)方法二

利用逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日例5把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日級(jí)數(shù)收斂,且其和為第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日輕松一下吧……第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日附：人物介紹——阿貝爾挪威數(shù)學(xué)家

(1802～1829)阿貝爾N.H.Abel天才的數(shù)學(xué)家。關(guān)于橢圓函數(shù)理論的研究工作在當(dāng)時(shí)是函數(shù)論的最高成果之一。第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日附：人物介紹——阿貝爾很少有幾個(gè)數(shù)學(xué)家能使自己的名字同近世數(shù)學(xué)中如此多的概念和定理聯(lián)系在一起。阿貝爾群阿貝爾積分阿貝爾函數(shù)阿貝爾級(jí)數(shù)阿貝爾可和性阿貝爾積分方程阿貝爾部分和公式阿貝爾基本定理阿貝爾極限定理…………第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日附：人物介紹——阿貝爾阿貝爾只活了短短的27年，一生中命途坎坷。他的才能和成果在生前沒有被公正的承認(rèn)。為了紀(jì)念阿貝爾誕辰

200

周年，挪威政府于

2003

年設(shè)立了一項(xiàng)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)

——

阿貝爾獎(jiǎng)。每年頒發(fā)一次，獎(jiǎng)金高達(dá)80

萬美元，是世界上獎(jiǎng)金最高的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。(返回)第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日附：人物介紹——伽羅華天才的數(shù)學(xué)家。群論的創(chuàng)始人與奠基者。對(duì)函數(shù)論、方程式理論和數(shù)論等作出了重要貢獻(xiàn)。法國數(shù)學(xué)家

(1811～1832)伽羅華évaristeGalois第四十四頁，共四十八頁，2022年，8