第講不定積分及其計(jì)算

會(huì)計(jì)學(xué)1第講不定積分及其計(jì)算

回顧:微分學(xué)的基本問題是“已知一個(gè)函數(shù),

如何求它的導(dǎo)數(shù).”

積分學(xué)包括兩個(gè)基本部分:不定積分和定積分.

先研究不定積分的概念、性質(zhì)和基本積分方法.

那么,如果已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要求原來的函數(shù),這類問題,是微分法的逆問題.這就產(chǎn)生了積分學(xué).第1頁/共51頁第六章函數(shù)的積分第三節(jié)不定積分第2頁/共51頁問題:

若已知某一函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)為?(x),求這個(gè)函數(shù).則稱F(x)是已知函數(shù)?(x)在該區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).一.原函數(shù)的定義定義設(shè)?(x)定義在區(qū)間I上,若存在函數(shù)F(x),使得對(duì)有例因?yàn)?，所以因?yàn)樗訤(x)第3頁/共51頁定理1

若函數(shù)?(x)在區(qū)間I上連續(xù),則?(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)一定存在.簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).(證明略)原函數(shù)存在性定理:定理設(shè)F(x)是函數(shù)?(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),則對(duì)任何常數(shù)C,F(x)+C也是函數(shù)?(x)的原函數(shù).證因?yàn)閱栴}：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？所以F(x)+C也是函數(shù)?(x)的原函數(shù).第4頁/共51頁定理設(shè)F(x)和G(x)都是函數(shù)?(x)的原函數(shù),則

F(x)–G(x)≡C(常數(shù))證由拉格朗日定理知由此可見:

若F(x)是?(x)的一個(gè)原函數(shù),則表達(dá)式F(x)+C可表示?(x)的所有原函數(shù)。第5頁/共51頁定義一.不定積分的概念第6頁/共51頁任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量第7頁/共51頁每一個(gè)求導(dǎo)公式,反過來就是一個(gè)求原函數(shù)的公式,加上積分常數(shù)C就成為一個(gè)求不定積分的公式.第8頁/共51頁不定積分的幾何意義而是?(x)的原函數(shù)一般表達(dá)式,所以它對(duì)應(yīng)的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族,其特點(diǎn)是:(1)積分曲線族中任意一條曲線可由其中某一條(如y=F(x))沿y軸平行移動(dòng)|c|個(gè)單位而得到.(如圖)當(dāng)c>0時(shí),向上移動(dòng);當(dāng)c<0時(shí),向下移動(dòng).oxyxy=F(x){|c|第9頁/共51頁oxyxy=F(x)(2)即橫坐標(biāo)相同點(diǎn)處,每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等,都為?(x).從而相應(yīng)點(diǎn)的切線相互平行.注:當(dāng)需要從積分曲線族中求出過點(diǎn)的一條積分曲線時(shí),則只須把代入y=F(x)+C中解出C即可.

第10頁/共51頁例已知一條曲線在任意一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù),且過點(diǎn)求此曲線方程.解設(shè)所求曲線為y=?(x),則故所求曲線為y=ln|x|+2第11頁/共51頁二.不定積分的計(jì)算利用不定積分的性質(zhì)換元法(第一、第二)分部積分法部分分式法第12頁/共51頁1.利用性質(zhì)計(jì)算不定積分首先介紹不定積分的基本性質(zhì).第13頁/共51頁性質(zhì)1第14頁/共51頁性質(zhì)2第15頁/共51頁基本積分表第16頁/共51頁以上積分公式是求不定積分的基礎(chǔ),必須記牢！第17頁/共51頁例1解第18頁/共51頁例2解絕對(duì)值第19頁/共51頁例3解利用加一項(xiàng)、減一項(xiàng)的方法.第20頁/共51頁例4解?利用加一項(xiàng)、減一項(xiàng)的方法.第21頁/共51頁例5解部分分式法第22頁/共51頁例6解第23頁/共51頁例6解第24頁/共51頁例7解想想它是誰的導(dǎo)數(shù)？怎么做？利用平方差公式第25頁/共51頁例8解第26頁/共51頁例9解第27頁/共51頁

能利用直接積分法求出的不定積分是很有限的.一.湊微分法(第一類換元法)例

計(jì)算分析：此不定積分在積分表中查不到.

換元積分法為了求出更多函數(shù)的不定積分,下面學(xué)習(xí)一些有效的積分法.這是因?yàn)楸环e函數(shù)cos2x的變量是“2x”,與積分變量“x”不同.但如果能把被積表達(dá)式改變一下,使得被積函數(shù)的變量與積分變量變得相同,那么就可用公式求出此不定積分.

(u是x的函數(shù))第28頁/共51頁注:

這種方法的實(shí)質(zhì)是當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時(shí),可采用恒等變形將原來的微分dx湊成新的微分d()使原積分變成可直接用積分公式來計(jì)算.這種方法稱為湊微分法.其理論依據(jù)為第29頁/共51頁定理第30頁/共51頁證利用不定積分的定義及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可.注1.定理中,若u為自變量時(shí),當(dāng)然有當(dāng)u換為(x)時(shí),就有成立.——不定積分的這一性質(zhì)稱為積分形式的不變性.注2.

湊微分法的關(guān)鍵是“湊”,湊的目的是把被積函數(shù)的中間變量變得與積分變量相同.即成立.第31頁/共51頁(1)根據(jù)被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)和基本積分公式的形式,依據(jù)恒等變形的原則,把

dx湊成d(x).如

(2)把被積函數(shù)中的某一因子與dx湊成一個(gè)新的微分d(x).如“湊微分”的方法有:以下常見的湊微分公式！第32頁/共51頁第33頁/共51頁第34頁/共51頁第35頁/共51頁第36頁/共51頁例10解第37頁/共51頁例11解第38頁/共51頁例12解第39頁/共51頁例13解第40頁/共51頁例14解第41頁/共51頁例15解第42頁/共5