剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)第一頁，共三十頁，2022年，8月28日§11.1歐拉角歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程一.歐拉角固定坐標(biāo)系:固定在剛體上的動(dòng)坐標(biāo)系:.確定z軸的位置:第二頁，共三十頁，2022年，8月28日第三頁，共三十頁，2022年，8月28日進(jìn)動(dòng)章動(dòng)第四頁，共三十頁，2022年，8月28日二.歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程動(dòng)系中:第五頁，共三十頁，2022年，8月28日------歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程§11.2剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量和動(dòng)能慣量張量本節(jié)介紹剛體作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能的計(jì)算。第六頁，共三十頁，2022年，8月28日一.剛體做定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量的計(jì)算可知一般與不共線,只在某些特殊方向上∥試推導(dǎo)上式分量形式:第七頁，共三十頁，2022年，8月28日令:剛體對(duì)x軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)y軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)z軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第八頁，共三十頁，2022年，8月28日及:慣量積則:(11.2.6’)第九頁，共三十頁，2022年，8月28日現(xiàn)對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行分析：1）慣性系數(shù)決定于剛體質(zhì)量對(duì)坐標(biāo)系的分布。慣性系數(shù)也可用積分形式代替（11.2.6’）式；

慣量系數(shù)是點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù),所以用靜止的坐標(biāo)系時(shí),剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),慣量系數(shù)隨之而變.通常選取固著在剛體上、并隨著剛體一同轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系,這樣,慣量系數(shù)都是常數(shù)．第十頁，共三十頁，2022年，8月28日張量I也可寫成并矢形式：二.慣量張量慣量張量是用來描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性的物理量；而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性的物理量。（11.2.6’）式用矩陣表示:線性變換關(guān)系稱為仿射變換第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日三.慣量主軸使剛體對(duì)固定點(diǎn)的慣量張量中所有慣量積為零的坐標(biāo)系為該點(diǎn)（O點(diǎn)）的主軸坐標(biāo)系。第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日若剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度沿一主軸方向，則角動(dòng)量為如何尋找慣量主軸呢？1）對(duì)均勻?qū)ΨQ的剛體，其對(duì)稱軸是軸上各點(diǎn)的慣量主軸。分析：某軸(設(shè)x軸)要為固定O點(diǎn)的慣量主軸的必要條件.設(shè)剛體以角速度繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng),則,根據(jù)第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日若對(duì)稱軸為X軸，剛體上有2）剛體的對(duì)稱面的法線，也是該法線所在軸上各點(diǎn)的慣量主軸證明：第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日3）坐標(biāo)系的兩個(gè)軸是慣量主軸，則第三個(gè)軸也是主軸，此坐標(biāo)系是主軸坐標(biāo)系。4）以勻質(zhì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱剛體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸（剛體繞此軸轉(zhuǎn)過任意角度都對(duì)稱）為一軸的坐標(biāo)系是主軸坐標(biāo)系。第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日四.剛體做定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能把式代入上式得主軸坐標(biāo)系上動(dòng)能表達(dá)式:第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日其中I為剛體對(duì)瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.五.慣量橢球研究剛體對(duì)過定點(diǎn)的一個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式.以剛體固定點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxyz坐標(biāo)系，過O點(diǎn)的l軸方向余弦為第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日考慮到----------------------如已知固定點(diǎn)的慣量張量,則可得過此點(diǎn)的任何軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日我們從幾何圖象來描述轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨軸方向分布的情況.在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上取一長為R的線段OP,令則P點(diǎn)的坐標(biāo)將是代入式得P點(diǎn)的軌跡是:--------橢球面,反映了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的分布情況,又稱慣量橢球.第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日幾點(diǎn)說明:1)對(duì)剛體不同固定點(diǎn),有不同的慣量橢球,它屬于剛體中某一點(diǎn).2)慣量橢球的3個(gè)對(duì)稱軸是固定點(diǎn)的3個(gè)互相垂直的主軸,若,則慣量橢球是個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球;如,則慣量橢球?yàn)閳A球.3)利用慣量橢球可知?jiǎng)傮w對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量L的方向是沿過橢球面角速度矢量與慣量橢球相交點(diǎn)P點(diǎn)的法線方向上.(證明見書P303)第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日例題1:一勻質(zhì)薄圓盤能繞其中心O點(diǎn)做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),其質(zhì)量為m,半徑為R,已知英雄模范瞬時(shí)圓盤繞壺中心與盤面成角的軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng),試求此時(shí)圓盤對(duì)中心的角動(dòng)量和圓盤的動(dòng)能,以及圓盤對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:建立過O點(diǎn)的主軸坐標(biāo)系,依題意有:圓盤對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為:第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日?qǐng)A盤的動(dòng)能為:第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日§11.3歐拉動(dòng)力學(xué)方程一.歐拉動(dòng)力學(xué)方程我們采用剛體固定點(diǎn)的主軸坐標(biāo)系Oxyz,并與剛體固連,則剛體對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量為:采用動(dòng)坐標(biāo)系，角動(dòng)量定理為：第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日所以（11.3.2)式的投影方程為:——?dú)W勒動(dòng)力學(xué)方程思考為何這里采用動(dòng)坐標(biāo)系,沒考慮慣性力?第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日結(jié)合歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來求解剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題,但這兩個(gè)方程組求解困難,到目前為止,只有在下列三種情況才得到解析解.歐勒—潘索情況:剛體不受外力矩作用的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng).第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日2.拉格朗日—泊松情況:即陀螺在重力場中的運(yùn)動(dòng)，要求對(duì)固定點(diǎn)O所作的慣量橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球,亦即3個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中有兩個(gè)相等，Ix=Iy,重心則位于動(dòng)力對(duì)稱軸上但不與固定點(diǎn)重合.回轉(zhuǎn)儀.3.C.B.柯凡律夫斯卡雅情況:在這一情況下，Ix＝Iy＝2Iz,而重心則在Oxy平面上.這也是一種對(duì)稱陀螺.二.直接用角動(dòng)量定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理外理比較簡單的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題已知?jiǎng)傮w的運(yùn)動(dòng)，求作用在剛體上的約束力。第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日例1

一個(gè)均質(zhì)圓盤,由于安裝不善,渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸與盤面法線成交角.圓盤質(zhì)量為m,半徑r,中心O在轉(zhuǎn)軸上,O至兩軸承A與B的距離均為a.設(shè)軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng),試求軸承上的壓力解：以圓盤和轉(zhuǎn)軸為系統(tǒng)，建立圓盤中心O點(diǎn)的主軸坐標(biāo)系；為分解約束力再建對(duì)Z軸角動(dòng)量知，第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日?qǐng)A盤對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為上式在X，Y方向的投影為：第二十八頁，共三十頁，2022年，8月28日質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理為：由（4）-（7）得：由上式可知，當(dāng)高速運(yùn)轉(zhuǎn)部件安裝不善造成對(duì)軸承的動(dòng)壓力危害很大，因而要求高速運(yùn)轉(zhuǎn)部件安裝精度高，另外可通過動(dòng)