超聲層析成像的理論與實現(xiàn)

會計學1超聲層析成像的理論與實現(xiàn)主要內(nèi)容一.超聲層析成像技術的發(fā)展歷史二.超聲層析成像技術的基本模型及方法三.問題的不適定性及其正則化四.模型噪聲的判斷方法——Picard準則五.靜態(tài)正則化技術在超聲層析技術中的應用六.迭代正則化技術在超聲層析技術中的應用七.總結與展望

第1頁/共48頁一.超聲層析成像的發(fā)展歷史1.折射系數(shù)層析成像方法2.衰減系數(shù)層析成像方法3.射線跟蹤方法4.透射式衍射層析成像及反射式衍射層析成像方法5.基于精確場描述的層析成像方法

第2頁/共48頁1.折射系數(shù)層析成像方法Refractive-indextomography

第3頁/共48頁2.超聲衰減系數(shù)層析成像

Attenuationtomography

衰減系數(shù)

綜合衰減系數(shù)

第4頁/共48頁3.射線跟蹤方法

RayTracingMethod

第5頁/共48頁4.透射式衍射層析成像及反射式衍

射層析成像方法物體傅里葉變換頻域空域入射波前向散射場第6頁/共48頁從不同方向照射物體時,前向散射場數(shù)據(jù)的傅里葉變換第7頁/共48頁5.基于精確場描述的層析成像方法第8頁/共48頁二.超聲層析成像技術的基本模型

及方法非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)1.波動方程及其解第9頁/共48頁全場方程(TotalFieldEquation)

(第二類Fredholm積分方程)

散射場方程(ScatteringFieldEquation)探測器方程(DetectorEquation)第10頁/共48頁2.積分方程的離散化─矩量法第11頁/共48頁向量形式:

第12頁/共48頁3.波動方程的近似

①Born近似

Born逆解O

應滿足的條件:第13頁/共48頁②Rytov近似

應滿足的條件:第14頁/共48頁4.基本方法Born迭代算法(BI)

Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法變形Born迭代方法(DBI)

第15頁/共48頁Born迭代算法(BI)

求Born逆解O由全場方程

確定全場

由散射場方程求散射場,并計算

由方程求改變量求第16頁/共48頁求Born逆解O由全場方程

確定全場

由散射場方程求散射場,并計算

變形Born迭代算法(DBI)

根據(jù)最新求得的Ok改變散射方程的系數(shù)矩陣D求由方程求改變量第17頁/共48頁Levenberg-Marquardt和

Newton-Kantorovich方法

代入第18頁/共48頁三.問題的不適定性及其正則化

適定性問題是指：對于連續(xù)算子方程Kx=y，如果解x滿足：

(1).存在；

(2).唯一；

(3).連續(xù)地依賴于數(shù)據(jù)y。否則，即上述三個條件有一個不滿足，則稱其為不適定的（Ill-posed）。

第19頁/共48頁離散不適定問題

(DiscreteIll-PosedProblem)

若:

(1).矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩陣A的最大奇異值和最小奇異值之比非常大；

(2).矩陣A的奇異值逐漸下降趨于零。對于線性方程組Ax=b

或最小二乘問題:第20頁/共48頁Tikhonov正則化

L=In，x0=0時，稱為Tikhonov正則化的標準形式,其解可表示為:第21頁/共48頁四.模型噪聲的判斷方法:Picard準則離散Picard準則：若方程組Ax=b的傅里葉系數(shù)趨于零的速度在平均意義下快于矩陣A的奇異值趨于零的速度的話，則稱該方程組滿足離散Picard準則(條件)。

最小二乘解:Tikhonov正則化解:第22頁/共48頁受噪聲污染和無噪聲污染的Picard圖

污染嚴重

污染較輕

第23頁/共48頁A

對比度為30％時對比度為20％時對比度為10％時第24頁/共48頁五.靜態(tài)正則化技術1.截斷奇異值分解正則化方法

TruncatedSingularValueDecomposition(TSVD)2.截斷完全最小二乘正則化方法

TruncatedTotalLeastSquares(TTLS)

第25頁/共48頁1.截斷奇異值分解正則化方法(TSVD)

對于線性方程組Ax=b

或最小二乘問題最小二乘解:Tikhonov正則化解:TSVD正則化解:第26頁/共48頁正則化參數(shù)的選取方法

離差原理(DiscrepancyPrinciple)方法廣義交叉驗證(GCV)方法

L曲線(L-Curve)方法

減小時

增加時

由L曲線方法確定k’采用一維搜索的方法確定更精確的k第27頁/共48頁TSVD方法的數(shù)值仿真結果

BACDE對比度為10％時對比度為20％時對比度為30％時原始圖像第28頁/共48頁迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線第29頁/共48頁迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線第30頁/共48頁2.截斷完全最小二乘正則化方法滿足：最小二乘問題：完全最小二乘問題：滿足：第31頁/共48頁截斷完全最小二乘的步驟1.首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解：2．確定截斷參數(shù)k≤min(n，rank(A，b))使得：

3.記q=n-k+1,將矩陣分塊4.則完全最小二乘問題的解為：

第32頁/共48頁TTLS方法的數(shù)值仿真結果

原始圖像對比度為10％時對比度為20％時對比度為30％時第33頁/共48頁迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線第34頁/共48頁六.迭代正則化技術1.求解最小二乘問題的共軛梯度方法(cgls)2.LSQR方法第35頁/共48頁1.求解最小二乘問題的共軛梯度

方法(cgls)

將共軛梯度法應用于法方程

相當于在Krylov子空間：產(chǎn)生的序列xk，使得：第36頁/共48頁cgls方法的解可表示為:的k-1次多項式，其系數(shù)的確定是

其中：

依賴于：(1).方程的右側項b的特征；(2).矩陣A的奇異值的分布；(3).迭代的次數(shù)

第37頁/共48頁迭代次數(shù)增加，殘差變化不大，但解的范數(shù)受影響較大第38頁/共48頁正則化參數(shù)對迭代的影響第39頁/共48頁cgls方法的數(shù)值仿真結果BACDE對比度為10％時原始圖像對比度為20％時對比度為30％時第40頁/共48頁迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線圖5.15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的相對殘差(RRE)曲線，cgls迭代次數(shù)為10第41頁/共48頁LSQR迭代方法

Lanczos三對角過程

Lanczos應用于將矩陣A雙對角化Golub和Kahan(1965)

Paige和Saunders(1982)

線性方程組Ax=b和應用于第42頁/共48頁LSQR方法的優(yōu)點:

1.速度快

2.對不適定性問題數(shù)值穩(wěn)定

3.從迭代過程很容易求得數(shù)值分析的數(shù)值第43頁/共48頁BACDE原始圖像LSQR方法的數(shù)值仿真結果對比度為10％時對比度為20％時對比度為30％時第44頁/共48頁七.總結與展望首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像問題的中的模型噪聲問題，給出了入射波的確定方法、以及正則化方法的適用范圍的判斷方法。采用了兩類四種正則化方法對超聲層析成像問題中的不適定性問題進行了研究，通過對正則化參數(shù)選擇的修正，完成了較大對比度物體的成像問題。結論：靜態(tài)正