高中數(shù)學導數(shù)微積分測試題

1、（2012

德州二模）如圖，在邊長為

π的正方形內(nèi)的正弦曲線軸圍成的地域記為

M（圖中暗影部分），隨機往正方形內(nèi)投一個點

P，則點

P落在地域

M內(nèi)的概率是A．

B．C．

D．答案：B分析：地域

M的面積為：

SM＝＝－

cosx＝2，而正方形的面積為

S＝，所以，所求概率為

P＝，選B。2、（2012濟南三模）已知函數(shù)，若成立，則＝________.1答案：3分析：因為1f(x)dx＝12321＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4(3x＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1-1-11?a＝－1或a＝3.3、（2012萊蕪3月模擬）函數(shù)的圖像與x軸所圍成的封閉圖形的面積為.【答案】【分析】4、（2012濟南三模）已知、是三次函數(shù)的兩個極值點，且，，則的取值范圍是（A．B．C．D．

）答案：B分析：因為函數(shù)有兩個極值，則有兩個不一樣的根，即，又，又，所以有，即。的幾何意義是指動點到定點兩點斜率的取值范圍，做出可行域如圖，，由圖象可知當直線經(jīng)過

AB時，斜率最小，此時斜率為，直線經(jīng)過

AD時，斜率最大，此時斜率為，所以，選

B.5、（2012臨沂

3月模擬）函數(shù)在點處的切線與函數(shù)圍成的圖形的面積等于

_________；【答案】

3【分析】函數(shù)的導數(shù)為，所以，即切線方程為，整理得。由解得交點坐標為，所以切線與函數(shù)圍成的圖形的面積為。6、（2012臨沂二模）已知，是由直線，和曲線圍成的曲邊三角形地域，若向地域上隨機投一點，點落在地域內(nèi)的概率為，則的值是（A）（B）（C）（D）【答案】D【分析】區(qū)邊三角形的面積為，地域的面積為1，若向地域上隨機投一點，點落在地域內(nèi)的概率，所以，所以，選D.7、（2012青島二模）設，則二項式睜開式中不含．．項的系數(shù)和是A．B．C．D．【答案】C【分析】，所以，二項式為，睜開式的通項為，令，即，所以，所以的系數(shù)為，令，得全部項的系數(shù)和為，所以不含項的系數(shù)和為，選C.8、（2012青島二模）已知函數(shù)的定義域為，部分對應值以下表，的導函數(shù)的圖象以以下圖.以下關(guān)于的命題：①函數(shù)的極大值點為，；②函數(shù)在上是減函數(shù)；③假如當時，的最大值是2，那么的最大值為4；④當時，函數(shù)有個零點；⑤函數(shù)的零點個數(shù)可能為

0、1、2、3、4個．此中正確命題的序號是

．【答案】①②⑤【分析】由導數(shù)圖象可知，當或時，，函數(shù)單調(diào)遞加，當或，，函數(shù)單調(diào)遞減，當和，函數(shù)獲得極大值，，當時，函數(shù)獲得極小值,所以①正確；②正確；因為在當和，函數(shù)獲得極大值，，要使當函數(shù)的最大值是4，當，所以的最大值為5，所以③不正確；由知，因為極小值未知，所以沒法判斷函數(shù)有幾個零點，所以④不正確，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值，做出函數(shù)的圖象如圖，（線段只代表單調(diào)性），依據(jù)題意函數(shù)的極小值不確立，分或兩種狀況，由圖象知，函數(shù)和的交點個數(shù)有0,1,2，3,4等不一樣情況，所以⑤正確，綜上正確的命題序號為①②⑤。9、（2012青島3月模擬）直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積是A．B．C．D．16答案：C【分析】聯(lián)立方程求得交點分別為所以暗影部分的面積為10、（2012日照5月模擬）如圖，由曲線，直線與軸圍成的暗影部分的面積是A）1B）2C）D）3答案：D【分析】由定積分的幾何意義，暗影部分的面積等于選

D.11、（2012泰安一模）已知，

A是曲線與圍成的地域，若向地域上隨機投一點

P，則點

P落入地域

A的概率為A.

B.

C.

D.【答案】D【分析】本題為幾何概率.地域的面積為.地域A的面積為，所以點P落入地域A的概率為，選D.12、（2012濱州二模）已知函數(shù)f（x）＝，g（x）＝elnx。I）設函數(shù)F（x）＝f（x）－g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；II）若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx＋m，對x∈R恒成立，且g（x）≤kx＋m，對x∈（0，＋∞）恒成立，則稱直線y＝kx＋m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”，試問：f（x）與g（x）能否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請說明原由。分析：（I）因為函數(shù)f（x）＝，g（x）＝elnx，所以，F(xiàn)（x）＝f（x）－g（x）＝－elnx，則＝＝，當0＜x＜時，＜0，所以F（x）在（0，）上是減函數(shù)；當x＞時，＞0，所以F（x）在（，＋）上是增函數(shù)；所以，函數(shù)F（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，），單調(diào)增區(qū)間是（，＋）。II）由（I）可知，當x＝時，F(xiàn)（x）獲得最小值F（）＝0，則f（x）與g（x）的圖象在x＝處有公共點（，）。假設f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過點（，）。故設其方程為：，即，由f（x）≥對x∈R恒成立，則對x∈R恒成立，所以，≤0成立，所以k＝，“分界線“的方程為：下邊證明g（x）≤對x∈（0，＋∞）恒成立，設G（x）＝，則，所以當0＜x＜時，，當x＞時，＜0，當x＝時，G（x）獲得最大值0，則g（x）≤對x∈（0，＋∞）恒成立，故所求“分界線“的方程為：13、（2012德州二模）設函數(shù)（I）求函數(shù)f（x）在點處的切線方程；II）設談論函數(shù)的單調(diào)性；III）設函數(shù)，能否同時存在實數(shù)m和，使得對每一個，直線都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M；若不存在，說明原由。分析：（I）解：＝lnx＋1（x＞0），則函數(shù)在點處的斜率為＝2，f（e）＝e，所以，所求切線方程為y－e＝2（x－e），即y＝2x－eII）＝，令＝0，則x＝或，①當0＜＜2，即時，令＞0，解得0＜x＜或x＞令＜0，解得＜x＜所以，F(xiàn)（x）在（0，），（，＋）上單調(diào)遞加，在（，）單調(diào)遞減。②當＝2，即時，≥0恒成立，所以，F(xiàn)（x）在（0，＋）上單調(diào)遞加。③當＞2，即時，所以，F(xiàn)（x）在（0，），（，＋）上單調(diào)遞加，在（，）單調(diào)遞減（III），令＝0，則x＝1，當x在區(qū)間內(nèi)變化時，的變化狀況以下表：－0+單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞加2又的值域為[1，2]。據(jù)經(jīng)可得，若，則對每一個，直線y=t與曲線都有公共點。而且對每一個，直線與曲線都沒有公共點。綜上，存在實數(shù)m=1和M＝2，使得對每一個，直線y=t與曲線都有公共點。14、（2012德州一模）已知函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)設，若對任意，總存在[0，1]，使得，務實數(shù)a的取值范圍．分析：（I）。①當時，因為x＞0，故ax＋1＞0，＞0，所以f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為（0，＋）。②當時，由＝0，得，在區(qū)間（0，－）上，＞0，在區(qū)間（－，＋）上，＜0，所以，當時，所以f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為（0，＋）。當時，f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為（0，－），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，＋）（II）由已知，轉(zhuǎn)變成，又＝g（0）＝1由（I）知，當，f（x）在（0，＋）增，域當，f（x）在（0，－）增，在（－，＋）減，故f（x）的極大即最大，，所以1＞－1－ln（－a），解得：a<-

R，故不吻合意。15、（2012南3月模）已知函數(shù)f（）=+lnx，此中a常數(shù)，e自然數(shù)的底xax數(shù).1）當a=-1，求f（x）的最大；2）若f（x）在區(qū)（0，e］上的最大-3，求a的；3）當a=-1，推測方程=能否有數(shù)解.【答案】解：(1)當=-1，f（）=-+lnx，′(x)=－1+????????1分axxf當0<x<1，f′(x)>0；當x>1，f′(x)<0.∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)????3分=f（1）=-1??????????????????????4分(2)∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈????????????5分①若≥，f′(x)≥0，從而f(x)在(0,e］上增函數(shù)a∴=f（e）=ae+1≥0.不合意?????????????6分②若a<，由f′(x)>0>0，即0<x<由f(x)<0<0，即<x≤e.從而f(x)在上增函數(shù),在減函數(shù)∴=f=-1+ln???????????????8分令-1+ln=-3，ln=-2∴=，即a=.∵<,∴a=所求?????9分(3)由（Ⅰ）知當a=-1=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1???????????????????????10分又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,當0<x<e，g′(x)>0,g(x)在(0,e)增；當x>e,g′(x)<0，g(x)在(e,+∞)減??????????11分∴=（）=<1,∴g(x)<1???????????12分ge∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>??????????????13分∴方程|f（x）|=沒有數(shù)解.?????????????14分16、（2012萊3月模）已知函數(shù)（Ⅰ）若函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)，求數(shù)a的取范；（Ⅱ）令能否存在數(shù)a，當（e是自然常數(shù)），函數(shù)的最小是

3，若存在，求出的；若不存在，明原由；（Ⅲ）當，明：(22).解：解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立，令，有得

????3分所以.

????4分（Ⅱ）假存在數(shù)

a，使有最小

3，.

????5分①當，

g(x)在[0

，e]上減，（舍去）.②當，g(x)在上減，在上增，所以，足條件

.③當，

g(x)在[0

，e]上減，（舍去）

.上，存在數(shù)，使適合，

g(x)有最小

3.

????10分(Ⅲ)令，由（

2）知，令，，當，，在上增，所以.所以,即.

????14分17、（2012青二模）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的極大；（Ⅱ）令（常數(shù)），判斷函數(shù)的性；（Ⅲ）若任意，不等式均成立，求數(shù)的取范.解：（Ⅰ）,的定域;因為，由,當，；當，.在上增函數(shù)；在上減函數(shù)，從而.???????????????3分（Ⅱ），，???????????????4分①當,即，，在上增函數(shù)；??????????????????????5分②當，即，.由,,（ⅰ）若，，，，在上增函數(shù)；??????????????????????7分(ⅱ)若，，，；，，在上增函數(shù),在上減函數(shù).綜上可知：當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).9分（Ⅲ）由,而，要對任意，不等式均成立，一定：與不一樣時為

0.

11分因當且僅當時，

=0，所認為滿足題意必有，即.

12分18、（2012青島

3月模擬）已知函數(shù)

.（Ⅰ）記，求的極小值；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象上存在相互垂直的兩條切線，務實數(shù)的值及相應的切點坐標

.解：（Ⅰ）由已知：，,由，或,當時，，在為增函數(shù)，此時不存在極值；當時，變化時，變化以下：0+0-0+極大極小由上表可知：.當時，變化時，變化以下：+0-0+極大極小由上表可知：.（Ⅱ）設兩切點分別為，則即，方程的鑒識式,即,又，從而可得：上式要成立當且僅當，或此時方程的解為.，存在，此時函數(shù)的圖象在點處的切線和在點處的切線相互垂直.19、（2012日照5月模擬）已知二次函數(shù)的一個零點是，函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)（Ⅰ）過坐標原點O作曲線的切線，證明切點的橫坐標為1；

.設函數(shù).（Ⅱ）令，若函數(shù)在區(qū)間（0，1］上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。解：（Ⅰ）∵

-a

是二次函數(shù)的一個零點，∴

b=0..

2分設切點為則切線的斜率.整理得.明顯，是這個方程的解.4分又因為在（0，）上是增函數(shù)，所以方程有獨一實數(shù)解。故.6分（Ⅱ）7分設則.8分易知在上是減函數(shù)，從而.1）當2-a0，即時，，h(x)在間（0，1）上是增函數(shù)?！咴谏虾愠闪ⅲ丛谏虾愠闪??！郌(x)在區(qū)間上是減函數(shù)。所以，滿足題意.10分2）當2-a<0，即a>2時，設函數(shù)的獨一零點為，則在（0，）上遞加，在上遞減。又∵.又∵，h(x)在（0，1）內(nèi)有獨一一個零點，當時，h（x）<0,當時，h(x)>0.從而F（x）在（0，）遞減，在（，1）遞加，與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾?！郺>2不合題意.綜合（1）（2）得，.即a的取值范圍是.14分20、（2012威海二模）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在區(qū)間上的最值；（Ⅱ）談論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）當時，有恒成立，求的取值范圍．解：（Ⅰ）當時，，∴．∵的定義域為，∴由得．---------------------------2分∴在區(qū)間上的最值只可能在取到，而，∴．---------------------------4分（Ⅱ）．①當，即時，在單調(diào)遞減；-------------5分②當時，在單調(diào)遞加；----------------6分③當時，由得或（舍去）∴在單調(diào)遞加，在上單調(diào)遞減；--------------------8分綜上，當時，在單調(diào)遞加；當時，在單調(diào)遞加，在上單調(diào)遞減．當時，在單調(diào)遞減；-----------------------9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，即原不等式等價于---------------------------10分即整理得∴，----------------------------11分又∵，所以的取值范圍為.--------------------