第一節(jié)定積分概念與性質(zhì)

第五章積分學(xué)不定積分定積分

定積分

在一切理論成就中，未必再有什么象17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類(lèi)精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類(lèi)精神的純粹的和唯一的功績(jī)，那也就是正是在這里。恩格斯第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的近似計(jì)算定積分的概念與性質(zhì)

第五章四、定積分的性質(zhì)一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積ab思路與方法：變“曲”為“直”，首先用小矩形面積的和近似取代曲邊梯形面積，再通過(guò)極限得到面積的精確值。

顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）abxyoxyo

問(wèn)題1：如何找出計(jì)算面積的方法。微積分的最大功績(jī)?cè)谟?，用干凈利索的方法解決了這一問(wèn)題，并用非常有效的方法解決了相當(dāng)復(fù)雜的圖形的面積的計(jì)算問(wèn)題。

觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．

顯然，分的越細(xì)，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n

個(gè)小段過(guò)的路程為

問(wèn)題2：當(dāng)速度v隨時(shí)間t而變化時(shí)：v=v(t)，如何求出物體在時(shí)間段[a,b]上運(yùn)動(dòng)的距離？3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:

解決問(wèn)題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限曲邊梯形的面積二、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱(chēng)此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱(chēng)

f(x)在[a,b]上可積

.記作積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和(1)定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即注意：（2）在定積分的定義中為什么極限過(guò)程是0

而不是n

?abxy0

只有0

，才能保證每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0從而小矩形的面積接近窄曲邊梯形的面積。

而分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n

則不能保證（如右圖）0xbay定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和幾何意義：物理意義：物體以變速v=v(t)作直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間段[a,b]上經(jīng)過(guò)的路程：介于

x

軸,直線x=a,x=b

及曲線y=

f(x)之間的各部分面積的代數(shù)和。其中，在x

軸上方的面積取正，下方的面積取負(fù)。定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為取注[注]

利用得兩端分別相加,得即思考x1y面積值為圓的面積的例2.

用定積分表示下列極限:解:三.定積分的近似計(jì)算根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:1.左矩形公式例12.右矩形公式推導(dǎo)3.梯形公式4.拋物線法公式拋物線法公式的推導(dǎo)上作拋物線(如圖)則以拋物線為頂?shù)男∏吿菪蚊娣e經(jīng)推導(dǎo)可得：例3.

用梯形公式和拋物線法公式解:計(jì)算yi(見(jiàn)右表)的近似值.ixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取n=10,計(jì)算時(shí)取5位小數(shù))用梯形公式得用拋物線法公式得積分準(zhǔn)確值為計(jì)算定積分四、定積分的性質(zhì)對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說(shuō)明

在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。矗憾ǚe分的上、下限互換時(shí)，定積分變號(hào)。證此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況性質(zhì)1性質(zhì)2證證:

當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn),于是性質(zhì)3當(dāng)a,b,c的相對(duì)位置任意時(shí),例如則有（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）性質(zhì)4性質(zhì)5.

若在[a,b]上則證:推論1.

若在[a,b]上則說(shuō)明：如果f(x)和g(x)在[a,b]上都連續(xù)，f(x)g(x)

,

則進(jìn)一步有例1：比較積分解：因?yàn)樵趨^(qū)間[1，2]上，和的大小。練習(xí)：1.比較積分和的大小。2。設(shè)則I,J,K的大小關(guān)系為2011數(shù)學(xué)一推論2.證:即說(shuō)明：

可積性是顯然的.性質(zhì)6(估值定理)則設(shè)證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）該性質(zhì)有明顯的幾何意義解例3.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即性質(zhì)7.

積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)6可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.說(shuō)明:

可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.

積分中值定理對(duì)因例4.

計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解:

已知自由落體速度為故所求平均速度解：由積分中值定理知有使內(nèi)容小結(jié)1.定積分的實(shí)質(zhì)—乘積和式的極限矩形公式梯形公式近似計(jì)算2.定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3.定積分的性質(zhì)

積分中值定理連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式（注意估值性質(zhì)、積分