量子力學2006年招收攻讀入學統(tǒng)一考試試題

中2006年招收中2006年招收攻院入學統(tǒng)一考試考生須知：

試題名稱：量子力學（甲）A???二、（共30分）粒子在勢場V(x)A|x|n (x,A0)中運動，試用不確定度證明費曼-海爾曼定理

En*()

( nr nr利用費曼-海爾曼定理，求氫原子各束縛態(tài)的平均動能（ En22n2 0x 0y四、（共30分）粒子在二維無限深方勢阱中運動，V

微擾Hxy后，求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能級的一級微擾修五、（30分）設粒子所處的外場均勻但與時間有關。即VV(t

將體系的含時薛定諤方程分離變量，求方程解(rt的一般形式，并取V(tV0cos(wt，以一維情況為例說明V(t的影響是什么試題名稱：2006量子力學（甲 第1頁共1考生須知：

參考答案：量子力學（甲）A??? ?2?????? 設B?，則得到20。所以1,0。因此有B 0 ?

? 設A 22

0，所以a, 0。ABA，所以a0 ? ei BAA，所以 1。因此推得A 二、（共30分）粒子在勢場V(x)A|x|n (x,A0)中運動，試用不確定度解：利用測關系xp

Ep2Axn 對x取最極?。篸

0，得x

E

n2

2

E

n22

2 其能量和本征函數(shù)分別記為En和n(r)。 n(r) n(r)dr利用費曼-海爾曼定理，求氫原子各束縛態(tài)的平均動能（提示：氫原子能級公 En22n2?(rE(rE*H?

n E * * * ndr ndrn n * *

。* 。n

nndrn E 所以

n

22

。由上題定理，取，易證T

H?

En22n2，所以T3n2，即T22n2En 0x 0y四、（共30分）粒子在二維無限深方勢阱中運動，V

微擾Hxy后，求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能級的一級微擾修正解：能級和能量的本函數(shù)為 nE122ma2n1n2n1,n21,2,n

2sinn1xsinn2y

)

第一激發(fā)態(tài)二重簡并，能級E(0),本征函(0)

2

,(0)

2

EE

a2 4 E(1)

a2

a210.13 五、（共30分）設粒子所處的外場均勻但與時間有關。即VV ，與坐標r將體系的含時薛定諤方程分離變量，求方程解(rt)的一般形式，并取V(t)V0cos(wt)，以一維情況為例說明V(t)的影響是什xtxft 2d 因為itxft2mdx2Vtxft，所2d2

lnftVt ittV故xAei2mx ftBe itV0sint若取V(t)

cost，那么ftBe itV0sint于是得到x,tNei2mxe Neikt(t))t1tVtdt中2006年招收中2006年招收攻院入學統(tǒng)一考試考生須知：

試題名稱：量子力學（甲）B??及不確定度x、p，并求出xp值。?? 進一步再證明U?可表示成U?eiH?H?8三、（共30分）一個質量為m的粒子被限制在0xa的一維無窮深勢阱中。初始時刻其歸一化波函數(shù)為(x,0) (1cosx)sinx，求8 在t0與t0時在勢阱的左半部發(fā)現(xiàn)粒子的概率是多少四、（30分）HV0(a|2xa|的a用。求第 個能級的一級近似，并分析所得結果的適用條件五、一個質量為m的粒子被限制在ra和rb的兩個不可的同心球面之間運動，試題名稱：2006量子力學（甲 第1頁共1考生須知：

參考答案：量子力學（甲）B??及不確定度x、p，并求出xp值。解：諧振子的定態(tài)為宇稱本征態(tài)，所以x? ?0Virial定理2V?2T?En ?2n1m

x?2

1

2

np

?2

m 2?212mn112 1

2 xpn

2?? ??因此A?2B?21，A?,B?0

B?nnn 22 所以可在0,2內找到實數(shù)n使ncos nsinn。于是有

?

H?nnn，則必有U?eiH?為幺正算8三、（共30分）一個質量為m的粒子被限制在0xa的一維無窮深勢阱中。初始時刻其歸一化波函數(shù)為(x,0) (1cosx)sinx，求8 在t0與t0時在勢阱的左半部發(fā)現(xiàn)粒子的概率是多少？

n本征波函數(shù)：(x)

2a

(0x (x0,x所以t0時(x,0) 4(x) 1(x)。t0時粒子的狀態(tài)波函數(shù)5 5(x,t) 4(x)eiEt 1(x)eiEt 5 58 2t 22t x expi cos expima2sin5a W0a2(x,0)2dx1160a

Wt (x,

dx a求第n個能級的一級近似，并分析所得結果的適用條件。(0)222a 2a波函數(shù)(0(x)

sinnx (0x。。 (x0,x 2 2 (0)*(x)H(0)(x)dxV n n2 11nEE(0)E(1) V

E0

1

0 n2 E0E

222n1

n22 五、一個質量為m的粒子被限制在ra和rb的兩個不可的同心球面之間運動，解波函數(shù)可設為，(r

R(r)Y(,R(ru(r)d

rl(l1)則u(r)滿足約化徑向方 r u(r)0 ra,r其中V(r ar

ar對于基態(tài)l0

u u r ru(r) ra,r其中k 。其通解為u(r)Asin(kr)，arbu 0得ka；由u 0得k

n1,2r r b2k 2n2

2En2m2m(ba)2n1,2E12m(ba)22b 又由歸一化條件R2(r)r2dru2(r)dr12b aa。R(x)

b 1sin(ba)(r ar 0ra,r又由

(,)

1，最后求得歸一化的總波函數(shù)為 1sin (ra) ar

(r)

2(b

0ra,r中國2006年招收攻讀入學統(tǒng)一考試試題考生須知：一、（共30分）粒子以能量E入射一維方勢壘。V(x)V0 0xa。設能 x0,xEV0，求透射系數(shù)T二、（共 0x分）2的粒子置于勢場V(x中，V(x

x0,x處狀態(tài)為(xs

5

1

2

，其中(x)為系統(tǒng)空間部分n 18

i? m2 2 r。加上 H?(1)(xyyzzx后，求第一激發(fā)態(tài)的一級能量五、（30分）1，電荷為零的粒子置于磁場中。t0 0B000,B0，粒子處于?z的本征值為1的本征態(tài)。設在t0 1B1B10,0)，求t0試題名稱：2006量子力學（乙 第1頁共1中國2006年招收攻讀入學統(tǒng)一考試試題考生須知：一、（共30分）粒子以能量E入射一維方勢壘。V(x)V0 0xa。設能 x0,xEV0，求透射系數(shù)T 2d 解：定態(tài)薛定諤方程為2mdx2VxxEx 其解為x

expikxB x CexpikxCexpikx D x其中k22mE k22mEV0。由波函數(shù)x及其一階導數(shù)在x0,xa處

D 4kkexpikk kk2kk2Tj＝kD

kDm.4k. k2k2sin2ka4k二、（

0x分）2的粒子置于勢場V(x中，V(x)

x0,x處狀態(tài)為(xs

5

1

2

，其中(x)為系統(tǒng)空間部分的第n

i解：可驗證x,sz已經(jīng)歸一化。能量的E3E5，相應的取值概率WEnWE

5WE4 解：諧振子基態(tài)為宇稱本征態(tài)，x??0， ?2p2 1 ，得H? m2 2p?取極值條件H?0，得p2m由

代入H?得到基態(tài)能量的估計值為H? 1 ? m2四 （共30分）各向同性的三維諧振子哈密頓算符為 2 r。 上微擾H?(1)(xyyzzx)后，求第一激發(fā)態(tài)的一級能量修正解：已知H?(0)的本征 3E(0)

nnn

2 2 (0)x,y,z

nyn

z n,n,n,

0,12,

5 ，存在三重簡并，

212(0)x,y,zxyz1(01)x,y,z1x0y0z 1在簡并子空間中，能量的一級修正E(1)滿足的久期方程11 11 11 1

(a E(1)2a2 五 0B00,0,B0，粒子處于?z的本征值為1的本征態(tài)。設在t0 1B1(B10,0)，求t0時的波函數(shù)，以及測到自旋反轉的概率解法一：精確解 ；E 1； 2201 0 其中B B2201E,

0 10將t0

(0)011

1

2在t0

1

0(t eiteit 1sin cost t滿足歸一化條件，因此在t0時刻，測到粒子自旋反轉的W

)i1sint

2sint 解法二：近似0

0粒子處于本征態(tài)

EB1 H的作用下，粒子由躍遷到態(tài)（相應的能量本征值為 1 011 i 00

He HH?B1

B11 1EE i sin2

sin2t1

e

20

W(sz 1sin0t0

中國2006年招收攻讀入學統(tǒng)一考試試題考生須知：一、（共30分）粒子以能量E入射方勢壘。V(x)V0 0xa。設能量EV x0,x 求透射系數(shù)T二、（30分）粒子在一維對稱無限深方勢阱（axa）中運動。設t012 12所處狀態(tài)為(xt0)t0概率密度|(xt)|2

1(x)2(x)，其中n(x)為系統(tǒng)第n個能量本征態(tài) 1R(r)Y( 2 三、（共30分）設氫原子所處狀態(tài)為(r,,,sz) R(r)Y(,) 求總磁矩 e?e?的z分量的平均值 四、（30分）對于一維諧振子的基態(tài)，求坐標和動量的不確定度的乘積xp五、（共30 H?J??，其中?和?分兩個自旋為非全同粒子自旋間相互作用 212的自旋算符。設t0z試題名稱：2006量子力學（乙 第1頁共1中國2006年招收攻讀入學統(tǒng)一考試試題考生須知：一、（共30分）粒子以能量E入射方勢壘。V(x)V0 0xa。設能量EV求透射系數(shù)T 2d

x0,x 解：定態(tài)薛定諤方程為2mdx2VxxEx， expikxB xxCexpikxC 0x D x其中k22mE k22mV0E。由波函數(shù)x及其一階導數(shù)在x0,xa處 Dexpika 2ik 1kk2shka22ikkch Tj透＝kD D .4k. k2k2sh2ka4k二、（30分）粒子在一維對稱無限深方勢阱（axa）中運動。設t0 12所處狀態(tài)為(xt0)12t0概率密度|(xt)|2

1(x)2(x)，其中n(x)為系統(tǒng)第n個能量本征態(tài)2aE22 cos 2a 2aE4E 2a t0時波函數(shù)為(xt)1(x)ei1t(x)ei2t2 1概率密度為(xt212(x2(x2(x)(xcos()t1

E

1222 1R(r)Y( 三、（共30分）設氫原子所處狀態(tài)為(r,,,s) 2 R(r)Y( 求軌道角

求總磁

S 2

RY RY 1 0221111 21101 1 0 1 1

的可取值為,0；相應的概率為1,3 。平均值為zs?

,

4 z

4 eL?es?e z 四、（30分）對于一維諧振子的基態(tài)，求坐標和動量的不確定度的乘積xp ?解：諧振子定態(tài)為宇稱本征態(tài)，x??0。諧振子動能T ，勢V(x1m2x2。根據(jù)維里定理有T?V?。因此2 m1m1

m22 2 1

? 112

和12的自旋算符。設t0z的自旋z軸負sst0s，測到粒2的自旋仍z軸負方向的概HJs1s2 s1s2解： J2

?2，其中? EJ2 11,1,EJ2 EJ2

21,131,0

,12,,1E3J2

40,0

212將t0時的波函數(shù)按|i展開得|(0) 12|(t)

1,,exp

iJt

,,

2

W(s2

,t)2

,(t)2

,

2cos2Jt2 !C 200678 <=?,?? (?? ???[? [???N V(x)= V(x) 0,0<x,y< = , F- #F- ? V=V(x,t)------------- >- P3007.14,?2????????(1???)a

$ n=0,[AB,C]=A[B,C]+?[A,!?,?][???,?]??[?,?]+[?,?]???,[?,??][??,??]??[?,??]+[????]???#

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b?b1b?b2 [b1,b?]= [b2,b?]=

=12=12

cosθ+a2sincosθ?a1sin2 2/45

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1 E～(Δp)2+A(Δx)n + (Δx1 p= x= .#=#=

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