《線(xiàn)性代數(shù)》相似矩陣與矩陣的對(duì)角化

4.2相似矩陣與矩陣的對(duì)角化

一、相似矩陣及其性質(zhì)二、n階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件1相似矩陣及其性質(zhì)

定義2

設(shè)A，B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得

P-1AP=B成立，則稱(chēng)矩陣A與B相似，記為A~B.相似關(guān)系是矩陣間的一種等價(jià)關(guān)系，滿(mǎn)足

自反性：

A~A

對(duì)稱(chēng)性：若A~B，則B~A

傳遞性：若A~B，B~C，則

A~C

定理1

如果矩陣A與B相似，則它們有相同的特征值.

證明：因?yàn)镻-1AP=B，A與B有相同的特征多項(xiàng)式，

|lE-B|=|P-1(lE)P

-P-1AP|=|lE-P-1AP|

=|P-1(lE-A)P|=|P-1||lE-A||P|=|lE-A|，

所以它們有相同的特征值.

定義2

設(shè)A，B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得

P-1AP=B成立，則稱(chēng)矩陣A與B相似，記為A~B.假如A與對(duì)角矩陣相似，對(duì)角矩陣對(duì)角線(xiàn)上的元素即A的特征值注：

有相同的特征多項(xiàng)式的方陣不一定相似.例：特征多項(xiàng)式均為(l-1)2,但不存在P-1EP=A.

相似矩陣還具有下述性質(zhì)：

(1)相似矩陣有相同的秩；

(2)相似矩陣的行列式相等；

(3)相似矩陣的跡相等；

定理1

如果矩陣A與B相似，則它們有相同的特征值.

(4)Am~Bm

,m為正整數(shù).解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|,

即

解：由于矩陣A和D相似，所以|A|=|D|,即

|A|=|D|＝12.

例1.

若矩陣相似，求x,y.解得例2.

設(shè)3階方陣A相似于,求|A|.

定理2

n階矩陣A與n階對(duì)角矩陣

L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要條件為矩陣A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.2

n階矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件

例如，矩陣A=有兩個(gè)不同的特征值l1=4,l2=-2,

1-5

1

1其對(duì)應(yīng)特征向量分別為x1=，x2=

.

1

1-5

1

取P=(x1,x2)=，則

1-5

1

1所以A與對(duì)角矩陣相似.

P-1AP-1

1-5-116=-—

5-1

3

1

1-5

1

1

0-2

4

0=，問(wèn)題：若取P=(x2,x1)，問(wèn)L=？稱(chēng)為A可對(duì)角化推論

若n階矩陣A有n個(gè)相異的特征值l1，l2，，ln，則A與對(duì)角矩陣

L=diag(l1,l2,,ln)相似.

注意

A有n個(gè)相異特征值只是A可化為對(duì)角矩陣的充分條件,而不是必要條件.且有Ax1=-2x1，Ax2=x2，Ax3=x3，向量組是A的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.所以當(dāng)P=(x1,x2,

x3)時(shí)，有

例如，A=，x1=，x2=，x3=，

4-3-3

6-6-5

0

1

0-1

1

1-2

0

1

0

1

0

P-1AP=diag(-2,1,1).A=

1

6

3

-3

-6

-5

3

4

3(1)解：(1)矩陣A的特征方程為l-1-6-3

3

6l+5

-3l-4

-3|lE

-

A|

矩陣A的特征值為

l1l2=-2,l34，

對(duì)于特征值l3=4，解線(xiàn)性方程組(4E-A)Xo，得其基礎(chǔ)解系x3=

.112

對(duì)于特征值l1l2=-2,解線(xiàn)性方程組(-2E-A)Xo，110-101得其基礎(chǔ)解系x1=,x2=.=(l+2)2(l-4)=0，(2)-1

1-4B=

1

0

3

0

2

0

例3.判斷下列矩陣是否相似于對(duì)角陣,若相似求可逆矩陣P，使P-1AP=L.

由于A有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量x1，x2，x3，所以A相似于對(duì)角陣L

.

所求的相似變換矩陣為

P=(x1，x2，x3)

=,

1

0

1

-1

1

0

1

2

1對(duì)角陣為L(zhǎng)=,

-2

0

0

0

0

-2

0

4

0滿(mǎn)足

P-1AP=L.A=

1

6

3

-3

-6

-5

3

4

3(1)(2)-1

1-4B=

1

0

3

0

2

0

例3.判斷下列矩陣是否相似于對(duì)角陣,若相似求可逆矩陣P，使P-1AP=L.l+1-1

4

-1

0l-3

0l-2

0|lE

-

B|=(l-2)(l-1)2=0，矩陣B的特征值為

l1l2=1,l32.

對(duì)于特征值l1l2=1,解線(xiàn)性方程組(E-B)Xo，得其基礎(chǔ)解系x1=

，12-1

對(duì)于特征值l3=2，解線(xiàn)性方程組(2E-B)Xo，得其基礎(chǔ)解系x2=

.001顯然，

B不能相似于對(duì)角陣.A=

1

6

3

-3

-6

-5

3

4

3(1)(2)-1

1-4B=

1

0

3

0

2

0

例3.判斷下列矩陣是否相似于對(duì)角陣,若相似求可逆矩陣P，使P-1AP=L.解：(2)矩陣B的特征方程為作業(yè)：

137頁(yè)5(1)

思考題：設(shè)問(wèn)x取何值時(shí)，矩陣A可對(duì)角化.解：矩陣的特征方程為

|lE-A|l+1-1

4-1

0l-3

0l-2

0=(l-2)(l-1)2=0，矩陣A的特征值為

l1l2=1，l32.對(duì)于特征值l1l21，解線(xiàn)性方程組(E-A)Xo，

例2.

求矩陣A=-1

1-4

1

0

3

0

2

0的特征值與特征向量.于是，A的對(duì)應(yīng)于l1l21的全部特征向量為得其基礎(chǔ)解系，12-1(c1不為0).-1

1-4

1

0

3

0

2

0(3)對(duì)于矩陣A=及特征值l1，解齊次線(xiàn)性方程組(lE-A)XO．因?yàn)樘卣骶仃嘐-A所以齊次線(xiàn)性方程組(E-A)XO的一般解為1+1-1

4-1

01-3

01-2

02-1

4-1

0-2

0-1

010

00

01

10

2，基礎(chǔ)解系為．12-1x1=-x3x2=-2x3

解：矩陣的特征方程為l+1-1

0=(l-2)(l-1)2=0，矩陣A的特征值為

l1l2=1，l32.對(duì)于特征值l32，解線(xiàn)性方程組(2E-A)Xo，

例2.

求矩陣A=-1

1-4

1

0

3

0

2

0的特征值與特征向量.于是，A的對(duì)應(yīng)于l32的全部特征向量為得其基礎(chǔ)解系，001

|lE-A|l+1-1

4-1

0l-3

0l-2

0(c2不為0).-1

1-4

1

0

3

0

2

0(4)對(duì)于矩陣A=及特征值l2，解齊次線(xiàn)性方程組(lE-A)XO．因?yàn)樘卣骶仃?E-A所以齊次線(xiàn)性方程組(2E-A)XO的一般解為2+1-1

4-1

02-3

02-2

03-1

4-1

0-1

0

0

010

00

01

00

0，基礎(chǔ)解系為．001x1=0x2=0為什么?有關(guān)特征值和特征向量特征值和特征向量的知識(shí)在物理學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用處很大，有時(shí)在求n階方陣的p次冪時(shí)也有用。比如

5-1

3

1

5-1

3

1

5-1

3

1特征值特征向量特征向量特征值有關(guān)特征值和特征向量

5-1

3

1

1-5

1

1

410

4

-2=

1-5

1

1

0-2

4

0=特征值

5-1

3

1

1-5

1

1

1-5

1

1-1=

0-2

4

0

1-5

1

1

1-5

1

1-1

0-2

4