第三章最佳線性濾波器

第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應用最佳線性濾波概述最優(yōu)估計：在許多實際問題中，需要研究隨時間變化的隨機變量或隨機矢量的估計問題，即：按照某種最優(yōu)準則對隨時間變化的隨機變量或隨機矢量作出估計。

——在信息與通信工程領域常稱為“波形估計”；

——在控制科學與工程領域常稱為“狀態(tài)估計”。最優(yōu)準則：包括最大后驗準則、最大似然準則、均方準則、線性均方準則等。最佳線性濾波器采用線性均方準則，通常稱為“最小均方誤差（LMS）”和“最小二乘（LS）”準則。統(tǒng)計均方意義下的準則，要求輸入為隨機過程（序列），通常假定“平穩(wěn)”和“各態(tài)歷經(jīng)”。最佳線性濾波器結構LTI(h(n))+第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應用………+-+++Toeplitz對稱陣觀測信號為：，試中是方差為0.45的零均值白噪聲，它與s(n）統(tǒng)計獨立。設計一個長為N=3的FIR濾波器來處理x(n)，使得其輸出與s(n)的差的均方值最小。例：設信號s(n)的自相關序列為：解：解：試設計一個長為N=4的FIR濾波器對x(n)進行濾波得到，使得例：在測試某正弦信號的過程中疊加有零均值、方差的白噪聲，即測試結果為：它與的誤差的均方值最小。求該濾波器的沖激響應并估計誤差平均功率（與不相關）。Wiener-Hopf方程：雙邊Z變換在z域有最佳系統(tǒng)傳輸函數(shù)：Wiener-Hopf方程：因i取值范圍的原因，直接求解求hopt(i)非常困難。為此，令：輸入一般情況，x(n)不為白噪聲，需經(jīng)兩步獲得因果IIR傳輸函數(shù)：（1）利用譜分解得到（2）由將因果IIR濾波器看成兩部分級聯(lián)白化濾波器白噪聲最小相位LTI系統(tǒng)兩端進行Z變換得：歸納起來，因果IIR維納濾波器設計步驟：例：觀測信號，式中是零均值、方差為1的白噪聲。期望信號s(n)是一個AR(1)過程：式中是零均值、方差的白噪聲。期望信號s(n)與噪聲不相關，噪聲與不相關。試設計一因果IIR維納濾波器對觀測信號進行濾波，并求的估計。解：期望信號s(n)的功率譜為AR功率譜，即：第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應用Wiener濾波器為最佳線性濾波，對應最小均方誤差：(1).對IIR維納濾波器均方誤差的z域計算1.誤差性能(2).FIR維納濾波器均方誤差的時域計算舉例：在上例中，F(xiàn)IR維納濾波器的時域計算以非因果IIR線性濾波器為例，可分析和說明Wiener濾波器實現(xiàn)了最佳的線性濾波：2.實現(xiàn)問題問題一：實現(xiàn)精確度。Wiener濾波器最優(yōu)權系數(shù)需要由輸入信號的自相關函數(shù)矩陣以及輸入信號與期望輸出的互相關函數(shù)矩陣進行計算。實際中，這兩個參數(shù)是未知的，需要通過估計得到，而一致性估計需要觀測無限長信號；問題二：計算復雜度。求最優(yōu)濾波器單位脈沖響應時需要矩陣求逆，其計算復雜度量級是濾波器長度的三次方。解決辦法：改進算法。由于存在這些問題，實際實現(xiàn)Wiener濾波時，并不是直接計算得到最優(yōu)Wiener濾波器的抽頭系數(shù)，而是代之以LMS,RLS,Kalman等自適應濾波器。Kalman濾波器的主要特點：Kalman濾波是Wiener濾波的發(fā)展,它最早用于隨機過程的參數(shù)估計,并在各種最佳濾波器和最佳控制中獲得極其廣泛的應用。其主要特點是：

(1)采用遞推算法結構。

(2)具有RLS類自適應濾波器的框架。

(3)具有標量型和矢量型兩種結構，由標量型地推算法可直接寫出矢量型算法的矩陣形式。第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應用高通(HP)低通(LP)第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應用請推導n0010.50.50.5x(1)20.680.4050.4050.405x(2)+0.238x(1)70.60.3750.3750.375x(7)+0.1875x(6)+......與本PPT

P31結果一致。即：Wiener濾波輸出是Kalman濾波的穩(wěn)態(tài)解。標量矩陣標量型矢量型第