2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（藝考）第01講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 高頻考點（解析版）

文檔來源網(wǎng)絡(luò)僅供參考侵權(quán)刪除第01講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用題型二：分步乘法計數(shù)原理題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用角度1：與數(shù)字有關(guān)的問題角度2：與幾何有關(guān)的問題角度3：涂色問題第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.

知識點二：分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.知識點三：分類加法計數(shù)原理和分布乘法計數(shù)原理推廣（1）完成一件事有類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,……,在第類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）完成一件事需要個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……,做第步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·全國·高二單元測試）若一個、均為非負整數(shù)的有序數(shù)對，在做的加法時，各位均不進位，則稱為“簡單的有序?qū)崝?shù)對”，稱為有序?qū)崝?shù)對之值，則值為2004的“簡單的有序?qū)崝?shù)對”的個數(shù)是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【詳解】因為在做的加法時，各位均不進位則稱為“簡單的有序?qū)崝?shù)”，稱為有序?qū)崝?shù)對之值，其中m、n均為非負整數(shù)，所以值為2004的“簡單的有序?qū)崝?shù)對”可能為(0，2004)，(1，2003)，(2，2002)，(3，2001)，(4，2000)；(2004，0)，(2003，1)，(2002，2)，(2001，3)，(2000，4)；(1000，1004)，(1001，1003)，(1002，1002)；(1003，1001)，(1004，1000)共15種.故選：B.例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了11個接種點，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設(shè)立了19個接種點．某市民為了在同一接種點順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點的選法共有（

）A．11種 B．19種 C．30種 D．209種【答案】C【詳解】該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點，所以共有種不同接種點的選法．故選：C．例題3．（2022·吉林油田第十一中學(xué)高二期末）書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有__________種.【答案】9【詳解】解：由題意，若從第一層取書，則有4種不同的取法，若從第二層取書，則有3種不同的取法，若從第三次取書，則有2種不同的取法，所以不同的取法有種.故答案為：9.同類題型歸類練1．（2022·廣東清遠·高二期末）從甲地出發(fā)前往乙地，一天中有4趟汽車、3趟火車和1趟航班可供選擇．某人某天要從甲地出發(fā)，去乙地旅游，則所有不同走法的種數(shù)是（

）A．16 B．15 C．12 D．8【答案】D【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可知共有4＋3＋1＝8種不同的走法．故選：D.2．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三期中）某校安排5名同學(xué)去A，B，C，D四個愛國主義教育基地學(xué)習(xí)，每人去一個基地，每個基地至少安排一人，則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．240【答案】C【詳解】當(dāng)基地只有甲同學(xué)在時，那么總的排法是種；當(dāng)A基地有甲同學(xué)還有另外一個同學(xué)也在時，那么總的排法是種；則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為種.故選：C3．（2022·湖北·武漢市武鋼三中高三階段練習(xí)）某校舉行科技文化藝術(shù)節(jié)活動，學(xué)生會準備安排6名同學(xué)到兩個不同社團開展活動，要求每個社團至少安排兩人，其中，兩人不能分在同一個社團，則不同的安排方案數(shù)是（

）A．56 B．28 C．24 D．12【答案】B【詳解】設(shè)兩個社團為甲社團和乙社團，當(dāng)A在甲社團B在乙社團時，甲社團有2人有種方案，甲社團有3人有種方案，甲社團有4人有種方案，共種方案；當(dāng)B在甲社團A在乙社團時，同理也有14種方案；所以不同的安排方案數(shù)是14+14=28.故選：B題型二：分步乘法計數(shù)原理典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，用不同的五種顏色分別為，，，，五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（

）A．500種 B．520種 C．540種 D．560種【答案】C【詳解】先涂A，則A有5種涂法，再涂B，因為B與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即可，有4種涂法同理C有3種涂法，D有3種涂法，E有3種涂法由分步乘法計數(shù)原理可知，復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有為5×4×3×3×3＝540故選：C.例題2．（2022·四川·成都市第二十中學(xué)校高三期中）將3名醫(yī)護人員，6名志愿者分成3個小組，分別安排到甲、乙、丙三個新增便民核酸采樣點參加核酸檢測相關(guān)工作，每個小組由1名醫(yī)護人員和2名志愿者組成，則不同的安排方案共有（

）A．90種 B．540種 C．1620種 D．3240種【答案】B【詳解】第一步，醫(yī)護人員的安排方案有種，第二步，志愿者的安排方案有種，∴不同的安排方案共有種，故選：B例題3．（2022·河北邢臺·高二階段練習(xí)）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種，用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味，相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人．”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”．如44，585，2662等；那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成3位“回文數(shù)”的個數(shù)為（

）A．30 B．36 C．360 D．1296【答案】B【詳解】由題意，第一步選擇第一位數(shù)，有種方法，第二步選擇第二位數(shù)，有種方法，利用分步計數(shù)原理，共有種．故選：B.例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．【答案】【詳解】原來個節(jié)目，形成個空位，安排一位老校友；個節(jié)目，形成個空位，安排一位老校友；個節(jié)目，形成個空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有種.故答案為：例題5．（2022·上海徐匯·高二期末）將展開后有______項．【答案】24【詳解】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，展開后的項數(shù)為：項．故答案為：24．同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某學(xué)校開設(shè)了籃球、書法、美術(shù)、吉他、舞蹈、擊劍共六門活動課程，甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門活動課程參加，則這3名學(xué)生所選活動課程不全相同的選法有（

）A．120種 B．150種 C．210種 D．216種【答案】C【詳解】依題意，每名同學(xué)都有種選擇方法，所以這3名學(xué)生所選活動課程不全相同的選法有種.故選：C2．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室二模（文））甲、乙、丙共三名學(xué)生報名參加夏季運動會，每人報名一個項目，目前有100米短跑和3000米長跑這兩個項目可供選擇，則他們報名同一個項目的概率為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】甲、乙、丙三人報名項目的情況總共有種，其中他們報名同一個項目的情況有2種，所求的概率為．故選：B．3．（2022·河北·邢臺市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）小張去工作室需要通過三重門，他必須問管理員要到每重門的鑰匙才能到達工作室.第一重門的鑰匙有3把（每把顏色不同），第二重門的鑰匙有4把（每把顏色不同），第三重門的鑰匙有3把（每把顏色不同），管理員要求他從這10把鑰匙中取3把，則他能到達工作室的不同的取法共有（

）A．10種 B．24種 C．36種 D．120種【答案】C【詳解】依題意，進入第一重門有3種取法，進入第二重門有4種取法，進入第三重門有3種取法，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的取法共有種.故選：C4．（2022·北京通州·高二期中）已知集合，．現(xiàn)從集合A中取一個元素作為點P的橫坐標，從集合B中取一個元素作為點P的縱坐標，則位于第四象限的點P有（

）A．16個 B．12個 C．9個 D．6個【答案】D【詳解】因為第四象限的點橫坐標為正，縱坐標為負，所以集合中只有符合，集合中只有符合，所以第四象限的點P有個，故選：D5．（2022·廣東·大埔縣田家炳實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學(xué)決定在某食堂提供的3種主食、4種素菜、2種大葷、3種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有______種．【答案】60【詳解】根據(jù)分步計數(shù)原理，共有（種）不同的選取方法．故答案為:60題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用角度1：與數(shù)字有關(guān)的問題典型例題例題1．（2022·天津·南開中學(xué)高二期中）用0，1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字且能被2整除的三位數(shù)的個數(shù)是（

）A．50 B．52 C．54 D．56【答案】B【詳解】能被2整除的三位數(shù)是偶數(shù)，當(dāng)個位數(shù)是0時，有種情形；當(dāng)個位數(shù)是2或4時，其中最高位不能是0，則有種情形，因此，能被2整除的三位數(shù)的個數(shù)是種.故選：B例題2．（2022·浙江·效實中學(xué)高二期中）在1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有A．36個 B．24個 C．18個 D．6個【答案】B【詳解】解：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的有兩類：兩個偶數(shù)一個奇數(shù)：有=18個；②三個都是奇數(shù)：有=6個．∴根據(jù)分類計數(shù)原理知共有18+6=24個．故選B．例題3．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）由數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).(1)一共可以組成多少個五位偶數(shù)？(2)在組成的所有五位數(shù)中，比32145大的五位數(shù)有幾個？【答案】(1)48(2)65(1)先考慮個位數(shù)，從2或4中選擇1個，有種，再考慮其余4個數(shù)位，即余下的4個數(shù)字進行全排列，有種，所以一共有=48個五位偶數(shù)；(2)若萬位數(shù)是3，千位是4或5，共有個符合要求；若萬位數(shù)是3，千位是2，則百位須是4或5，共有個符合要求；若萬位數(shù)是4或5，則有個符合要求，32154符合要求；綜上：在組成的所有五位數(shù)中，比32145大的五位數(shù)有12+4+48+1=65個.例題4．（2022·江蘇連云港·高二期中）用0，1，2，3，…，9十個數(shù)字可組成多少個不同的(1)三位數(shù)？(2)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(3)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？【答案】(1)900(2)648(3)379(1)由于0不能在百位，故百位上數(shù)字有9種選法，十位與個位上的數(shù)字均有10種選法．所以不同的三位數(shù)共有個．(2)百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，個位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個數(shù)字中選取，所以共有個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．(3)滿足條件的一位自然數(shù)有10個，兩位自然數(shù)有個，三位自然數(shù)有個，由分類加法計數(shù)原理知共有個小于500且無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．同類題型歸類練1．（2022·吉林油田第十一中學(xué)高二期末）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（）A．288個 B．240個 C．144個 D．126個【答案】B【詳解】對個位是0和個位不是0兩類情形分類計數(shù)；對每一類情形按“個位－最高位－中間三位”分步計數(shù)：①個位是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；②個位不是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；故共有個2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有()A．18個 B．15個C．12個 D．9個【答案】B【詳解】試題分析：四位數(shù)之和為6的共有4種情況：（0、0、2、4）,（0、1、2、3），（1、1、2、2），（0、2、2、2）．?dāng)?shù)字為0、0、2、4且首位為2的六合數(shù)有：2004,2040,2400，共3個；同理：數(shù)字為0、1、2、3且首位為2的六合數(shù)有六個；數(shù)字為1、1、2、2且首位為2的六合數(shù)有3個；數(shù)字為0、2、2、2且首位為2的六合數(shù)有3個．所以共有15個．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0(m，n∈A)至少有一個根x0∈A，就稱方程為合格方程，則合格方程的個數(shù)為()A．13 B．15C．17 D．19【答案】C【詳解】當(dāng)m＝0時，取n＝0,1,4，方程為合格方程；當(dāng)m＝1時，取n＝0,2,6，方程為合格方程；當(dāng)m＝2時，取n＝0,3，方程為合格方程；當(dāng)m＝3時，取n＝0,4，方程為合格方程；當(dāng)m＝4時，取n＝0,5，方程為合格方程；當(dāng)m＝5時，取n＝0,6，方程為合格方程；當(dāng)m＝6時，取n＝0,7，方程為合格方程；當(dāng)m＝7時，取n＝0，方程為合格方程．綜上可得，合格方程的個數(shù)為17；故選：C.4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知集合，，從A中取一個數(shù)作為十位數(shù)字，從B中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，能組成______個不同的兩位數(shù)，能組成______個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)．【答案】

20

10【詳解】①從A中取一個數(shù)作為十位數(shù)字，有4種不同的取法，從B中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，有5種不同的取法．由乘法原理可知，能組成4×5＝20個不同的兩位數(shù)．②要組成十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)，可分如下情況：當(dāng)個位數(shù)字為9時，十位上的數(shù)字有4種取法，能組成4個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)；當(dāng)個位數(shù)字為7時，十位上的數(shù)字有3種取法，能組成3個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)；當(dāng)個位數(shù)字為5時，十位上的數(shù)字有2種取法，能組成2個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)；當(dāng)個位數(shù)字為3時，十位上的數(shù)字有1種取法，能組成1個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)．所以組成的十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)有1＋2＋3＋4＝10個．故答案為：20，10．角度2：與幾何有關(guān)的問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知分子是一種由60個碳原子構(gòu)成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子，它具有60個頂點和若干個面，.各個面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖.已知其中正六邊形的面為20個，則正五邊形的面為（

）個.A．10 B．12C．16 D．20【答案】B【詳解】由結(jié)構(gòu)圖知：每個頂點同時在3個面內(nèi)，所以五邊形面數(shù)為個，故選B.例題2．（2022·全國·高二期末）從正十五邊形的頂點中選出3個構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法有（

）.A．105種 B．225種 C．315種 D．420種【答案】C【詳解】如圖所示，以A為鈍角頂點，在直徑的左邊取點，右邊依次取，得到6個鈍角三角形，當(dāng)取時，△為銳角三角形；同理，直徑的左邊取點，右邊依次取，得到5個鈍角三角形，當(dāng)取，時，△、△為銳角三角形；……在直徑的左邊取點時，得到一個鈍角△，在直徑的左邊取點時，沒有鈍角三角形.故以A為鈍角頂點的三角形共有（個）.以其余14個點為鈍角頂點的三角形也各有21個，所以總共有（個）鈍角三角形.故選：C同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若一個正方體繞著某直線旋轉(zhuǎn)不到一周后能與自身重合，那么這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】若正方體繞著直線旋轉(zhuǎn)不到一周能與自身重合，則必過正方體中心，否則，正方體繞著直線旋轉(zhuǎn)不到一周后，中心不能回到原來的位置；共有三種情況：如圖所示；當(dāng)過正方體的對角線兩頂點時，把正方體繞旋轉(zhuǎn)，正方體回到原來的位置，此時的直線共有條；當(dāng)過正方體兩相對棱中點時，把正方體繞旋轉(zhuǎn)，正方體回到原來的位置，此時直線共有條；當(dāng)過正方體對面中心時，把正方體繞旋轉(zhuǎn)，正方體回到原來的位置，此時直線共有條；綜上，符合條件的直線有條.故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個國際象棋棋盤（由8×8個方格組成），其中有一個小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）．“L”形骨牌由三個相鄰的小方格組成，如圖所示．現(xiàn)要將這個破損的棋盤剪成數(shù)個“L”形骨牌，則（）A．至多能剪成19塊“L”形骨牌B．至多能剪成20塊“L”形骨牌C．最多能剪成21塊“L”形骨牌D．前三個答案都不對【答案】C【詳解】考慮2×3的6塊方格，如圖：，每一塊這樣的骨牌含有2塊“L”形骨牌一共可以剪成10塊這樣的骨牌，和一個田字格，田字格可以剪1塊“L”形骨牌，則一共21塊“L”形骨牌.只要將破損的方格所在位置剪成一個恰當(dāng)?shù)奶镒指窦纯?，所以一定能夠剪?1塊“L”形骨牌.如圖所示故選：C3．（2022·上海交大附中高二期中）正方體的8個頂點中，選取4個共面的頂點，有______種不同選法【答案】12【詳解】從任意一個側(cè)棱出發(fā)，其它6個頂點中任選2個點都有3種共面的情況，所以，所有共面的情況有種，而每條棱均重復(fù)計數(shù)一次，綜上，正方體的8個頂點中，選取4個共面的頂點，有種.故答案為：12角度3：涂色問題典型例題例題1．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】C【詳解】對于①②③，兩兩相鄰，依次用不同顏色涂，共有種涂色方法，對于④，與②③相鄰，但與①相隔，此時可用剩下的一種顏色或者與①同色，共2種涂色方法，則由分步乘法計數(shù)原理得種不同的涂色方法.故選:C例題2．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)東逸灣實驗學(xué)校高二期中）用5種不同顏色給右圖所示的五個圓環(huán)涂色，要求相交的兩個圓環(huán)不能涂相同的顏色，共有（

）種不同的涂色方案．A．1140 B．1520 C．1400 D．1280【答案】D【詳解】從左到右依次涂色(也可以任選一個環(huán)作為開始)，第一個圓環(huán)有5種選擇，第二個圓環(huán)以及后面每個圓環(huán)均有4種選擇，所以總數(shù)為：；故選：D.例題3．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習(xí)（理））如圖，一花壇分成1，2，3，4，5五個區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每個1區(qū)域里面種1種花，且相鄰的兩個區(qū)域種不同的花，則不同的種法總數(shù)為_______．【答案】【詳解】解：由題意得：若只有2，4區(qū)域種的花相同，則有種種法；若只有3，5區(qū)域種的花相同，則有種種法；若2、4區(qū)域種的花相同，3，5種的花也相同，則有種種法，由分類加法計數(shù)原理知共有種不同的種法.故答案為：例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有______種.【答案】48【詳解】若先給最上面一塊著色，有4種結(jié)果，再給中間左邊一塊著色，有3種結(jié)果，再給中間右邊一塊著色，有2種結(jié)果，最后給下面一塊著色，有2種結(jié)果，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有4×3×2×2=48（種）結(jié)果．故答案為：48．同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）用