內(nèi)生性工具變量與估計(jì)

內(nèi)生性工具變量與估計(jì)第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日§8.1外生性與常見的內(nèi)生性問題一、外生性假設(shè)與內(nèi)生性問題二、常見的內(nèi)生性第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、外生性假設(shè)與內(nèi)生性問題線性回歸模型中一個重要的假設(shè)是“嚴(yán)格外生性”：

E(|X)=0

嚴(yán)格外生性（strictlyexogeneity)的含義是：各期的解釋變量Xt獨(dú)立于所有期的隨機(jī)擾動項(xiàng)t

。

在嚴(yán)格外生性與球型假設(shè)下，OLS估計(jì)量是BLUE。這兩大假設(shè)也稱為Yt或t是獨(dú)立同分布的（iid）。

對模型

Yt=0+1Xt1+…+kXtk+t

或Yt=Xt’+t

或

Y=X

+1、外生性與OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日

如果X的嚴(yán)格外生性不滿足，則需假設(shè)Xt與t的同期無關(guān)性(contemporaneouslyuncorrelated)：

E(t|Xt)=0

且t~iid(0,2)

E(t|Xt)=0稱為解釋變量與隨機(jī)擾動項(xiàng)同期無關(guān)?；蚍QXt為外生的(exogenous)，否則，稱為同期相關(guān)或內(nèi)生的(endogenous)XX=

Plim(X’X/n)=E(XtXt’)第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日2、出現(xiàn)同期相關(guān)OLS估計(jì)的后果Question:Whatwillhappenif

E(t|Xt)=0

fails?

于是：Plim(b1)=1+Cov(Xt,t)/Var(Xt)1

假設(shè)有一元模型Yt=0+1Xt+t出現(xiàn)Xt與t的同期相關(guān)性：Cov(Xt,t)=E(Xtt)0后果：OLS估計(jì)量不一致，（當(dāng)然也是有偏的）。將原模型Yt代入上式得:第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

對多元模型

Yt=Xt’+t

或

Y=X

+小樣本下：E(b|X)=

+(X’X)-1X’E(|X)

+0=在X內(nèi)生的情況下：OLS估計(jì)量有偏且不一致第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日

假設(shè)模型為Yt=0+1Xt+2Yt-1+t=Xt*’+t其中Xt*=[1,Xt,Yt-1]’，t=t-1+vt

二、幾種常見的同期相關(guān)/內(nèi)生的情形E(Yt-1t-1)0

情形1:隨機(jī)擾動項(xiàng)自相關(guān)且模型含滯后被解釋變量注意：（1）如果t不存在自相關(guān)，則E(Xt*t)=0，但有E(Xt+1*t)0，即不存在同期相關(guān)，只存在異期相關(guān)。

問題：如果t只存在2階自相關(guān)，情形會如何？第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日情形2：存在遺漏變量，且遺漏變量與解釋變量相關(guān)

如，當(dāng)設(shè)定如下工資方程時：

lnWaget=0+1educt+ut一個重要的影響因素“能力”被遺漏了，而“能力”與“受教育程度”往往有較強(qiáng)的相關(guān)性。

假設(shè)模型為Yt=0+1Xt1+2Yt-1+t=Xt*’+t但t中包含了一個與Xt1同期相關(guān)另一變量X2t：t=Xt2+ut這時，X1的嚴(yán)格外生性不滿足，它與t的同期不相關(guān)性也不滿足。第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日情形3：存在測量誤差

假設(shè)模型Yt=0+1Xt+t

假設(shè)收集不到Xt的精確觀測值，收集到的Xt*包含了測量誤差vt：Xt*=Xt+vt

由于實(shí)際估計(jì)的是如下可觀測變量的回歸模型：

Yt=0+1Xt*+ut于是:ut=Yt-0-1Xt*=[0+1Xt+t]-0-1(Xt+vt)=t-1vt

E(Xt*ut)=E(Xt+vt)ut]=E(Xtut)+E(vtut)=E(Xtt)-1E(Xtvt)+E(tvt)-1E(vt2)=-1v20問題：如果X可觀測，而Y不可觀測，情況如何？第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日

情形4.聯(lián)立方程偏誤

設(shè)有如下簡單的Keynsian模型

Ct=0+1Yt+tYt=Ct+It其中，Yt、Ct、It分別表示國民收入、消費(fèi)與投資。Ct、Yt也稱為模型的內(nèi)生變量(endogenousvariables)，It稱為外生變量(exogenousvariable)。則：

E(Ytt)=E[(Ct+It)t]=E(Ctt)+E(Itt)=E(Ctt)0事實(shí)上，E(Ytt)=E[(0+1Yt+t)t]=1E(Ytt)+E(t2)

從而：Cov(Yt,t)=

E(Ytt)=2/(1-1)0第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日§8.2矩估計(jì)與工具變量法一、矩估計(jì)二、矩估計(jì)中的工具變量法三、工具變量法的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)四、弱工具變量帶來的估計(jì)偏誤第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日

內(nèi)生性的核心問題是E(t|Xt)

0，而工具變量法則是尋找一組工具變量Z，滿足E(t|Zt)=

0，并按矩估計(jì)的思想來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的。一、矩估計(jì)

1、矩估計(jì)(MethodofMoment,MM)

矩估計(jì)是一種類比方法，該方法從總體具有的某些固有的特征(總體矩)出發(fā)，認(rèn)為如果樣本是從某總體中抽出的，則樣本也應(yīng)具有類似的特征（樣本矩），從而通過計(jì)算樣本的相關(guān)特征，尋找總體參數(shù)的估計(jì)。第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例：對于總體均值，=E(X)，這時g(X)=X

對于總體方差，2=E(X-)2，這時g(X)=(X-)2總體均值稱為總體的1階原點(diǎn)矩，總體方差稱為總體的2階中心矩。

總體矩M可以簡單地定義為一隨機(jī)變量X的某個連續(xù)函數(shù)g的數(shù)學(xué)期望：

M=E[g(X)]

根據(jù)類比法的原理，可以用樣本矩(或樣本矩函數(shù))來估計(jì)總體矩(或總體矩函數(shù)），而且，樣本矩在大樣本下往往具有一致性。這一類比法也稱為矩法。第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日

矩法可用于估計(jì)總體的參數(shù)

例1.設(shè){Xi}是從某一服從指數(shù)分布的總體

f(X,)=exp(-X)，X>0中抽出的。

由于指數(shù)分布的均值為：M1=()=E(X)=1/第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日

2、OLS作為一個矩問題

對模型Y=X+假設(shè)模型的設(shè)定是正確的，則有E(X’)=0，從而有矩條件：M()=E[X’(Y-X)]=0

根據(jù)矩法（類比法），相應(yīng)的樣本矩為：

m()=(1/n)X’(Y-Xb)問題歸結(jié)為，尋找適當(dāng)?shù)腷，使得m(b)=0或：(1/n)X’(Y-Xb)=0

解為：b=(X’X)-1X’Y線性模型的OLS估計(jì)可以看成是矩估計(jì)。第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

二、矩估計(jì)中的工具變量(IV)法

假設(shè)有如下模型：Yt=Xt1’1

+Xt22+t其中：X2為單一變量，X1為包括截距項(xiàng)的k維行向量

2、1為對應(yīng)的參數(shù)變量與參數(shù)向量。

如果模型設(shè)定正確，則有如下總體矩條件

E(Xt1t)=0,E(Xt2t)=0

(1/n)Xt1(Yt-Xt1’b1-Xt2b2)

=0

(1/n)Xt2(Yt-Xt1’b1-Xt2b2)=0第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日

(1/n)Xt1(Yt-Xt1’b1-Xt2b2)

=0

(1/n)Xt2(Yt-Xt1’b1-Xt2b2)=0正規(guī)方程組

如果缺少矩條件，如E(Xt2t)0，則上述正規(guī)方程組最后一個方程不存在，則無法求解。第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日

這時，如果能尋找一工具變量Z2，滿足Cov(Zt2,

t)=E(Zt2t)=0，Cov(Zt2,Xt2)0。使得原模型的矩條件變?yōu)?/p>

E(Xt1t)=0,E(Zt2t)=0

bIV=(ZtXt’)-1ZtYt=(Z’X)-1(Z’Y)

(1/n)Xt1(Yt–Xt1’b1,IV

–Xt2b2,IV)

=0

(1/n)Zt2(Yt–Xt1’b1,IV

–Xt2b2,IV)=0

相應(yīng)的樣本矩方程組為第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日

假設(shè)有一元模型Yt=0+1Xt+t出現(xiàn)Xt與t的同期相關(guān)性：Cov(Xt,t)=E(Xtt)0例：一元回歸例

這時，尋找一工具變量Z，滿足Cov(Zt,t)=E(Ztt)=0，Cov(Zt,Xt)0。使得原模型的矩條件變?yōu)?/p>

E(Ztt)=0

相應(yīng)的樣本矩方程組為

(1/n)(Yt–b0,IV–Xtb1,IV)

=0（對應(yīng)E(t)=0)(1/n)Zt(Yt–b0,IV–Xtb1,IV)=0(對應(yīng)E(Ztt)=0)解得：第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日

對于矩陣形式：Y=X+如果E(X’)0,（假設(shè)Xk與隨機(jī)項(xiàng)相關(guān))，用工具變量Z替代X(如用Zk替代Xk)：

由于Z與X的列相同L=K，Z’X滿秩，解為：

bIV=(Z’X)-1Z’Y

則相應(yīng)的樣本矩條件為：(1/n)Z’(Y-Xb)=0或Z’Xb=Z’Y得到總體矩條件E(Z’)=0

注意：工具變量矩陣中所含的模型已有的外生解釋變量可看成自己的工具變量。第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日

工具的選擇

在單方程的估計(jì)中，工具變量的尋找較困難。這時，對時間序列模型，可用隨機(jī)解釋變量的滯后期變量作為工具變量。理論上，Z中保留了X中所有被認(rèn)為是外生的且與隨機(jī)擾動項(xiàng)無關(guān)的變量，而那些內(nèi)生的與隨機(jī)擾動項(xiàng)相關(guān)的變量被工具(變量)所取代。C的估計(jì)可用外生變量I作為Y的工具變量，1仍是1的工具變量，這時Z=(1I)，于是第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、工具變量(IV)法的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

一元模型Yt=0+1Xt+t出現(xiàn)Xt與t的同期相關(guān)性：Cov(Xt,t)=E(Xtt)0

這時，尋找一工具變量Z，滿足Cov(Zt,t)=0，Cov(Zt,Xt)0于是：注意：在小樣本下，工具變量法估計(jì)量仍是有偏的：

1、一致性第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日

對于矩陣形式：Y=X+如果E(X’)0,

用工具變量Z替代X，有總體矩條件E(Z’)=0

解為：

bIV=(Z’X)-1Z’Y

注意：這里要求工具變量與解釋變量間的關(guān)滿足：

Plim(Z’X/n)=E(ZtXt’)=zx是一滿秩有限矩陣第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日

Proof:

由于bIV

=+(Z’X)-1Z’或b-=(Z’X)-1Z’另一方面，由于E[Ztt]=0，由中心極限定理：而

Var(Ztt)=E(t2ZtZt’)=E[E(t2ZtZt’|Zt)]=E[ZtZt’E(t2

|Zt)]=2E(ZtZt’)=2ZZ2、漸近正態(tài)性第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日3、IV估計(jì)量不具有漸近有效性

Z的不同取法，都可得到參數(shù)的一致估計(jì)，但漸近方差不同。當(dāng)取Z=X時，bIV具有最小的漸近方差。由于

2(ZX)-1

ZZ(ZX’)-1

=2plim(n-1Z’X)-1(n-1Z’Z)(n-1X’Z)-1=2plim[n-1X’Z(Z’Z)-1Z’X]-1

=2plim[n-1X’PZX)]-1（*）如果，Z=X，則（*）退化為

2plim[n-1X’X(X’X)-1X’X]-1

=2plim[n-1X’X)]-1（**）第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日于是：X’X-X’PZX=X’MZX=(MZX)’(MZX)=半正定矩陣

下面證明2(XX)-1=2plim(n-1X’X)-1是最小的漸近方差。

對任意可行的Z，相應(yīng)的bIV的漸近方差為

(1/n)2plim[n-1X’Z(Z’Z)-1Z’X]-1=(1/n)2plim[n-1X’PZX)]-1這也簡接證明了第4章中曾指出的如下一類估計(jì)量的漸近有效性

只需證明，對任意n>N，X’X與其他估計(jì)的方差之差為半正定矩陣。gj(X)=Zj時，即為IV估計(jì)gj(X)=Xj時，即為OLS估計(jì)第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日4、弱工具變量帶來的估計(jì)偏誤

工具變量Z要求：（1）與隨機(jī)擾動項(xiàng)不相關(guān)，（2）與解釋變量X高度相關(guān)

但在應(yīng)用研究中，這樣的工具變量Z很難找到：一般找到的工具變量往往是：（1）與隨機(jī)擾動項(xiàng)有輕度相關(guān)，（2）與解釋變量X也是輕度相關(guān)當(dāng)工具變量Z與解釋變量有輕度相關(guān)性時，稱之為弱工具變量(weakIV)。

在弱工具變量情形下，IV估計(jì)可能會帶來比OLS估計(jì)量更嚴(yán)重的不一致性第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日

對一元模型Yt=0+1Xt+t出現(xiàn)Xt與t的同期相關(guān)性時：Cov(Xt,t)=E(Xtt)0

采用工具變量Z得到：因此，盡管Corr(Z,

)較小，而Corr(Z,X)更小時，可能出現(xiàn)

Corr(Z,)

/Corr(Z,X)>Cor