函數(shù)的周期性與對稱性

第二章 第5第二章 第5煉函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第二章 第5第二章 第5煉函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第5煉函數(shù)的對稱性與周期性一、基礎(chǔ)知識(一)函數(shù)的對稱性1、對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對稱軸(或?qū)ΨQ中心)對稱2、軸對稱的等價描述：(1)f(a一x)=f(a+x)=fG)關(guān)于％=a軸對稱(當(dāng)a=0時，恰好就是偶函數(shù))(2)f(a一x)=f(b+x)of(x)關(guān)于x="b軸對稱2在已知對稱軸的情況下，構(gòu)造形如f(a-x)=f(b+x)的等式只需注意兩點，一是等式兩側(cè)f前面的符號相同，且括號內(nèi)x前面的符號相反；二是a,b的取值保證x=a+b為所給對稱軸即可。例如：f(x)關(guān)于x=1軸對稱nf(x)=f(2-x)，或得到f(3—x)=f(—1+x)均可，只是在求函數(shù)值方面，一側(cè)是f(x)更為方便(3)f(x+a)是偶函數(shù)，則f(x+a)=f(-x+a)，進(jìn)而可得到：f(x)關(guān)于x=a軸對稱。①要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相等，所以在f(x+a)中，x僅是括號中的一部分，偶函數(shù)只是指其中的x取相反數(shù)時，函數(shù)值相等，即f(x+a)=f(-x+a)，要與以下的命題區(qū)分：若f(x)是偶函數(shù)，則f(x+a)=f[-(x+a)]：f(x)是偶函數(shù)中的x占據(jù)整個括號，所以是指括號內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相等，所以有f(x+a)=f[-(x+a)]②本結(jié)論也可通過圖像變換來理解，f(x+a)是偶函數(shù)，則f(x+a)關(guān)于x=0軸對稱，而f(x)可視為f(x+a)平移了網(wǎng)個單位(方向由a的符號決定)，所以f(x)關(guān)于x=a對稱。在已知對稱中心的情況下，構(gòu)造形如fQ-x)=-f(b+x)的等式同樣需注意兩點，一是等式兩側(cè)f和x前面的符號均相反；二是a,b的取值保證x=a)為所給對稱中心即可。例如：f(x)關(guān)于(-1,0)中心對稱nf(x)=-f(-2-x)，或得到f(3-x)=-f(-5+x)均可，同樣在求函數(shù)值方面，一側(cè)是f(x)更為方便(3)f(x+a)是奇函數(shù)，則f(x+a)=-f(-x+a)，進(jìn)而可得到：f(x)關(guān)于(a,0)中心對稱。①要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相反，所以在f(x+a)中，x僅是括號中的一部分，奇函數(shù)只是指其中的x取相反數(shù)時，函數(shù)值相反，即f(x+a)=f(-x+a)，要與以下的命題區(qū)分：若f(x)是奇函數(shù)，則f(x+a”-f[-(x+a)]：f(x)是奇函數(shù)中的x占據(jù)整個括號，所以是指括號內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相反，所以有f(x+a”-f[-(x+a)]②本結(jié)論也可通過圖像變換來理解，f(x+a)是奇函數(shù)，則f(x+a)關(guān)于(0,0)中心對稱，而f(x)可視為f(x+a)平移了網(wǎng)個單位(方向由a的符號決定)，所以f(x)關(guān)于(a,0)對稱。4、對稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點：(1)可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值(2)在作圖時可作出一側(cè)圖像，再利用對稱性得到另一半圖像(3)極值點關(guān)于對稱軸(對稱中心)對稱(4)在軸對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同(二)函數(shù)的周期性1、定義:設(shè)f(x)的定義域為D，若對VxeD，存在一個非零常數(shù)T，有f(x+T)=f(x)，則稱函數(shù)f(不)是一個周期函數(shù)，稱T為f(x)的一個周期2、周期性的理解：可理解為間隔為T的自變量函數(shù)值相等3、若fG)是一個周期函數(shù)，則f(x+T)=f(x)，那么f(x+2T)=f(x+T)=f(x)，即2T也是f(x)的一個周期，進(jìn)而可得：kT(keZ)也是f(x)的一個周期4、最小正周期：正由第3條所說，kT(keZ)也是f(x)的一個周期，所以在某些周期函數(shù)中，往往尋找周期中最小的正數(shù)，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常值函數(shù)f(x)=C5、函數(shù)周期性的判定：(1)f(x+a)=f(x+b)：可得f(x)為周期函數(shù)，其周期T=|b-a|(2)f(x+a)=-f(x)nf(x)的周期T=2a分析:直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構(gòu)造一個等式：f(x+2a)=-f(x+a)所以有：f(x+2a)=-f(x+a)=-(一f(x))=f(x)，即周期T=2a注：遇到此類問題，如果一個等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個等式，進(jìn)而通過兩個等式看能否得出周期1(3)f(x+a)=yQ)nf(x)的周期T=2a1 1分析：f(x+2a)=f(x+a)= =f(x)f(x)(4)f(x)+f(x+a)=k(k為常數(shù))nf(x)的周期T=2a分析：f(x)+f(x+a)=k,f(x+a)+f(x+2a)=k，兩式相減可得：f(x+2a)=f(x)(5)f(x)-f(x+a)=k(k為常數(shù))nf(x)的周期T=2a(6)雙對稱出周期：若一個函數(shù)f(x)存在兩個對稱關(guān)系，則f(x)是一個周期函數(shù)，具體情況如下：(假設(shè)b>a)①若f(x)的圖像關(guān)于x=a,x=b軸對稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=2(b-a)分析：f(x)關(guān)于x=a軸對稱nf(t)=f(2a+x)f(x)關(guān)于x=b軸對稱nf(—x)=f(2b+x):.f(2a+x)=f(2b+x):.f(x)的周期為T=2b-2a=2(b一a)②若f(x)的圖像關(guān)于(a,0),(b,0)中心對稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=2(b一a)③若f(x)的圖像關(guān)于x=a軸對稱，且關(guān)于(b,0)中心對稱，貝f(x)是周期函數(shù)，周期T=4(b-a)7、函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個周期的性質(zhì)，則得到整個函數(shù)的性質(zhì)。(1)函數(shù)值：可利用周期性將自變量大小進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而利用已知條件求值(2)圖像：只要做出一個周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行“復(fù)制+粘貼”(3)單調(diào)區(qū)間：由于間隔kT(keZ)的函數(shù)圖象相同，所以若f(x)在(a,b)(b-a<T)上單調(diào)增(減)，則f(x)在(a+kT,b+kT)(keZ)上單調(diào)增(減)(4)對稱性：如果一個周期為T的函數(shù)f(x)存在一條對稱軸x=a(或?qū)ΨQ中心)，則kTf(x)存在無數(shù)條對稱軸，其通式為x=a+?(keZ)證明：\/(x)關(guān)于x=a軸對稱.f(x)=f(2a一x)函數(shù)f(x)的周期為T .f(x+kT)=f(x)kT：.f(x+kT)=f(2a一x) :.f(x)關(guān)于x=a+一軸對稱2注：其中(3)(4)在三角函數(shù)中應(yīng)用廣泛，可作為檢驗答案的方法二、典型例題：例1：設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x),當(dāng)0<x<1時，f(x)=x，則f(7.5)= 思路：由f(x+2)=-f(x)可得：f(x)的周期T=4，.二考慮將f(7.5)用0<x<1中的函數(shù)值進(jìn)行表示：f(7.5)=f(3.5)=f(一0.5)，此時周期性已經(jīng)無法再進(jìn)行調(diào)整，考慮利

用奇偶性進(jìn)行微調(diào)：f(-0.5)=-f(0.5)=-1，所以f(7.5)=-1答案：f(7.5)=-1例2：定義域為R的函數(shù)fG)滿足f(X+2)=2f(x),當(dāng)xe[0,2)時，f(x)=-A.B.C.D.思路：由f(x+2)=2f(x)nfA.B.C.D.思路：由f(x+2)=2f(x)nf(x)=1f(x+2),^2可類比函數(shù)的周期性，所以考慮將5x=--向xe2[0,2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化:答案：D小煉有話說：f(x)雖然不是周期函數(shù)，但函數(shù)值關(guān)系與周期性類似，可理解為：間隔2個單位的自變量，函數(shù)值呈2倍關(guān)系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，將自變量向已知范圍進(jìn)行靠攏。例3：定義在R上的函數(shù)f(x)對任意xeR，都有f(x+2)=1-f(x),f(2)1+f(x)1“則f(2016)等于(1A.一4思路：由f(x+2)=1B.一21-f(x)邛3及所求1C.一33D.—5f(2010)可聯(lián)想到周期性，所以考慮1-11-1-f(x)f(x+4)=―(x+2)=一蟲=1+f(x+2)-1-f(x)1+T+fTx)f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，故f(2016)=f(4)，而由已知可得f(4)=[f:=3，所以f(2016)=3答案：D第一早 第5第一早 第5煉函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第一早 第5第一早 第5煉函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第二章 第5第二章 第5煉函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作例4(2009山東)：定義在尺上的函數(shù)/G)滿足/(%)=/(例4(2009山東)：定義在尺上的函數(shù)/G)滿足/(%)=/(2009)的值為( )A.-1B.0C.1log(1-x),x<0f(x-l)-f(x-2),x>0?人」D.2思路：所給/Q)的特點為x＜0才有解析式能夠求值，而x＞。只能通過/(x)=/(x—1)—/G—2)減少自變量的取值，由所求/(2009)可聯(lián)想到判斷了(X)是否具有周期性，x＞。時，/(x)=/(%-1)-/(%-2),則有y(x-1)=/(%-2)-/(%-3),兩式相加可得：/(%)=-/(%-3),則f(x)=-/(x-3)=/(x-6),即/G)在x＞0時周期是6,故f(2009)=/(5)=-/(2),而/(2)=/(i)-/(o)=/(o)-/(-i)-/(o)=/(-i)=i答案：c小煉有話說：(D本題的思路依然是將無解析式的自變量通過函數(shù)性質(zhì)向含解析式的自變量靠攏，而x=2009數(shù)較大，所以考慮判斷函數(shù)周期性。(2)如何快速將較大自變量縮至已知范圍中？可利用帶余除法除以周期，觀察余數(shù)。則被除數(shù)的函數(shù)值與余數(shù)的函數(shù)值相同，而商即為被除數(shù)利用周期縮了多少次達(dá)到余數(shù)。例如本題中2009+6=334…5,從而了(2009)=/(5)(3)本題推導(dǎo)過程中/Q)=—/G—3)也有其用處，其含義是間隔為3的自變量函數(shù)值互為相反數(shù)，相比周期，它的間隔更小，所以適用于利用周期縮小自變量范圍后，進(jìn)行“微調(diào)”從而將自變量放置已知區(qū)間內(nèi)例5：函數(shù)/Q)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)無￡［0,2］時，/(x)=log(x+l)-l,則不等2式對1G)＞。在式對1G)＞。在［-1H上的解集為思路：從已知出發(fā)可知XG［0,2］時，fG)為增函數(shù)，且f(1)=log2-1=0,所以2X￡［0,1)時，f(X)<0,X￡(1,2］時，f(X)>0,由偶函數(shù)可得：X￡(-1,0］時，f(X)<0,f(X)￡1-2,-1)時，f(X)>0。從而可作出草圖。由所解不等式Xf(X)>0可將［-1,3］分為［-1,0)u［°，3］兩部分，當(dāng)x<0時，f(X)<0，所以X￡(-1,0)，當(dāng)x>0時，f(X)>0，所以f(x)￡(1,3)，綜上解集為：(-1,0)U(1，3)答案:(-1,0)U(1,3)例6：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足f(x)+f(-x)=0,f(x-1)=f(x+1)，當(dāng)X￡(0,1)時，f(X)=-X2+X，則函數(shù)f(X)的最小值為(1A，1A，4C,-2思路：由f(X-1)=f(X+1)可得f(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以只需要求出一個周期內(nèi)的最值即可。由f(x)+f(-x)=0可得f(X)為奇函數(shù)，所以考慮區(qū)間(-1,1)，在X￡(X￡(0,1)時，f(X)=-+1，所以f(x)4 max:，而由于f(x)為奇函4TOC\o"1-5"\h\z數(shù)，所以在X￡(-1,0)時，f(x)=f--=-f—=-—，所以f-—即為f(x)minV2J v2y 4 v2J在(-1,1)的最小值，從而也是f(x)在R上的最小值答案：B例7：已知定義域為R的函數(shù)f6)滿足f(-X)=-f(X+4)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+s)上單調(diào)遞增，如果x<2<x，且x+x<4，則f(x)+f(X)的值( )1 2 12 1 2A.可正可負(fù) B.恒大于0 C.可能為0 D.恒小于0思路一：題目中給了單調(diào)區(qū)間，與自變量不等關(guān)系，所求為函數(shù)值的關(guān)系，從而想到單調(diào)性,而x+x<4可得x<4-x，因為x<2，所以4-x>2，進(jìn)而將x,4-x裝入了12 2 1 1 1 2 1(2,+8)中，所以由x<4-x可得f(x)<f(4-X)，下一步需要轉(zhuǎn)化f(4-X)，由21 2 1 1第二章 第5第二章 第5煉函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第二章 第5第二章 第5煉函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載f(-x)=-f(x+4)可得f(x)關(guān)于(2,0)中心對稱，所以有f(4一x)=—f(x)。代入x1可得f(4-x)=-f(x),從而f(x)<-f(x)nf(x)+f(x)<01 1 2 112思路二：本題運用數(shù)形結(jié)合更便于求解。先從f(-x)=-f(x+4)分析出f(x)關(guān)于(2,0)中心對稱，令x=-2代入到f(-x)=-f(x+4)可得f(2)=0。中心對稱的函數(shù)對稱區(qū)間單調(diào)性相同，從而可作x+x一出草圖。而x+x<4nt 2<2，即x,x的中點位于TOC\o"1-5"\h\z1 2 2 1 2x=2的左側(cè)，所以x比x距離x=2更遠(yuǎn)，結(jié)合圖象便可1 2分析出f(x)+f(x)恒小于01 2答案：D小煉有話說：(1)本題是單調(diào)性與對稱性的一個結(jié)合，入手點在于發(fā)現(xiàn)條件的自變量關(guān)系，與所求函數(shù)值關(guān)系，而連接它們大小關(guān)系的“橋梁”是函數(shù)的單調(diào)性，所以需要將自變量裝入同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)。而對稱性起到一個將函數(shù)值等價轉(zhuǎn)化的作用，進(jìn)而與所求產(chǎn)生聯(lián)系(2)數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點有三個：第一個是中心對稱圖像的特點，不僅僅是單調(diào)性相同，而TOC\o"1-5"\h\z且是呈“對稱”的關(guān)系，從而在圖像上才能看出f(x)+f(x)的符號；第二個是f(2)=0，1 2進(jìn)而可知xe(2,+W),f(x)>0;x￡(t,2),f(x)<0；第三個是x+x一x+x<4n1c2<2，既然是數(shù)形結(jié)合，則題中條件也要盡可能轉(zhuǎn)為圖像特點，而1 2 2x+x<4表現(xiàn)出中點的位置，從而能夠判斷出x,x距離中心對稱點的遠(yuǎn)近。1 2 1 2例8：函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則( )A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)=f(x+2) d.f(x+3)是奇函數(shù)思路：從已知條件入手可先看f(x)的性質(zhì)，由f(x+1),f(x-1)為奇函數(shù)分別可得到：f(x+1)=-f(-x+1),f(x-1)=-f(-x-1)，所以f(x)關(guān)于(1,0),(-1,0)中心對稱，雙對稱出周期可求得T=2?[1-(-1)]=4，所以C不正確，且由已知條件無法推出一定符合A,B。對于D選項，因為T=4,所以f(x+5)=f(x+1)=-f(—x+1),進(jìn)而可推出fG)關(guān)于(3,0)中心對稱，所以f(x+3)為f(x)圖像向左平移3個單位，即關(guān)于(0,0)對稱，所以f(x+3)為奇函數(shù)，D正確答案：D例9：已知定義域為R的函數(shù)y=f(x)在［0,7］上有1和6兩個零點，且y=f(x+2)與y=f(x+7)都是偶函數(shù)，則y=f(x)在［0,2013］上的零點個數(shù)至少有()個A.404 B.804 C,806 D.402思路：已知區(qū)間僅是［0,7］，而所求區(qū)間為［0,2013］，跨度如此之大，需要函數(shù)性質(zhì)。從條件入手f(x+2),f(x+7)為偶函數(shù)可得f(x)關(guān)于x=2,x=7軸對稱，從而判斷出f(x)是周期函數(shù)，且T=2?(7—2)=10，故可以考慮將［0,2013］以10為周期分組，先判斷出一個周期內(nèi)零點的個數(shù)，再乘以組數(shù)，加上剩余部分的零點即可解：?.?/G+2),f(x+7)為偶函數(shù)/.f(x+2)=f(—x+2),f(x+7)=f(—x+7) /.f(x)關(guān)于x=2,x=7軸對稱二.f(x)為周期函數(shù)，且T=2?(7—2)=10二.將［0,2013］劃分為10,10)U［10,20)U.??U［2000,2010)U［2010,2013］?.?/(x)關(guān)于x=2,x=7軸對稱/.f(x)=f(4—x),f(x)=f(14—x).../①二/(6)=0f(8)=f(14—8)=f(6)=0f(3)=f(4—3)=f(1)=0二在［0,10)中只含有四個零點而［0,10)U［10,20)U---U［2000,2010)共201組所以N=201義4=804在［2010,2013］中，含有零點f(2011)=f(1)=0,f(2013)=f(3)=0共兩個所以一共有806個零點答案：C小煉有話說：(1)周期函數(shù)處理零點個數(shù)時，可以考慮先統(tǒng)計一個周期的零點個數(shù)，再看所求區(qū)間包含幾個周期，相乘即可。如果有不滿一個周期的區(qū)間可單獨統(tǒng)計(2)在為周期函數(shù)分段時有一個細(xì)節(jié)：“一開一閉”，分段的要求時“不重不漏”，所以在給周期函數(shù)分段時，一端為閉區(qū)間，另一端為開區(qū)間，不僅達(dá)到分段要求，而且每段之間保持隊型，結(jié)構(gòu)整齊，便于分析。(3)當(dāng)一個周期內(nèi)含有對稱軸(或?qū)ΨQ中心)時，零點的統(tǒng)計不能僅限于已知條件，而要看是否由于對稱產(chǎn)生新的零點。其方法一是可以通過特殊值的代入，二是可以通過圖像，將零點和對稱軸標(biāo)在數(shù)軸上，看是否有由對稱生成的零點(這個方法更直觀，不易丟解)例10：設(shè)函數(shù)y=fG)是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若gG)=fG)—2X在區(qū)間[2,3]上的值域為[-2,6]，則函數(shù)gG)在[-12,12]上的值域為( )A. [-2,6] B. [-20,34] C,[-22,32] D,[-24,28]TOC\o"1-5"\h\z思路：設(shè)xg[2,3],則g(x)e[-2,6],因為fG)為周期函數(shù)，故以f(4)為突破口，0 0g(X+n)=f(X+n)-2G+n)=f(x)-2x-2n=g(x)-2n，考慮在[-12,-11]0 0 0 0 0 0中n=-14,所以g(x -14)=g(x )-2?(-14)=g(x )+28g[26,34],在[11,12]中00 0n=9,所以g(x+9)=g(x)-2?9=g(x)-18g[-20,-12],所以g(x)在[-12,12]00 0的值域為[-20,34]答案：B三、近年模擬題題目精選1、(2014,慶安高三期中)已知函數(shù)f(X)是R上的偶函數(shù)，且滿足f(X+1)+f(X)=3，當(dāng)xg[-1,0]時，f(X)=2+X，則f(-2007.5)的值為( )A.0.5 B.1.5 C.-1.5 D.12、(2014,安徽)設(shè)函數(shù)f(X)滿足f(X+兀)=f(x)+sinx,當(dāng)xg[0,兀)時，f(x)=0,

A.B.C.0A.B.C.0D.3、(2014,四川)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)xe[-1,1)時，f(x)=-4x2+2,-1f(x)=x,0<x<14、(2014,新課標(biāo)全國卷I)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( )A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)\g(x)是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)5、(2014,會寧縣校級月考)已知f(x+1)=f(x-1),f(x)=f(-x+2)，方程f(x)=0在［0,1］內(nèi)有且只有一個:，則f(x)在區(qū)間［0,2014］內(nèi)根的個數(shù)為( )A.1006 B,1007 C,2013 D,20146、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x)，當(dāng)xG［-1,1］時，f(x)=x3，則f(2009)=7、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2)，且TOC\o"1-5"\h\zx￡(一1,0)時，f(x)=2x+1，貝ijf(log20)=( )5 2. 4 . 4A.1 B.- C.-1 D.--8、已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x),當(dāng)xe［0,2］時，f(x)=2x-x2,求f(0)+f(1)+f(2)+.?.+/(2012)第二章 第5第二章 第5煉函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載本書由作者獨家授權(quán)“學(xué)易書城”，其所含章節(jié)未經(jīng)作者與學(xué)易書城同意不得隨意轉(zhuǎn)載第二章 第5第二章 第5煉函數(shù)的對稱性與周期性 函數(shù)及其性質(zhì)習(xí)題答案：1、答案：B解析：由f(X+1)+f(X)=3可得：f(X)+f(X—1)=3，兩式相減可得：f(^+1)=f(X—1)，所以f(X)的周期T=2，再由